Variables aléatoires

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Tests
Soit un jeu de 32 cartes, on convient que les figures (roi, dame, valet) valent 10 points et que les autres cartes valent 5 points. On tire deux cartes du jeu. On effectue ainsi une expérience aléatoire. À chaque tirage, c'est-à-dire à chaque événement élémentaire, on peut associer un nombre, comme par exemple la valeur de la somme des points des deux cartes tirées. C'est ce que l'on appelle définir une variable aléatoire.
On verra ici comment déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire mais aussi comment calculer ses paramètres (espérance, variance, écart type).
On étudiera également une loi très importante de par ses diverses applications, la loi binomiale. Il est nécessaire de connaître cette loi, mais surtout de savoir la reconnaître à l'aide de ses conditions d'application.
1. Comment déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire ?
• On considère une expérience aléatoire E et l'univers associé Ω.
Une variable aléatoire X est une application qui, à chaque événement élémentaire de l'univers, associe un nombre réel. C'est-à-dire : X\,:\,\Omega\rightarrow{\mathbb{R}}
L'ensemble des valeurs prises par X est noté X(Ω).
En classe de terminale, on se limite au cas où X(Ω) est un ensemble fini de nombres, c'est-à-dire au cas où X(\Omega)=\{x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\}.
• La loi de probabilité de X attribue à chaque valeur xi la probabilité pi de l'événement (X = xi), constitué de tous les événements élémentaires dont l'image par X est xi.
Cette loi est généralement représentée sous la forme d'un tableau à double entrée :
X
x1
x2
\cdots
xn
 
P
p1
p2
\cdots
pn
1

On a : 0\leq{p_{i}}\leq{1}, avec pi = P(X = xi), et \sum\limits^{n}_{i=1}p_{i}=1.
• Pour établir une loi de probabilité, on étudie d'abord l'image des événements élémentaires, puis on détermine X(Ω), enfin, pour chaque xi, on calcule pi = P(X = xi).
Exemple
On jette une pièce deux fois de suite, ce qui constitue une expérience aléatoire. L'univers associé est \Omega=\{FF,FP,PF,PP\}, où FP signifie « face » au premier lancer et « pile » au second.
Soit X, la variable aléatoire qui, à chaque événement élémentaire, associe le nombre de côtés « face » obtenus (donc X associe à FF le nombre 2, à FP le nombre 1, etc.). Les valeurs prises par X sont 0, 1 et 2.
La loi de probabilité est :
X
0
1
2
 
P
\frac{1}{4}
\frac{1}{2}
\frac{1}{4}
1

Par exemple, P(X = 1) est la probabilité des événements pour lesquels on a obtenu une seule fois le côté « face », c'est la probabilité des événements FP, PF.
P(X=1)=p(F\,P\,\cup\,P\,F)\,=\,\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.
\sum\limits^{n}_{i=1}p_{i}=1 se traduit ici par : \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1.
Test n°1Test n°2
2. Comment calculer des probabilités à l'aide de la loi d'une variable aléatoire ?
• Soit X une variable aléatoire dont la loi est pi = P(X = xi), pour 1\leq{i}\leq{n}. P(X = xi) est la probabilité de l'événement constitué de tous les événements élémentaires dont l'image par X est xi.
• On généralise cette notation. P(a\leq{X}\leq{b}) est alors la probabilité de l'événement constitué de tous les événements élémentaires dont l'image par X est supérieure ou égale à a et inférieure ou égale à b.
On a, par exemple, P(X\leq{a})=1-P(X>a) (autrement dit l'événement contraire de X\leq{a} est X > a).
Exemple
Si X est une variable aléatoire de loi :
X
1
2
3
4
5
 
P
0,1
0,2
0,4
0,1
0,2
1

Alors : P(2\leq{X}\leq{4})=P(X=2\,\mathrm{ou}\,X=3\,\mathrm{ou}\,X=4) ;
P(2\leq{X}\leq{4})=0,2+0,4+0,1=0,7. P(X\leq{3})=1-P(X>3)=1-P(X=4\,\mathrm{ou}\,X=5) ;
P(X\leq{3})=1-P(X>3)=1-0,1-0,2=0,7.
Test n°3
3. Comment calculer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire ?
• Soit X une variable aléatoire dont la loi est pi = P(X = xi), pour 1\leq{i}\leq{n}.
Autrement dit, la loi de X est :
X
x1
x2
\cdots
xn
 
P
p1
p2
\cdots
pn
1

• L'espérance de X est le nombre réel noté E(X) et défini par : E(X)=\sum\limits^{n}_{i=1}p_{i}x_{i}=p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\cdots+p_{n}x_{n}.
L'espérance est la « moyenne » des valeurs prises par X lors d'un grand nombre de répétitions de l'expérience.
• La variance de X est le nombre réel noté V(X) et défini par :
V(X)=\sum\limits^{n}_{i=1}(x_{i}-E(X))^{2}p_{i} ;
V(X)=(x_{1}-E(X))^{2}p_{1}+(x_{2}-E(X))^{2}p_{2}+\cdots+(x_{n}-E(X))^{2}p_{n}.
Pour calculer ce nombre, on privilégie cependant la formule de Koenig : V(X)=\left(\sum\limits^{n}_{i=1}{x_{i}}^{2}p_{i}\right)-E(X)^{2}={x_{1}}^{2}p_{1}+{x_{2}}^{2}p_{2}+\cdots+{x_{n}}^{2}p_{n}-E(X)^{2}.
Attention, la variance est forcément un nombre positif.
• L'écart type de X est le nombre réel noté \sigma(X) et défini par : \sigma(X)=\sqrt{V(X)}.
Exemple
Reprenons la variable aléatoire X de loi :
X
1
2
3
4
5
 
P
0,1
0,2
0,4
0,1
0,2
1

Alors :
E(X) = 1 × 0,1 + 2 × 0,2 + 3 × 0,4 + 4 × 0,1 + 5 × 0,2 = 3,1.\\ V(X)=1^{2}\times{0,1}+2^{2}\times{0,2}+3^{2}\times{0,4}+4^{2}\times{0,1}+5^{2}\times{0,2}-(3,1)^{2} V(X)=1,49
Test n°4Test n°5
4. Comment reconnaître une loi binomiale ?
• On considère une expérience aléatoire E et un événement A lié à E, de probabilité non nulle, avec P(A) = p.
On appelle succès, la réalisation de A et échec, celle de \overline{A}
• Soit Y, la variable aléatoire qui prend la valeur 1, si A est réalisé au cours de l'expérience, et la valeur 0, si A n'est pas réalisé. La variable aléatoire Y ainsi définie est appelée variable de Bernoulli. La loi de Y est alors :
Y
0
1
 
P
1 − p
p
1

On a aussi : E(Y) = p et V(Y) = p − p 2 = p(1 − p) = pq avec q = 1 − p.
On réalise ensuite le schéma de Bernoulli, c'est-à-dire qu'on répète n fois l'expérience E dans des conditions identiques et de manière indépendante.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès au cours des n répétitions, alors X suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p).
On a alors : \begin{cases} X(\Omega)=\{0,1,2,3,\ldots,n\} \tabularnewline P(X=k)=\left(\begin{matrix} n\tabularnewline k\end{matrix}\right)\,p^{k}q^{n-k}\end{cases}  avec q = 1 − p.
C'est-à-dire :
X
0
1
2
\cdots
k
\cdots
n
 
P
qn
npqn−1  
\left( \begin{matrix} n\tabularnewline 2 \end{matrix}\right)p^{2}q^{n-2}
\cdots
\left(\begin{matrix}n\tabularnewline k \end{matrix}\right)p^{k}q^{n-k}
\cdots
pn
1

Remarque
\sum\limits^{n}_{k=0}\,p_{i}=\sum\limits^{n}_{k=0}\left(\begin{matrix}n\tabularnewline k \end{matrix}\right)p^{k}q^{n-k}=(p+q)^{n}=1^{n}=1 ;  on retrouve la formule du binôme de Newton.
On a de plus : E(X) = np et V(X) = npq.
En résumé
Lorsque l'on a une variable aléatoire X qui compte le nombre de réalisations de A, avec P(A) = p (p est non nul), au cours de n répétitions indépendantes, alors on sait que X suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p).
Test n°6Test n°7
À retenir
• Une variable aléatoire X est une application qui, à chaque événement élémentaire de l'univers, associe un nombre réel.
Définir une loi de probabilité de X, c'est associer à chaque résultat xi un nombre pi positif tel que la somme des pi soit égale à 1.
L'espérance de X est : E(X)=\sum\limits^{n}_{i=1}p_{i}x_{i}.
La variance de X est : V(X)=\sum\limits^{n}_{i=1}(x_{i}-E(X))^{2}p_{i}.
L'écart type de X est : \sigma(X)=\sqrt{V(X)}.
• Une expérience qui ne comporte que deux résultats, appelés succès et échec, est appelée épreuve de Bernoulli.
Lors de la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, on s'intéresse au nombre de succès. La loi de probabilité sur cet ensemble est nommée loi binomiale de paramètres n et p, où p est la probabilité de succès.
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