Suites et séries

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Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
Si \mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,(u_{n}-v_{n})=0, alors (un) et (vn) convergent et ont la même limite.
Si une suite n'est pas convergente, alors elle tend vers +\infty ou -\infty.
Si (un) est une suite positive, décroissante, alors elle est convergente.
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Commentaire
• Si (un) est positive, alors elle est minorée par 0. Or toute suite décroissante minorée converge, donc (un) converge.
• La proposition « si \mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,(u_{n}-v_{n})=0, alors (un) et (vn) convergent et ont la même limite » est fausse, comme le montre le contre-exemple suivant.
On considère les suites (un) et (vn) définies par :
u_{n}=n+\frac{1}{n} (n \in Ensemble N*)
vn = n,
alors, u_{n}-v_{n}=\frac{1}{n} et \mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,(u_{n}-v_{n})=\mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,\frac{1}{n}=0.
Mais \mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,u_{n}=+\infty et \mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,v_{n}=+\infty,
donc les suites (un) et (vn) ne sont pas convergentes.
• La proposition « si une suite n'est pas convergente, alors elle tend vers +\infty ou -\infty » est fausse comme le montre le contre-exemple suivant.
La suite de terme général (−1)n (n \in Ensemble N) est divergente. Cependant, elle ne tend ni vers +\infty ni vers -\infty. Elle n'admet pas de limite.
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