Calculer un ajustement affine par la méthode des moindres carrés

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Tests

Pour déterminer le « meilleur » ajustement possible, on utilise la méthode des moindres carrés.

• Soit une série double (x_i ; y_i), avec 1 inférieur ou égal

n, dont le nuage de points est à peu près aligné. On considère une droite quelconque D d'équation y = ax + b.
Pour chaque point M_i(x_i ; y_i), on calcule le nombre (y_i − ax_i − b)². Cela revient à calculer le carré de la distance $M_{i}M_{i}^{\prime}$ , où $M_{i}^{\prime}$ est le point d'abscisse x_i appartenant à la droite D.

• On calcule ensuite la somme de tous ces nombres de la façon suivante : $\Delta=(y_{1}-ax_{1}-b)^{2}+(y_{2}-ax_{2}-b)^{2}+\cdots+(y_{n}-ax_{n}-b)^{2}.$
On peut considérer $\Delta$ comme la « distance » entre la droite D et le nuage de points. Le meilleur ajustement est celui de l'équation de la droite pour laquelle $\Delta$ est minimum.

• On démontre que $\Delta$ est minimum pour la droite D d'équation : $y=\frac{\mathrm{cov}(X,\,Y)}{V(X)}x+\left(\overline{Y}-\frac{\mathrm{cov}(X,\,Y)}{V(X)}\overline{X}\right).$
Cette droite s'appelle la droite de régression de Y en X.
Test n°1 Test n°2 Test n°3

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