Calculer le module et un argument d'un nombre complexe

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Fiche
Tests
On considère le nombre complexe Z=\frac{\sqrt{2}}{1+\mathrm{i}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{3}}.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
Le réel -\frac{\pi}{12} est un argument de Z.
Z=\mathrm{e}^{\frac{11x}{12}}.
Le module de Z est 1.
Score : .. /20
Commentaire
• D'après les propriétés des modules, | Z| =\frac{| \sqrt{2}| }{| 1+\mathrm{i}| }| \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{3}}| .
Or | 1+\mathrm{i}| =\sqrt{2}\,\mathrm{et}\,| \mathrm{e}^{\frac{i\pi}{3}}| =1. Le module de Z est donc bien 1.
• Les autres propositions sont fausses.
On peut vérifier ainsi qu'un argument de Z est \frac{\pi}{12} :
\mathrm{arg}\,Z=\mathrm{arg}\,\left(\frac{\sqrt{2}}{1+\mathrm{i}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{3}}\right)\,\left(2\pi\right)
\mathrm{arg}\,Z=\mathrm{arg}\,\sqrt{2}-\mathrm{arg}(1+\mathrm{i})+\mathrm{arg}\,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{3}}\,\left(2\pi\right)
\mathrm{arg}\,Z=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\,\left(2\pi\right)
soit \mathrm{arg}\,Z=-\frac{\pi}{12}\,\left(2\pi\right)
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