Test n°1 | Analyse | S'évaluer | Culture disciplinaire | Administratif

Analyse

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Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Cochez la bonne réponse.

La fonction : $x\mapsto\sqrt{x}$ admet un développement limité d'ordre 2 en 0.

ok	Si f(x) = ax + b + $\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\,\epsilon\,(x)$ avec $\mathop {\lim}\limits_{x \to +\infty }\,\epsilon(x)=0$ , alors la droite d'équation y = ax + b est asymptote à la courbe représentative de la fonction f au voisinage de $+\infty$ .

Au voisinage de 0, la fonction $f\,:\,x\mapsto\frac{x\,\ln(1+x)}{\cos\,x}$ admet comme développement limité d'ordre 3 : $1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\theta(x^{3})$ .

Score : .. /20

Commentaire

• $f(x)-(ax+b)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\,\epsilon(x)$ .
Or $\mathop {\lim}\limits_{x \to +\infty }\,[\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\,\epsilon(x)]=0$
puisque $\mathop {\lim}\limits_{x \to +\infty }\,\frac{1}{x}=0$
et $\mathop {\lim}\limits_{x \to +\infty }\,\epsilon(x)=0$ .
On en déduit que la droite d'équation y = ax + b est bien asymptote à la courbe représentative de la fonction f au voisinage de + $\infty$ .

• La proposition « la fonction : $x\mapsto\sqrt{x}$ admet un développement limité d'ordre 2 en 0 » est fausse.
En effet, si la fonction : $x\mapsto\sqrt{x}$ admettait un développement limité d'ordre 2 en 0, elle admettrait aussi un développement limité d'ordre l en 0 et serait donc dérivable en 0, ce qui est faux.

• La proposition « au voisinage de 0, la fonction $f\,:\,x\mapsto\frac{x\,\ln(1+x)}{\cos\,x}$ admet comme développement limité d'ordre 3 : $1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\theta(x^{3})$ » est fausse.
On remarque que $\mathop {\lim}\limits_{x \to 0 }\,\frac{x\,\ln\,(1+x)}{\cos\,x}=0$ , alors que $\mathop {\lim}\limits_{x \to 0 }\,(1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+v(x^{3}))=1$ .