Analyse

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Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
La fonction : x\mapsto\sqrt{x} admet un développement limité d'ordre 2 en 0.
Si f(x) = ax + b + \frac{1}{x}+\frac{1}{x}\,\epsilon\,(x) avec \mathop {\lim}\limits_{x \to +\infty }\,\epsilon(x)=0, alors la droite d'équation y = ax + b est asymptote à la courbe représentative de la fonction f au voisinage de +\infty.
Au voisinage de 0, la fonction f\,:\,x\mapsto\frac{x\,\ln(1+x)}{\cos\,x} admet comme développement limité d'ordre 3 : 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\theta(x^{3}).
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Commentaire
f(x)-(ax+b)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\,\epsilon(x).
Or \mathop {\lim}\limits_{x \to +\infty }\,[\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\,\epsilon(x)]=0
puisque \mathop {\lim}\limits_{x \to +\infty }\,\frac{1}{x}=0
et \mathop {\lim}\limits_{x \to +\infty }\,\epsilon(x)=0.
On en déduit que la droite d'équation y = ax + b est bien asymptote à la courbe représentative de la fonction f au voisinage de + \infty.
• La proposition « la fonction : x\mapsto\sqrt{x} admet un développement limité d'ordre 2 en 0 » est fausse.
En effet, si la fonction : x\mapsto\sqrt{x} admettait un développement limité d'ordre 2 en 0, elle admettrait aussi un développement limité d'ordre l en 0 et serait donc dérivable en 0, ce qui est faux.
• La proposition « au voisinage de 0, la fonction f\,:\,x\mapsto\frac{x\,\ln(1+x)}{\cos\,x} admet comme développement limité d'ordre 3 : 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\theta(x^{3}) » est fausse.
On remarque que \mathop {\lim}\limits_{x \to 0 }\,\frac{x\,\ln\,(1+x)}{\cos\,x}=0, alors que \mathop {\lim}\limits_{x \to 0 }\,(1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+v(x^{3}))=1.
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