Calcul vectoriel. Barycentre

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Tests
On introduit ici un nouvel outil, particulièrement performant : le barycentre d'un système de points pondérés du plan ou de l'espace.
Outre sa puissance pour résoudre des problèmes de mathématiques, le barycentre a de nombreuses applications, par exemple dans le domaine des statistiques (notion de moyenne pondérée) ou en physique. D'ailleurs, quand s'est posée la question de savoir si le calcul vectoriel pouvait s'étendre à l'espace, ce sont des physiciens comme Gibbs ou Heaviside qui ont apporté une partie des réponses.
1. Que faut-il savoir sur le calcul vectoriel dans l'espace ?
On retrouve dans l'espace les mêmes règles de calcul vectoriel que dans le plan (vecteurs colinéaires, relation de Chasles ).
La seule nouveauté est la notion de vecteurs coplanaires.
Trois vecteurs de l'espace sont coplanaires si et seulement si l'un d'entre eux peut s'exprimer comme combinaison linéaire des deux autres, c'est-à-dire que les vecteurs \overrightarrow u ,\overrightarrow v et \overrightarrow w sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels a et b tels que \overrightarrow w = a\overrightarrow u + b\overrightarrow v.
Test n°1
2. Comment définir le barycentre d'un système de points pondérés du plan ou de l'espace ?
• On commence par définir le barycentre d'un système de deux points pondérés.
Si A et B sont deux points distincts, a et b deux réels dont la somme n'est pas nulle, il existe alors un unique point G tel que a\overrightarrow {{\rm{GA}}} + b\overrightarrow {{\rm{GB}}} = \overrightarrow 0.
Ce point s'appelle le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs a et b.
• Dans le cas où les coefficients sont non nuls et égaux, le point G est appelé isobarycentre de A et de B. On remarque que l'isobarycentre de A et de B n'est autre que le milieu du segment [AB].
• La notion de barycentre, définie ci-dessus pour deux points, se généralise à un nombre quelconque de points. Ainsi, si A, B et C sont trois points distincts, et a , b et c trois réels dont la somme n'est pas nulle, il existe un unique point G tel que a\overrightarrow {{\rm{GA}}} + b\overrightarrow {{\rm{GB}}} + c\overrightarrow {{\rm{GC}}} = \overrightarrow 0. Ce point est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients respectifs a , b et c.
Remarque
Si les points A, B et C ne sont pas alignés, l'isobarycentre de A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC.
Test n°2Test n°3
3. Quelles sont les principales utilisations du barycentre en géométrie ?
On retiendra quatre utilisations essentielles du barycentre en géométrie :
– pour montrer que trois points sont alignés, on fait apparaître l'un d'entre eux comme le barycentre des deux autres ;
– pour montrer que quatre points sont coplanaires, on fait apparaître l'un d'entre eux comme le barycentre des trois autres ;
– pour montrer que des droites sont concourantes, on montre que ces droites passent par des barycentres partiels obtenus en regroupant de différentes manières les mêmes points pondérés. Le point de concours des droites est alors le barycentre des points pondérés considérés ;
– on utilise enfin le barycentre pour réduire une somme vectorielle de la forme \alpha \overrightarrow {{\rm{MA}}} + \beta \overrightarrow {{\rm{MB}}} + \gamma \overrightarrow {{\rm{MC}}} lorsque \alpha + \beta + \gamma \ne 0, par exemple dans les recherches d'ensembles de points.
4. Quelles propriétés du barycentre faut-il connaître ?
Il y a deux propriétés essentielles du barycentre à retenir.
Homogénéité.
Si G est le barycentre de \left(A,\: \alpha \right) et \left(B,\: \beta \right), alors G est aussi le barycentre de \left(A,\: k\alpha \right) et de \left(B,\: k\beta \right), pour tout réel k non nul.
Associativité.
Pour trouver le barycentre G de n points, on peut remplacer plusieurs d'entre eux par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs coefficients.
Cette propriété fournit une méthode de construction du barycentre d'un système de trois points pondérés ou plus. On les regroupe deux par deux de manière à se ramener à la construction du barycentre de deux points pondérés.
Test n°4Test n°5
5. Quels sont les questions à se poser avant de chercher un barycentre ?
Le barycentre existe-t-il toujours ?
Non, le barycentre d'un système de points pondérés n'existe pas toujours. Il est indispensable que la somme des coefficients soit non nulle.
Il faudra donc être très vigilant dans deux cas :
– lorsque les coefficients sont donnés sous forme paramétrée. Ainsi le système de points pondérés (A, 6 + m) et (B, m) admet un barycentre si et seulement si 6 + 2m est non nul, c'est-à-dire si et seulement si m \ne - 3 ;
– lorsqu'on applique la propriété d'associativité du barycentre. Ainsi, si G est le barycentre de (A, 5), (B, 3) et (C, −3), G est aussi le barycentre de (I, 8) et (C, −3) où I est le barycentre de (A, 5) et (B, 3) ; mais il est impossible de remplacer (B, 3) et (C, −3) par leur barycentre partiel puisque la somme des coefficients est nulle ; donc le système (B, 3) et (C, −3) n'admet pas de barycentre.
Peut-on interpréter une égalité vectorielle en termes de barycentre ?
On sait traduire le fait qu'un point G est le barycentre d'un système de points pondérés par une égalité vectorielle. Réciproquement, est-il possible, lorsqu'on connaît une égalité vectorielle, d'interpréter celle-ci en termes de barycentre ?
La réponse est oui si l'égalité vectorielle peut être ramenée à la forme : \alpha \overrightarrow {{\rm{MA}}} + \beta \overrightarrow {{\rm{MB}}} + \gamma \overrightarrow {{\rm{MC}}} = \overrightarrow 0 avec \alpha + \beta + \gamma \ne 0.
Par exemple, si on connaît la relation \overrightarrow {{\rm{AL}}} = \frac{2}{5}\overrightarrow {{\rm{BC}}}, on peut se ramener à 5\overrightarrow {{\rm{AL}}} = 2\overrightarrow {{\rm{BC}}}, puis à 5\overrightarrow {{\rm{AL}}} + 2\overrightarrow {{\rm{AB}}} - 3\overrightarrow {{\rm{AC}}} = \overrightarrow 0. Comme la somme des coefficients est non nulle (elle vaut 4), cette égalité vectorielle traduit le fait que le point A est le barycentre des points pondérés (L, 5), (B, 2) et (C, 3).
On remarquera que cette interprétation n'est pas unique. Il est en effet possible de faire des modifications du même type pour obtenir B, C ou L comme barycentre des trois autres points.
Comment caractériser les points d'une droite à l'aide des barycentres ?
On connaît déjà la caractérisation vectorielle d'une droite : la droite passant par A et de vecteur directeur \overrightarrow u est l'ensemble des points M pour lesquels il existe un réel k tel que \overrightarrow {{\rm{AM}}} = k\overrightarrow u. S'y ajoute la caractérisation barycentrique d'une droite : la droite (AB) est l'ensemble des barycentres des points pondérés \left( {{\rm{A}},\,1 - k} \right) et \left( {{\rm{B}},\,k} \right), où k \in Ensemble R.
À retenir
• Le barycentre d'un système de points pondérés n'existe que si la somme des coefficients est non nulle.
• Le barycentre d'un système de points pondérés n'est pas modifié si on multiplie tous les coefficients par un même nombre non nul ; ou si on remplace certains points par leur barycentre partiel, lorsqu'il existe, affecté de la somme des coefficients de ces points.
• On peut interpréter un certain nombre de notions de géométrie en termes de barycentre : le milieu d'un segment est l'isobarycentre des extrémités de ce segment ; le centre de gravité d'un triangle est l'isobarycentre des sommets du triangle ; le centre d'un parallélogramme est l'isobarycentre des sommets du parallélogramme.
• Quatre points A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si les vecteurs \overrightarrow {{\rm{AB}}}, \overrightarrow {{\rm{AC}}} et \overrightarrow {{\rm{AD}}} sont coplanaires.
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