Montrer que deux événements sont indépendants

-----------------------------------------------

icone Fiche

Tests

• Intuitivement, deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un de ces événements n'influe pas sur la probabilité de l'autre.
On doit donc avoir : P_A (B) = P(B).
C'est-à-dire $\frac{P(A\cap{B})}{P(A)}=P(B)\Leftrightarrow{P(A\cap{B})}=P(A)P(B).$

A et B sont donc indépendants si et seulement si :
$P(A\cap{B})=P(A)P(B)$ .

• Si deux événements A et B sont indépendants, alors :
$\overline{A}$ et B sont indépendants ;
$\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants ;
A et $\overline{B}$ sont indépendants.

• La notion d'indépendance pose souvent problème car on l'utilise dans les deux « sens » :
– dans certains cas, on dit : il est évident que A et B sont indépendants donc $P(A\cap{B})=P(A)P(B)$ . Ce cas de figure se présente lorsque A et B sont issus de deux expériences séparées ou de deux répétitions distinctes d'une même expérience, réalisées dans des conditions identiques ;
– dans d'autres cas, on dit : $P(A\cap{B})=P(A)P(B)$ , donc A et B sont indépendants. C'est d'ailleurs la réponse que l'on attend quand on pose la question : A et B sont-ils indépendants ?

Remarque

Attention à ne pas confondre :
– A et B incompatibles (c'est-à-dire : $P(A\cap{B})=0$ ) ;
– A et B indépendants (c'est-à-dire : $P(A\cap{B})=P(A)P(B)$ ).
Test n°1 Test n°2 Test n°3

Imprimer Partager