Montrer que deux droites, deux plans, sont parallèles

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icone Fiche
Tests
• Dans tout plan de l'espace, les propriétés de la géométrie plane restent valables.
• Dans l'espace, si deux droites sont parallèles à une même droite, elles sont parallèles entre elles.
Par exemple, on veut démontrer que les arêtes (AA') et (CC') du prisme régulier droit à base hexagonale P sont parallèles. On utilise le fait que les faces latérales sont des rectangles et la propriété précédente. ABB'A' est un rectangle donc (AA') // (BB') ; BB'C'C est un rectangle donc (BB') // (CC') ; (AA') et (CC') sont parallèles à la même droite (BB'), donc elles sont parallèles. On démontre ainsi que toutes les arêtes latérales du prisme sont parallèles.
• Dans l'espace, si deux droites sont parallèles, tout plan qui contient l'une est parallèle à l'autre ou la contient.
Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant avec l'un est sécant avec l'autre et les intersections sont deux droites parallèles.
Cette propriété est illustrée par la figure ci-dessous où les plans (ABCD) et (PQRS) sont parallèles. Le plan (NMKL) les coupe suivant les droites (EF) et (GH) qui sont donc parallèles. On utilise cette propriété quand on doit, par exemple, tracer une section d'un parallélépipède.
• Si d et d' sont deux droites parallèles contenues respectivement dans des plans P et P' sécants, alors l'intersection des plans P et P' est une droite parallèle à d et à d'. Cette propriété, dite théorème du toit, est utilisée, par exemple, pour montrer que les arêtes d'un polyèdre sont parallèles.
Test n°1Test n°2Test n°3
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