Suites et récurrence

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Fiche
Tests
Pour n\,\geq\,2, on pose
u_n=\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
La suite (un) est croissante.
La suite (un) converge vers 1.
Pour tout n\,\geq\,2,\,u_n=\frac{n+1}{2n}.
Score : .. /20
Commentaire
• Soit n un entier naturel tel que n\,\geq\,2.
On note Pn la proposition : u_n=\frac{n+1}{2n}.
Pour n = 2, u2 = 1-\frac{1}{2^{2}}=\frac{3}{4}\,\mathrm{et}\,\frac{2+1}{2\times2}=\frac{3}{4}.
La proposition est donc vraie au rang 2.
Soit n fixé, n\,\geq\,2. On suppose que Pn est vraie.
Alors u_{n+1}=u_n\left(1-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right)=\frac{n+1}{2n}\left[1-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right]
u_{n+1}=\frac{n+1}{2n}\left(\frac{(n+1)^{2}-1}{(n+1)^{2}}\right)
u_{n+1}=\frac{n+2}{2(n+1)}.
Ainsi, si Pn est vraie, alors Pn+1  est vraie.
Donc, d'après le principe de récurrence, pour tout n\,\geq\,2, u_n=\frac{n+1}{2n}.
• Les autres propositions sont fausses.
Comme \mathop {\lim}\limits_{n \to +\infty}\,u_n=\mathop {\lim}\limits_{n \to +\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2},(u_n) ne converge pas vers 1.
La suite (un) est à termes strictement positifs.
Pour n\,\geq\,{2},\frac{u_{n}+1}{u_n}=1-\frac{1}{(n+1)^{2}}\,\mathrm{donc}\,\frac{u_{n}+1}{u_n}\,<\,1.
La suite (un) est donc strictement décroissante.
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