Déterminer une équation cartésienne d'un plan

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Fiche
Tests
Soit, dans l'espace rapporté à un repère orthonormal (\mathrm{O}\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j}\,;\,\vec{k}), les points de coordonnées : A(1 ; −2 ; 4) ; B(−2 ; −6 ; 5) ; C(5 ; 1 ; 2) ; D(1 ; −5 ; −8) ; E(−4 ; 0 ; −3).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
Les plans (ABC) et (ADE) sont perpendiculaires.
La droite (AE) est parallèle au plan (ABC).
Une équation du plan (ABC) est 5x − 2y + 7z = 27.
Score : .. /20
Commentaire
• Attention :
5x_{\mathrm{A}}-2y_{\mathrm{A}}+7x_{\mathrm{A}}=5+4+28=37
donc 5x − 2y + 7z = 27 n'est pas une équation du plan (ABC) puisque les coordonnées de A ne vérifient pas cette équation.
La droite (AE) est orthogonale au plan (ABC).
\overrightarrow{\mathrm{AB}}(-3\,;\,-4\,;\,1)\,\overrightarrow{\mathrm{AC}}(4\,;\,3\,;\,-2)\,\overrightarrow{\mathrm{AE}}(-5\,;\,2\,;\,-7) ;
\overrightarrow{\mathrm{AE}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=15-8-7=0 ;
\overrightarrow{\mathrm{AE}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=-20+6+14=0.
\overrightarrow{\mathrm{AD}}(0\,;\,-3\,;\,12) ;
\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}=12-12=0, donc \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AD}} sont orthogonaux.
D'après les calculs précédents, \overrightarrow{\mathrm{AE}} est un vecteur normal au plan (ABC) et \overrightarrow{\mathrm{AB}} est un vecteur normal au plan (ADE). Or \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AE}} sont orthogonaux, donc les plans (ABC) et (ADE) sont perpendiculaires.
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