Suites et récurrence

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Tests
Les suites occupent une place essentielle dans l'enseignement de l'analyse.
Un couple de lapins, né le premier janvier, donne naissance à un autre couple de lapins, chaque mois, dès qu'il a atteint l'âge de deux mois. Les nouveaux couples suivent la même loi de reproduction.
Combien y aura-t-il de couples de lapins le premier janvier de l'année suivante, en supposant qu'aucun couple n'ait disparu entre-temps ?
Pour résoudre ce problème de la reproduction des lapins, le mathématicien italien Fibonacci (appelé aussi Léonard de Pise) introduit dès 1202 la notion de suite.
Ainsi, si on note un le nombre de couples de lapins au cours du ne mois (avec u1 = 1), la suite (un) vérifie la relation de récurrence un+2 = un+1 + un. On peut alors exprimer un en fonction de n et prévoir le nombre de lapins au bout de quelques mois.
1. Comment définir une suite ?
• Définir une suite réelle (un), c'est associer à tout entier naturel n un nombre réel noté un ; un s'appelle le terme d'indice n de la suite.
Si u désigne une suite, un s'appelle le terme général de la suite.
• Une suite peut être définie de deux manières :
– sous sa forme explicite ;  on exprime alors un en fonction de n ;
Par exemple, on considère la suite de terme général un = 2n + 7.
– par récurrence ;  on donne alors le premier terme de la suite et une relation permettant, à partir de chaque terme, de calculer le terme suivant.
Par exemple, la suite u est définie par u1 = 5 et, pour tout naturel n, u_{n+1}=3\,u_{n}+2.
2. Quand utiliser un raisonnement par récurrence et comment le rédiger ?
• On peut utiliser un raisonnement par récurrence chaque fois qu'une propriété à démontrer dépend d'un entier naturel n, surtout lorsqu'il semble y avoir un lien simple entre ce qui se passe au rang n et ce qui se passe au rang n + 1.
• Un raisonnement par récurrence se rédige en quatre étapes :
– on commence par énoncer la propriété à démontrer, en précisant pour quels entiers naturels cette propriété est définie ;
– on vérifie que la propriété est vraie au rang initial (qui est souvent 0 ou 1) ;
– on prouve le caractère héréditaire de la propriété ;  on suppose que la propriété est vraie pour un entier n arbitrairement fixé et on démontre que la propriété est encore vraie au rang n + 1 ;
– on conclut en invoquant le principe de récurrence.
Test n°1
3. De quelles méthodes dispose-t-on pour étudier le sens de variation d'une suite ?
Il existe quatre méthodes principales pour étudier le sens de variation d'une suite.
• La plus fréquente consiste à étudier le signe de la différence un+1 − un  :
– si cette différence est positive, alors la suite (un) est croissante ;
– si cette différence est négative, alors la suite est décroissante ;
– si cette différence est nulle, alors la suite est constante.
• Quand la suite étudiée est à termes strictement positifs, on calcule le quotient \frac{u_{n}+1}{u_{n}} et on le compare à 1 :
– si \frac{u_{n}+1}{u_{n}}>1, alors la suite (un) est strictement croissante ;
– dans le cas contraire, elle est strictement décroissante.
• Si la suite étudiée est de la forme un = f(n), alors la suite (un) a le même sens de variation sur [0\,;\,+\infty[ que la fonction f.
• Enfin, dans certains cas, on utilise une démonstration par récurrence pour prouver qu'une suite est croissante ou décroissante.
Remarque
Une suite qui est soit croissante, soit décroissante est dite monotone.
4. Que doit-on savoir sur les suites arithmétiques ?
• Une suite (un) est arithmétique si et seulement s'il existe un réel r (appelé la raison de la suite) tel que, pour tout entier naturel n, un+1 = u n + r.
On doit alors être capable d'exprimer le terme général u n de la suite en fonction de n, à l'aide de la formule : un = u0 + nr .
Attention au premier terme de la suite : si celui-ci est u1, la formule ci-dessus se transforme en : un = u1 + (n − 1)r.
Plus généralement, pour tous naturels n et p, on a : un = up + (n − p)r.
• Il est aussi intéressant de connaître la somme des n premiers entiers consécutifs : 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
Test n°2
5. Que doit-on savoir sur les suites géométriques ?
• Une suite (un) est géométrique si et seulement s'il existe un réel q (appelé la raison de la suite) tel que, pour tout entier naturel n, un+1 = un × q.
On doit alors être capable d'exprimer le terme général un de la suite en fonction de n, à l'aide de la formule : un = u0 × qn .
Attention au premier terme de la suite : si celui-ci est u1, la formule ci-dessus se transforme en : un = u1 × qn−1. Plus généralement, pour tous naturels n et p, on a : u_{n}=u_{p}\,q^{n-p}.
• On retiendra aussi la somme des n premiers termes consécutifs d'une suite géométrique, valable dans le cas où q est différent de 1 : u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{n}=u_{0}\times{\frac{1-q^{n+1}}{1-q}}.
Là aussi, on sera attentif au premier terme de la suite et au nombre de termes de la somme.
• Enfin, on saura que si |q| < 1 alors \mathop {\lim }\limits_{n\to+\infty}\,q^{n}=0.
Test n°3
6. Que doit-on savoir sur les suites adjacentes ?
• Il faut savoir démontrer que deux suites sont adjacentes. Pour cela, on montre que l'une est croissante, l'autre est décroissante et que leur différence tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
• Il faut également savoir en tirer les conclusions : si deux suites sont adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.
Test n°4
7. Comment étudier la limite d'une suite ?
Si la suite (un) admet comme limite le réel l, alors tout intervalle ouvert centré en l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit que la suite (un) converge vers l.
• Pour étudier la limite d'une suite, on peut exprimer le terme général de la suite en fonction de n et déterminer la limite de ce terme en faisant tendre n vers l'infini.
• On peut utiliser les théorèmes de limite par comparaison :
– si u_{n}\leq{v_{n}}\,\mathrm{et}\,\mathop {\lim }\limits_{n\to+\infty} \,v_{n}=-\infty,\,\mathrm{alors}\,\mathop {\lim }\limits_{n\to+\infty}\,u_{n}=-\infty ;
– si u_{n}\leq{v_{n}}\,\mathrm{et}\,\mathop {\lim }\limits_{n\to+\infty}\,u_{n}=+\infty,\,\mathrm{alors}\,\mathop {\lim }\limits_{n\to+\infty}v_{n}=+\infty ;
– si u_{n}\leq{w_{n}}\leq{v_{n}}\,\mathrm{et}\,\mathop {\lim }\limits_{n\to+\infty}\,v_{n}=\mathop {\lim }\limits_{n\to+\infty}\,u_{n}=L,\,\mathrm{alors}\,\mathop {\lim }\limits_{n\to+\infty}\,w_{n}=L.
• Enfin, il convient de se souvenir que toute suite croissante majorée est convergente et que toute suite décroissante minorée est également convergente :
– une suite (un) est majorée s'il existe un réel M tel que, pour tout naturel n, u_{n}\leq{M} ;
– une suite (un) est minorée s'il existe un réel m tel que, pour tout naturel n, u_{n}\geq{m} ;
– une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Remarques
Une suite convergente est bornée mais la réciproque est fausse : ainsi, la suite de terme général un = (−1)n, qui est bornée, est divergente.
Ce théorème de convergence monotone est très utile puisqu'il permet d'établir la convergence d'une suite. En revanche, il ne permet pas de déterminer la valeur de la limite.
À retenir
• Définir une suite réelle, c'est associer à tout entier naturel n un nombre réel un .
• Dans une suite arithmétique, on passe toujours d'un terme au suivant en ajoutant un même nombre appelé la raison.
Dans une suite géométrique, on passe toujours d'un terme au suivant en multipliant par un même nombre appelé la raison.
• Si une suite converge vers un réel l, alors tout intervalle de centre l, aussi petit soit-il, contient une infinité de termes de la suite.
• Si une suite de réels positifs converge, alors sa limite est positive ou nulle.
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