Utiliser les identités remarquables

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Tests
1. Les trois identités remarquables
a) Calculer (a + b)2
• Soit a et b deux nombres positifs. Le carré ABCD représenté sur la figure ci-après a pour côté a + b. À l'intérieur sont construits deux autres carrés de côtés respectifs a et b et deux rectangles de mêmes dimensions a et b.
L'aire de ABCD peut se calculer par deux méthodes différentes :
1. c'est l'aire d'un carré de côté a + b, soit (a + b)2 ;
2. c'est aussi l'aire du carré de côté a, plus les aires des deux rectangles, plus l'aire du carré de côté b, soit a2 + ab + ab + b2.
De ces deux calculs, on déduit l'égalité : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. C'est une identité remarquable.
b) Deux identités semblables
• L'égalité écrite ci-dessus reste vraie quels que soient les signes des nombres a et b. On a ainsi, pour tous nombres a et b :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ;
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2.
• Remarques :
  • à gauche du signe « = » figure la forme factorisée de l'identité (appelé aussi « produit remarquable ») ; à sa droite, on trouve la forme développée ;
  • les expressions développées ne diffèrent que par le signe du terme 2ab, appelé « double-produit », ce qui permet de les retenir facilement.
c) Une autre identité
Soit a et b deux nombres positifs. On a ôté d'un grand carré de côté a un petit carré de côté b.
Calculons l'aire de la surface restante grise par deux méthodes :
1. c'est la différence entre l'aire du grand carré et l'aire du petit carré, soit a2 − b2 (figure 1) ;
2. on fait un découpage de la surface restante, puis on recompose les morceaux (figure 2). On obtient un rectangle dont les dimensions sont a + b et a − b. Son aire est égale à (a + b)(a − b).
On obtient ainsi : a2 − b2 = (a + b)(a − b).
Cette égalité est vraie quels que soient les signes des nombres a et b.
2. Exemples
a) Développer à l'aide des identités remarquables
A = (2x + 3)2
A = (2x)2 + 2 × 2x × 3 + 32 = 4x2 + 12x + 9
B = (3x − 4)2
B = (3x)2 − 2 × 3x × 4 + 42 = 9x2 − 24x + 16
C = (5x + 2)(5x − 2)
C = (5x)2 − 22 = 25x2 − 4
b) Factoriser à l'aide des identités remarquables
A = 9x2 − 12x + 4
A = (3x)2 − 2 × 3x × 2 + 22 = (3x − 2)2
B = 81 − 9x2
B = 92 − (3x)2 = (9 + 3x)(9 − 3x)
C = 16x2 + 24x + 9
C = (4x)2 + 2 × 4x × 3 + 32 = (4x + 3)2
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