Calculer une limite avec la croissance comparée

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Tests

• La comparaison des croissances respectives de e^x, xⁿ et ln x permet de lever certaines indéterminations qui peuvent se présenter lors du calcul de limites.

• Pour cela, on se ramène aux formules ci-dessous, soit en effectuant un changement de variable, soit en factorisant le terme dominant.
Pour tout entier naturel n > 0 :
$\mathop {\lim}\limits_{x \to +{\infty} }\,\frac{\mathrm{ln}\,x}{x^{n}}=0\quad;\quad\mathop {\lim}\limits_{x \to +{\infty} }\,\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}=+\infty\,;$ $\mathop {\lim}\limits_{x \to +{0} }\,x^{n}\,\mathrm{ln}\,x=0 \quad ; \quad \mathop {\lim}\limits_{x \to -{\infty} }\,x^{n}\,\mathrm{e}^{x}=0.$
Une représentation graphique illustre la croissance comparée de e^x, xⁿ et ln x.
On a de même, pour les fonctions puissances $x\mapsto x^{\alpha}$ d'exposant réel $x^{\alpha}$ , définies sur $]0\,;\,+\infty[$ :
$\mathop {\lim}\limits_{x \to +\infty }\,\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{\alpha}}=+\infty$ et $\mathop {\lim}\limits_{x \to +\infty }\,\frac{\mathrm{ln}\,x}{x^{\alpha}}=0^{+}$ .
Test n°1 Test n°2 Test n°3

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