Fonction logarithme

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Fiche
Tests
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
\mathop{\lim}\limits_{x\to+\infty}\,\frac{e^{x}}{x^{5}\mathrm{ln}{x}}=+\infty
\mathop {\lim}\limits_{x\to0^{+}}\,\mathrm{ln}{x}=-\infty
\mathop {\lim}\limits_{x\to0^{+}}\,\mathrm{ln}\left(\frac{1+x}{x}\right)=1
Score : .. /20
Commentaire
\mathop {\lim}\limits_{x\to+\infty}\,\frac{e^{x}}{x^{5}\mathrm{ln}{x}}=\mathop {\lim}\limits_{x\to+\infty}\,\frac{e^{x}}{x^{6}}\times\frac{x}{\mathrm{ln}{x}}
Or, par croissance comparée, \mathop {\lim}\limits_{x\to+\infty}\,\frac{e^{x}}{x^{6}}=+\infty\,\mathrm{et}
\mathop {\lim}\limits_{x\to+\infty}\,\frac{\mathrm{ln}x}{x}=0^{+} ; \mathrm{donc}\,\mathop {\lim}\limits_{x\to+\infty}\,\frac{x}{\mathrm{ln}x}=+\infty.
Donc \mathop {\lim}\limits_{x\to+\infty}\,\frac{e^{2}}{x^{5}ln{x}}=+\infty.
• Les autres propositions sont fausses.
D'après le cours, \mathop {\lim}\limits_{x\to0^{+}}\,x\mathrm{ln}x=0.
\left \lbrace \begin{array}{ll} \mathop {\lim}\limits_{x \to {0}^{+} }\,\left(\frac{1+x}{x}\right)=\,+\infty \end{array}\right.
donc \mathop {\lim}\limits_{x \to {0}^{+} }\,\mathrm{ln}\,\left(\frac{1+x}{x}\right)\,=\,+\infty.\\ \mathop {\lim}\limits_{x \to {0}^{+} }\,\mathrm{ln}\,x\,=\,+\infty
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