Dérivation

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Fiche
Tests
La dérivée de la fonction h\,:\,x\mapsto \tan (x^2+1) définie sur \left[\frac{-1}{2}\,;\,\frac {1} {2} \right] est la fonction h' définie sur \left[\frac{-1}{2}\,;\,\frac {1} {2} \right] par :
Cochez la bonne réponse.
x\mapsto\frac {-1} {\tan (x^2+1)}
x\mapsto\frac {1} {\cos^2 (x^2+1)}
x\mapsto\frac {2x} {\cos^2 (x^2+1)}
Score : .. /20
Commentaire
• D'une manière générale, si u\neq \frac {\pi} {2} + k\pik\in Ensemble Z, alors :
(\tan u)' =\left(\frac{\sin u}{\cos u}\right)' = \left(\frac{(\sin u)' \cos u - \sin u (\cos u)'}{\cos^2 u}\right)
(\tan u)' =\left(\frac{u' \cos^2 u + u' \sin^2 u}{\cos^2 u}\right)
(\tan u)' =\left(\frac{u' (\cos^2 u + \sin^2 u)}{\cos^2 u}\right)
(\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}
Ce qui peut également s'écrire (tan u)' = u'(1 + tan2 u).
• Ici, u\,:\,x\mapsto x^2+1 donc u'\,:\,x\mapsto 2x.
Ainsi, pour x\in\left[\frac{-1}{2}\,;\, \frac {1} {2}\right], h'(x) = \frac {2x} {\cos^2 (x^2 + 1)} = 2x (1 + \tan^2 (x^2 + 1)).
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