Test n°2 | Calculer le module et un argument d'un nombre complexe | Mise à niveau et entraînement | Préparation aux épreuves | Administratif

Calculer le module et un argument d'un nombre complexe

-----------------------------------------------

Fiche

Tests

On considère le nombre complexe $Z=\frac{\sqrt{2}}{1+\mathrm{i}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{3}}.$
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Cochez la bonne réponse.

Le réel $-\frac{\pi}{12}$ est un argument de Z.

$Z=\mathrm{e}^{\frac{11x}{12}}.$

ok	Le module de Z est 1.

Score : .. /20

Commentaire

• D'après les propriétés des modules, $| Z| =\frac{| \sqrt{2}| }{| 1+\mathrm{i}| }| \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{3}}| .$
Or $| 1+\mathrm{i}| =\sqrt{2}\,\mathrm{et}\,| \mathrm{e}^{\frac{i\pi}{3}}| =1.$ Le module de Z est donc bien 1.

• Les autres propositions sont fausses.
On peut vérifier ainsi qu'un argument de Z est $\frac{\pi}{12}$ :
$\mathrm{arg}\,Z=\mathrm{arg}\,\left(\frac{\sqrt{2}}{1+\mathrm{i}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{3}}\right)\,\left(2\pi\right)$
$\mathrm{arg}\,Z=\mathrm{arg}\,\sqrt{2}-\mathrm{arg}(1+\mathrm{i})+\mathrm{arg}\,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{3}}\,\left(2\pi\right)$
$\mathrm{arg}\,Z=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\,\left(2\pi\right)$
soit $\mathrm{arg}\,Z=-\frac{\pi}{12}\,\left(2\pi\right)$