Étudier une suite géométrique

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Fiche
Tests
Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 = 1 et de raison q (q > 0).
On pose : S_n=u_0+\cdots+u_n.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
Si \mathop {\lim}\limits_{n \to +\infty}S_n=2\,\mathrm{alors}\,q=\frac{1}{2}.
Si q=2\,\mathrm{alors}\,S_4=15.
Si q=1\,\mathrm{alors}\,S_n converge.
Score : .. /20
Commentaire
• Attention aux propositions intruses :
S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\left[\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\right].
Soit, comme u0 = 1, S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.
Donc, si q = 2, S4 = 31 (et non pas S4 = 15, comme proposé).
Par ailleurs, d'après le cours, si q = 1, Sn ne converge pas.
\mathop {\lim}\limits_{n \to +\infty}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1}{1-q} dans le cas où |q| < 1.
q vérifie donc les deux conditions :
\begin{cases}| q| \,<\,1 \tabularnewline \frac{1}{1-q}=2 \end{cases}.
En résolvant l'équation, on trouve q=\frac{1}{2}.
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