Lire et calculer les coordonnées d'un vecteur

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Tests

Lire et représenter

Lire les coordonnées d'un vecteur

• Soit (O, I, J) un repère du plan et $\vec{u}$ un vecteur dont un représentant est $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ .
Pour lire les coordonnées du vecteur $\vec{u}$ , on décompose la translation qui transforme A en B, c'est-à-dire la translation de vecteur $\vec{u}$ , en deux translations successives : d'abord une translation parallèlement à l'axe (OI), puis une translation parallèlement à l'axe (OJ).
Le déplacement parallèlement à (OI) donne l'abscisse du vecteur :

si ce déplacement s'effectue dans le sens des x croissants (de O vers I), il est compté positivement ;
si ce déplacement s'effectue dans le sens des x décroissants (de I vers O), il est compté négativement.

Le déplacement parallèlement à (OJ) donne l'ordonnée du vecteur :

si ce déplacement s'effectue dans le sens des y croissants (de O vers J), il est compté positivement ;
si ce déplacement s'effectue dans le sens des y décroissants (de J vers O), il est compté négativement.

• Par exemple , pour aller de A à B, on se déplace parallèlement à (OI) de 4 unités dans le sens des x croissants ; l'abscisse du vecteur $\vec{u}$ est donc +4. On se déplace ensuite parallèlement à (OJ) de 2 unités dans le sens des y décroissants ; l'ordonnée du vecteur $\vec{u}$ est donc − 2.
Le vecteur $\vec{u}$ a donc pour coordonnées (4 ; − 2). On note alors $\vec{u}(4\,;\;-2)$ .

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Représenter un vecteur de coordonnées données

Représentons un vecteur de coordonnées (−5 ; 1) dans un repère (O, I, J). On va construire un représentant $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ de ce vecteur $\vec{u}$ .
Pour cela, on choisit un point A quelconque, par exemple A (1 ; 2), puis on place le point B image de A par la translation de vecteur $\vec{u}(-5\,;\;1)$ , suivant le principe exposé dans le paragraphe précédent :

à partir de A, on effectue un déplacement de 5 unités parallèlement à (OI) dans le sens des x décroissants (qui correspond à l'abscisse −5 de $\vec{u}$ ) ;
on effectue ensuite un déplacement de 1 unité parallèlement à (OJ) dans le sens des y croissants (ce qui correspond à l'ordonnée +1 de $\vec{u}$ ).

Le point obtenu est le point B.
Test n°1

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Calculer les coordonnées d'un vecteur

• Soit (O, I, J) un repère du plan, et soit A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) deux points. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ sont données par la formule : $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ (x_B − x_A ; y_B − y_A).
Par exemple, soit deux points A(2 ; −4) et B(−3 ; −1).
L'application de la formule permet d'écrire : $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ (−3 −2 ; −1 − (−4)), soit $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ (−5 ; 3).

• De cette formule de calcul se déduit celle des coordonnées du milieu d'un segment.
Soit (O, I, J) un repère du plan et soit A(x_A ; y_A), B(x_B ; y_B) deux points. Si M est le milieu du segment [AB], alors $\mathrm{M}\left(\frac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}} {2}\,;\,\frac{y_{\mathrm{A}}+y_\mathrm{B}}{2}\right)$ .
Par exemple, soit deux points U(−3 ; 2) et T(5 ; 4).
L'application de la formule ci-dessus permet d'écrire : $\mathrm{H}\left(\frac{-3+5}{2}\,;\;\frac{2+4}{2}\right)$ , d'où H(1 ; 3).
Test n°2 Test n°3 Test n°4 Test n°5

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