Aptitudes algébriques

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Si x + \frac{1}{x} = 5, combien vaut x3 + \frac{1}{x^{3}} ?
Cochez la bonne réponse.
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125
140
Score : .. /20
Commentaire
• Remarquons qu'il est possible de déterminer x en résolvant l'équation x + \frac{1}{x} = 5. Cette méthode, bien que correcte mathématiquement, est peu judicieuse car on obtient deux valeurs possibles pour x : \frac{5+\sqrt{21}}{2} et \frac{5-\sqrt{21}}{2}, ce qui conduit à des calculs très compliqués.
• Il est plus simple de s'appuyer sur le produit remarquable :
a3 + b3 = (a + b) (a2ab + b2)
soit ici x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=(x+\frac{1}{x})(x^{2}-1+\frac{1}{x^{2}}).
Calculons alors x^{2}+\frac{1}{x^{2}} :
(x+\frac{1}{x})^{2}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}
or x+\frac{1}{x}=5 donc x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}=25,
soit x^{2}+\frac{1}{x^{2}} = 25 − 2 = 23,
d'où x^{3}+\frac{1}{x^{3}} = 5 [23 − 1] = 110.
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