Résoudre une inéquation à une inconnue

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icone Fiche
Tests
1. Définitions et propriété
a) Définitions
• Une inéquation est une inégalité où figure une lettre appelée l'inconnue.
Rappel : les quatre symboles d'inégalité sont :
inférieur ou égal qui se lit « inférieur ou égal à » ;
supérieur ou égal qui se lit « supérieur ou égal à » ;
< qui se lit « strictement inférieur à » ;
> qui se lit « strictement supérieur à ».
Par exemple, 2x - 8 supérieur ou égal 6 − 3x et 7x + 2,1< 45 sont des inéquations d'inconnue x.
• On dit qu'un nombre est une solution d'une inéquation si on obtient une inégalité qui est vraie quand on remplace l'inconnue par ce nombre dans l'inéquation.
Considérons, par exemple, l'inéquation 2x + 3 > 5.
Est-ce que 2 est une solution ? Si on remplace x par 2 dans l'inéquation, on obtient : 2 × 2 + 3 > 5, soit 7 > 5. Cette inégalité est vraie, donc 2 est une solution.
Est-ce que 1 est une solution ? Si on remplace x par 1 dans l'inéquation, on obtient : 2 × 1 + 3 > 5, soit 5 >5. Cette inégalité est fausse, donc 1 n'est pas une solution.
Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes ses solutions.
b) Propriété
a, b et c étant des nombres relatifs, avec c strictement positif, les nombres relatifs a × c et b ×c sont rangés dans le même ordre que a et b.
Autrement dit, si on multiplie (ou divise) chaque membre d'une inégalité par un même nombre strictement positif, on obtient une inégalité de même sens, équivalente à la première.
• Si, en revanche, on multiplie chaque membre par un nombre négatif, on obtient alors une inégalité de sens contraire équivalente à la première.
Par exemple : 4 < 7 et (−3) × 4 > (−3) × 7 (en effet : −12 > −21).
Test n°1
2. Résolution d'une inéquation
Les méthodes de résolution des équations et des inéquations se ressemblent ; cependant, contrairement aux équations qui n'ont le plus souvent qu'un nombre fini de solutions, une inéquation admet en général une infinité de solutions.
a) Méthode
La méthode ressemble à celle utilisée pour les équations du premier degré à une inconnue, à une différence importante près. Rappelons en effet que dans une inégalité, on peut :
  • ajouter ou soustraire un même nombre de part et d'autre du symbole d'inégalité ;
  • multiplier ou diviser par un même nombre, différent de 0, de part et d'autre du symbole d'inégalité, mais si ce nombre est négatif, il faut changer le sens de l'inégalité (voir ci-dessus).
b) Exemples
Exemple 1 : on veut résoudre l'inéquation 2x + 3 > 5. Elle équivaut successivement à :
2x > 5 − 3
2x > 2
x > 1 : la résolution s'achève à cette étape.
On remarque que cette inéquation admet une infinité de solutions qui correspondent à tous les nombres strictement supérieurs à 1.
Exemple 2 : on veut résoudre l'inéquation 4x −1 supérieur ou égal 7x + 11.
Cette inéquation équivaut successivement à :
4x − 7x supérieur ou égal 11 + 1
−3x supérieur ou égal 12
\frac{-3x}{-3}\leq{\frac{12}{-3}} : on notera le changement de sens de l'inégalité.
x inférieur ou égal −4
Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres inférieurs ou égaux à −4.
3. Représentation graphique des solutions
• Reprenons l'inéquation de l'exemple 1, à l'étape finale : x > 1. Comme nous l'avons déjà remarqué, on ne peut pas énumérer toutes les solutions, car il y en a une infinité. Cependant, il est possible de les représenter sur une droite graduée, en hachurant l'ensemble des points qui ne représentent pas les solutions. La partie non hachurée représentera donc l'ensemble des solutions.
Enfin, il faut montrer sur le dessin que 1 n'est pas une solution. Pour cela, on utilise un crochet qui sera tourné de la manière suivante :
  • si le nombre est solution, le crochet est tourné vers l'intérieur de l'ensemble des solutions ;
  • si le nombre n'est pas solution, le crochet est tourné vers l'extérieur de l'ensemble des solutions.
• Exemples :
Pour l'inéquation de l'exemple 1 (x > 1), on obtient la représentation ci-après.
Pour l'inéquation de l'exemple 2 (x inférieur ou égal−4), on obtient la représentation ci-après.
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