Définir le barycentre d'un système de points pondérés du plan ou de l'espace

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Tests
• On commence par définir le barycentre d'un système de deux points pondérés.
Si A et B sont deux points distincts, a et b deux réels dont la somme n'est pas nulle, il existe alors un unique point G tel que a\overrightarrow {{\rm{GA}}} + b\overrightarrow {{\rm{GB}}} = \overrightarrow 0.
Ce point s'appelle le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs a et b.
• Dans le cas où les coefficients sont non nuls et égaux, le point G est appelé isobarycentre de A et de B. On remarque que l'isobarycentre de A et de B n'est autre que le milieu du segment [AB].
• La notion de barycentre, définie ci-dessus pour deux points, se généralise à un nombre quelconque de points. Ainsi, si A, B et C sont trois points distincts, et a, b et c trois réels dont la somme n'est pas nulle, il existe un unique point G tel que a\overrightarrow {{\rm{GA}}} + b\overrightarrow {{\rm{GB}}} + c\overrightarrow {{\rm{GC}}} = \overrightarrow 0. Ce point est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients respectifs a, b et c.
Remarque
Si les points A, B et C ne sont pas alignés, l'isobarycentre de A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC.
Propriétés
Si G est le barycentre de \left(A,\: \alpha \right) et \left(B,\: \beta \right), alors G est aussi le barycentre de \left(A,\: k\alpha \right) et de \left(B,\: k\beta \right), pour tout réel k non nul.
Associativité.
Pour trouver le barycentre G de n points, on peut remplacer plusieurs d'entre eux par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs coefficients.
Cette propriété fournit une méthode de construction du barycentre d'un système de trois points pondérés ou plus. On les regroupe deux par deux de manière à se ramener à la construction du barycentre de deux points pondérés.
Test n°1Test n°2Test n°3
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