Lire et calculer les coordonnées d'un vecteur

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Tests
Lire et représenter
Lire les coordonnées d'un vecteur
• Soit (O, I, J) un repère du plan et \vec{u} un vecteur dont un représentant est \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
Pour lire les coordonnées du vecteur \vec{u}, on décompose la translation qui transforme A en B, c'est-à-dire la translation de vecteur \vec{u}, en deux translations successives : d'abord une translation parallèlement à l'axe (OI), puis une translation parallèlement à l'axe (OJ).
Le déplacement parallèlement à (OI) donne l'abscisse du vecteur :
  • si ce déplacement s'effectue dans le sens des x croissants (de O vers I), il est compté positivement ;
  • si ce déplacement s'effectue dans le sens des x décroissants (de I vers O), il est compté négativement.
Le déplacement parallèlement à (OJ) donne l'ordonnée du vecteur :
  • si ce déplacement s'effectue dans le sens des y croissants (de O vers J), il est compté positivement ;
  • si ce déplacement s'effectue dans le sens des y décroissants (de J vers O), il est compté négativement.
• Par exemple , pour aller de A à B, on se déplace parallèlement à (OI) de 4 unités dans le sens des x croissants ; l'abscisse du vecteur \vec{u} est donc +4. On se déplace ensuite parallèlement à (OJ) de 2 unités dans le sens des y décroissants ; l'ordonnée du vecteur \vec{u} est donc − 2.
Le vecteur \vec{u} a donc pour coordonnées (4 ; − 2). On note alors \vec{u}(4\,;\;-2).
Représenter un vecteur de coordonnées données
Représentons un vecteur de coordonnées (−5 ; 1) dans un repère (O, I, J). On va construire un représentant \overrightarrow{\mathrm{AB}} de ce vecteur \vec{u}.
Pour cela, on choisit un point A quelconque, par exemple A (1 ; 2), puis on place le point B image de A par la translation de vecteur \vec{u}(-5\,;\;1), suivant le principe exposé dans le paragraphe précédent :
  • à partir de A, on effectue un déplacement de 5 unités parallèlement à (OI) dans le sens des x décroissants (qui correspond à l'abscisse −5 de \vec{u}) ;
  • on effectue ensuite un déplacement de 1 unité parallèlement à (OJ) dans le sens des y croissants (ce qui correspond à l'ordonnée +1 de \vec{u}).
Le point obtenu est le point B.
Test n°1
Calculer les coordonnées d'un vecteur
• Soit (O, I, J) un repère du plan, et soit A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points. Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} sont données par la formule : \overrightarrow{\mathrm{AB}} (xB − xA ; yB − yA).
Par exemple, soit deux points A(2 ; −4) et B(−3 ; −1).
L'application de la formule permet d'écrire : \overrightarrow{\mathrm{AB}} (−3 −2 ; −1 − (−4)), soit \overrightarrow{\mathrm{AB}} (−5 ; 3).
• De cette formule de calcul se déduit celle des coordonnées du milieu d'un segment.
Soit (O, I, J) un repère du plan et soit A(xA ; yA), B(xB ; yB) deux points. Si M est le milieu du segment [AB], alors \mathrm{M}\left(\frac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}} {2}\,;\,\frac{y_{\mathrm{A}}+y_\mathrm{B}}{2}\right).
Par exemple, soit deux points U(−3 ; 2) et T(5 ; 4).
L'application de la formule ci-dessus permet d'écrire : \mathrm{H}\left(\frac{-3+5}{2}\,;\;\frac{2+4}{2}\right), d'où H(1 ; 3).
Test n°2Test n°3Test n°4Test n°5
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