Sujet 2026 de mathématiques, groupement académique&nbsp;1 (nouveau)

Enseignement Les épreuves du CRPE Bac + 5

Sujet 2026 de mathématiques, groupement académique 1 (nouveau)

Sujet

L'épreuve est notée sur 20, chaque partie comporte 10 points. Une note globale égale ou inférieure à 2,5 sur l'une des deux parties est éliminatoire. Durée de l'épreuve : 4 h ; coefficient 5
L'épreuve vise à évaluer les connaissances disciplinaires en français et en mathématiques du candidat.
Elle comporte deux parties indépendantes. La seconde partie de l'épreuve porte sur les mathématiques. Le sujet est constitué de plusieurs exercices ou problèmes.
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Corrigé

Exercice 1

	Pratiquent un instrument de musique	Ne pratiquent pas un instrument de musique	Effectif total
Pratiquent un sport	45	75	120
Ne pratiquent pas un sport	30	150	180
Effectif total	75	225	300

Pour compléter le tableau, nous allons commencer par calculer le nombre d'élèves qui pratiquent un sport : 40 % des élèves pratiquent un sport.
$\frac{40}{100}\, \times \, 300\, =\, 120$
Dans cette école, 120 élèves pratiquent un sport.
Ensuite, nous savons que 75 élèves pratiquent un instrument de musique. Parmi eux, 60 % pratiquent aussi un sport.
$\frac{60}{100}\, \times \, 75\, =\, 45$
Dans cette école, 45 élèves pratiquent un sport et un instrument de musique.
Les valeurs suivantes sont calculées par calcul de différence :
$\blacksquare$ le nombre d'élèves qui ne pratiquent pas un sport : 300 − 120 = 180
$\blacksquare$ le nombre d'élèves qui ne pratiquent pas un instrument de musique : 300 − 75 = 225
$\blacksquare$ le nombre d'élèves qui pratiquent un instrument de musique mais pas un sport : 75 − 45 = 30
$\blacksquare$ le nombre d'élèves qui pratiquent un sport mais pas un instrument de musique : 120 − 45 = 75
$\blacksquare$ le nombre d'élèves qui ne pratiquent ni un sport ni un instrument de musique : 180 − 30 = 150 ou 225 − 75 = 150

2. L'élève est choisi au hasard, il s'agit donc d'un cas d'équiprobabilité.
Méthode 1
D'après les résultats précédents, 45 élèves pratiquent un sport et un instrument de musique, 75 élèves pratiquent un sport mais pas un instrument de musique et 30 élèves pratiquent un instrument de musique mais pas un sport.
45 + 75 + 30 = 150
D'où 150 élèves pratiquent au moins l'une des deux activités sur les 300 élèves de l'école.
La probabilité que l'élève pratique au moins une des deux activités est : $\frac{150}{300}\,=\, \frac{1}{2}$ .
Méthode 2
D'après les résultats précédents, 120 élèves pratiquent un sport, 75 élèves pratiquent un instrument de musique, 45 élèves pratiquent les deux et sont donc comptabilisés dans chacune des deux catégories précédentes, c'est-à-dire deux fois (il faudra les retirer une fois).
120 + 75 − 45 = 150
D'où 150 élèves pratiquent au moins l'une des deux activités sur les 300 élèves de l'école.
La probabilité que l'élève pratique au moins une des deux activités est : $\frac{\textbf{150}}{\textbf{300}}\,=\, \frac{\textbf{1}}{\textbf{2}}$ .
Méthode 3
D'après les résultats précédents, 150 élèves ne pratiquent aucune de ces deux activités, donc 300 − 150 = 150.
D'où 150 élèves pratiquent au moins l'une des deux activités sur les 300 élèves de l'école.
La probabilité que l'élève pratique au moins une des deux activités est : $\frac{150}{300}\, =\, \frac{1}{2}$ .

3. Parmi les 120 élèves qui pratiquent un sport, 45 élèves pratiquent aussi un instrument de musique.
Sachant que l'élève pratique un sport, la probabilité qu'il pratique aussi un instrument de musique est : $\frac{\textbf{45}}{\textbf{120}}\, =\, \frac{\textbf{3}\, \times \, \textbf{15}}{\textbf{8}\, \times \, \textbf{15}}\, =\, \frac{\textbf{3}}{\textbf{8}}$ .

Exercice 2

1. Pour passer du motif d'une étape au motif de l'étape suivante, on ajoute une colonne de trois carreaux à la droite du motif.

2. Le motif de l'étape 4 possède 10 carreaux et on ajoute 3 carreaux pour passer à l'étape 5.
Le motif de l'étape 5 aura 10 + 3 = 13 carreaux.
Le motif de l'étape 1 possède 1 carreau et on ajoute 19 fois 3 carreaux pour passer à l'étape 20.
Le motif de l'étape 20 aura 1 + 19 × 3 = 58 carreaux.

Nous pourrions partir de l'étape 5.
Le motif de l'étape 5 possède 13 carreaux et on ajoute 15 fois 3 carreaux pour passer à l'étape 20.
Le motif de l'étape 20 aura 13 + 15 × 3 = 58 carreaux.

3. Pour passer du motif d'une étape au motif de l'étape suivante, on ajoute une colonne de trois carreaux à la droite du motif.
La formule que l'on peut entrer en cellule B3 pour être étirée vers le bas est : =B2+3.

Le symbole « = » est obligatoire puisqu'il renvoie le résultat de la somme de la valeur contenue dans la cellule B2 et de 3.

4. Le motif de l'étape 1 possède 1 carreau et on ajoute (n − 1) fois 3 carreaux pour passer à l'étape n.
1 + (n − 1) × 3 = 1 + 3n − 3 = 3n − 2
Le motif de l'étape n aura 3n − 2 carreaux.

5. Pour 100 carreaux
On cherche pour quelle valeur entière de n on obtient : 3n − 2 = 100.
3n − 2 = 100 équivaut à 3n − 2 + 2 = 100 + 2
équivaut à 3n = 102
équivaut à $\frac{3\textit{n}}{3}\, =\, \frac{102}{3}$
équivaut à $\textit{n}\, =\, \frac{102}{3}\, =\, 34$
Le motif à l'étape 34 est composé d'exactement 100 carreaux.
Pour 2 000 carreaux
On cherche pour quelle valeur entière de n on obtient : 3n − 2 = 2 000.
3n − 2 = 2 000 équivaut à 3n − 2 + 2 = 2 000 + 2
équivaut à 3n = 2 002
équivaut à $\frac{3\textit{n}}{3}\, =\, \frac{2\, 002}{3}$
équivaut à $\textit{n}\, =\, \frac{2\, 002}{3}$
Or 2 002 n'est pas divisible par 3, donc le nombre $\frac{2\, 002}{3}$ n'est pas entier.
Il n'existe pas d'étape dont le motif est composé d'exactement 2 000 carreaux.

Sur une copie, il n'est pas nécessaire de détailler toutes les étapes intermédiaires de la résolution d'une équation comme nous l'avons fait ici. Il faut tout de même garder trace d'un nombre suffisant d'étapes pour que le correcteur puisse suivre votre démarche, par exemple pour 100 carreaux :
3n − 2 = 100 équivaut à 3n = 102
équivaut à $\textit{n}\, =\, \frac{102}{3}\, =\,34$
Le motif à l'étape 34 est composé d'exactement 100 carreaux.

Exercice 3

Des pentagones

a. D'après le codage, les cinq angles au centre $\widehat{\textrm{AOB}}$ , $\widehat{\textrm{BOC}}$ , $\widehat{\textrm{COD}}$ , $\widehat{\textrm{DOE}}$ et $\widehat{\textrm{EOA}}$ ont la même mesure et leur somme est égale à 360°.
L'angle $\widehat{\textbf{DOC}}$ mesure donc : $\frac{\textbf{360}^{\circ}}{\textbf{5}}\, =\, \textbf{72}^{\circ}$ .

b. Les points C et D appartiennent au cercle de centre O. Les segments [OC] et [OD] sont donc deux rayons du même cercle.
On a alors : OC = OD et le triangle OCD est a minima isocèle en O.
Pour que le triangle OCD soit équilatéral, l'angle $\widehat{\textrm{DOC}}$ devrait mesurer 60°, ce qui n'est pas le cas.
Pour que le triangle OCD soit rectangle, la seule possibilité serait qu'il soit rectangle en O et donc que l'angle $\widehat{\textrm{DOC}}$ mesure 90°, ce qui n'est pas le cas.
Le triangle OCD est donc isocèle en O.

c. Calcul de la mesure de l'angle $\widehat{\textrm{\textbf{DCO}}}$ :
Dans le triangle DCO isocèle en O, les angles $\widehat{\textrm{DOC}}$ et $\widehat{\textrm{COD}}$ ont la même mesure.
La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°, donc :
$\widehat{\textrm{DCO}}\, +\, \widehat{\textrm{CDO}}\, +\, \widehat{\textrm{DOC}}\, =\, 180^{\circ }$ équivaut à $2\, \times \, \widehat{\textrm{DCO}}\, +\, 72^{\circ }\, =\, 180^{\circ }$
équivaut à $2\, \times \, \widehat{\textrm{DCO}}\, +\, 72^{\circ }\, -\, 72^{\circ }\, =\, 180^{\circ }\, -\, 72^{\circ }$
équivaut à $2\, \times \, \widehat{\textrm{DCO}}\, =\, 108^{\circ }$
équivaut à $\frac{2\, \times \, \widehat{\textrm{DCO}}}{2}\, =\, \frac{108^{\circ }}{2}$
équivaut à $\widehat{\textrm{DCO}}\, =\, 54^{\circ }$
L'angle $\widehat{\textrm{DCO}}$ mesure 54°.
Calcul de la mesure de l'angle $\widehat{\textrm{\textbf{DCB}}}$ :
Les triangles DCO et COB ont leurs côtés deux à deux de même longueur car OB = OC = OD (rayons du même cercle) et BC = CD (côtés du pentagone régulier), ils sont donc égaux.
D'où $\widehat{\textrm{DCO}}\, =\, \widehat{\textrm{OCB}}$ .
$\widehat{\textrm{DCB}}\, =\, \widehat{\textrm{DCO}}\, +\, \widehat{\textrm{OCB}}\, =\, 2\, \times \, \widehat{\textrm{DCO}}\, =\, 2\, \times \, 54^{\circ }\, =\, 108^{\circ }$
L'angle $\widehat{\textrm{\textbf{DCB}}}$ mesure 108°.

d. Les angles du pentagone régulier sont tous de même mesure : $\widehat{\textrm{DCB}}\, =\, \widehat{\textrm{CBA}}\, =\, \widehat{\textrm{BAE}}\, =\, \widehat{\textrm{AED}}\, =\, \widehat{\textrm{EDC}}$ .
D'où : $\widehat{\textrm{DCB}}\, +\, \widehat{\textrm{CBA}}\, +\, \widehat{\textrm{BAE}}\, +\, \widehat{\textrm{AED}}\, +\, \widehat{\textrm{EDC}}\, =\, 5\, \times \, \widehat{\textrm{DCB}}\, =\, 5\, \times \, 108^{\circ }\, =\, 540^{\circ }$ .
La somme des angles de ce pentagone est égale à 540°.

a. Les triangles JKL et LMN ont un angle droit et deux côtés de même mesure.
Le triangle JKL est rectangle isocèle en K et le triangle LMN est rectangle isocèle en M.

b. Le triangle JKL est rectangle en K, donc d'après le théorème de Pythagore :
LJ² = LK² + KJ² = (10 cm)² + (10 cm)² = 100 cm² + 100 cm² = 200 cm²
D'où : $\textrm{LJ}\, =\, \sqrt{200}\, \textrm{cm}$
Par ailleurs, les triangles JKL et LMN ont un angle de même mesure (l'angle droit) compris entre deux côtés de même longueur deux à deux (les côtés de l'angle droit), ils sont donc égaux.
Par conséquent, $\textbf{JL}\, \textbf{=}\, \textbf{LN}\, \textbf{=}\, \sqrt{\textbf{200}}\, \textbf{cm}$ .

Les programmes d'enseignement de l'école et du collège indiquent que les élèves doivent mener des calculs impliquant des grandeurs mesurables, notamment des grandeurs composées, en conservant les unités dans les calculs.
Dans ce corrigé, nous faisons le choix de nous conformer autant que possible aux injonctions des programmes d'enseignement.
C'est un bon entrainement !

Exercice 4

1. X est un nombre inconnu pouvant s'écrire à l'aide de quatre chiffres tous différents de 0. On sait de plus que son nombre de dizaines est 12 et que le chiffre de ses unités est le triple du chiffre de ses dixièmes.
Affirmation 1 : Il y a exactement deux valeurs possibles pour X.
Le nombre de dizaines du nombre X est supérieur à 10, donc son chiffre des centaines est différent de 0 et son chiffre des milliers est nul. Le quatrième chiffre non nul dans l'écriture décimale du nombre X est bien son chiffre des dixièmes.
$\blacksquare$ Si le chiffre des dixièmes est 1, alors le chiffre des unités est 3 et X = 123,1.
$\blacksquare$ Si le chiffre des dixièmes est 2, alors le chiffre des unités est 6 et X = 126,2.
$\blacksquare$ Si le chiffre des dixièmes est 3, alors le chiffre des unités est 9 et X = 129,3.
Nous avons trouvé trois valeurs possibles pour X.
L'affirmation est fausse.

2. Affirmation 2 : Si un nombre entier est à la fois multiple de 4 et de 10, il est nécessairement multiple de 40.
Contre-exemple : le nombre 20 est bien un multiple de 4 et de 10, mais n'est pas un multiple de 40.
L'affirmation est fausse.

On peut choisir d'autres contre-exemples, comme par exemple 60, 100, etc.

3. Un même produit est proposé en promotion :

Offre 1 :
Pour 1 produit acheté, le deuxième soldé à −50 %.

Offre 2 :
Pour 1 produit acheté, 50 % de produit en plus offert.

Affirmation 3 : Ces deux promotions sont équivalentes.
Pour une demande de trois produits :
$\blacksquare$ Selon l'offre 1, le premier produit est à tarif plein, le deuxième produit est à moitié prix, le troisième est à tarif plein ;
$\blacksquare$ Selon l'offre 2, deux produits sont à tarif plein et deux fois 50 % d'un produit est offert, soit un produit offert.
Un demi-produit est offert selon le tarif 1, alors qu'un produit est offert selon le tarif 2. Les deux propositions ne sont pas équivalentes pour une demande de trois produits.
L'affirmation est fausse.

Les deux offres ne sont équivalentes que pour une demande d'un nombre pair de produits puisque l'offre 1 est optimale pour des paires de produits.

4. Affirmation 4 : Le quotient d'un nombre décimal par 4 est un nombre décimal.
Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale, c'est-à-dire sous la forme $\frac{a}{10^{n}}$ où a et n sont des entiers.
Le quotient d'un nombre décimal par 4 est alors de la forme :
$\frac{\frac{a}{10^{n}}}{4}\, =\, \frac{a}{10^{n}}\, \times \, \frac{1}{4}\, =\, \frac{a}{10^{n}}\, \times \, \frac{1\, \times \, 25}{4\, \times 25}\, =\, \frac{a}{10^{n}}\, \times \, \frac{25}{100}\, =\, \frac{25a}{10^{n+2}}$ , où 25 et n + 2 sont des entiers.
Donc le quotient d'un nombre décimal par 4 peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale, c'est alors un nombre décimal.
L'affirmation est vraie.

Exercice 5

1. L'abscisse du point O est 0 et l'abscisse du point U est 1. La longueur du segment [OU] est donc d'une unité.
Cette unité est divisée par les graduations en huit parts égales et chaque intervalle entre deux graduations mesure un huitième d'unité.
Le point A se situe à 4 graduations du point O dans le sens positif, son abscisse est $\textbf{\textit{a}}\, \textbf{=}\, \frac{\textbf{4}}{\textbf{8}}\, \textbf{=}\, \frac{\textbf{1}}{\textbf{2}}$ .
Le point B se situe à 11 graduations du point O dans le sens positif, son abscisse est $\textbf{\textit{b}}\, \textbf{=}\, \frac{\textbf{11}}{\textbf{8}}$ .

a. O étant l'origine, l'abscisse du milieu du segment [OA] est la moitié de l'abscisse du point A.
L'abscisse du milieu du segment [OA] est : $\frac{1}{2}\, \times \, \frac{1}{2}\, =\, \frac{1}{4}$ .

Autre méthode :
Le milieu du segment [OA] se situe à 2 graduations du point O dans le sens positif, son abscisse est alors $\frac{2}{8}\, =\, \frac{1}{4}$ .

b. De même, l'abscisse du milieu du segment [OB] est la moitié de l'abscisse du point B.
L'abscisse du milieu du segment [OB] est : $\frac{\textbf{1}}{\textbf{2}}\, \times \, \frac{\textbf{11}}{\textbf{8}}\, \textbf{=}\, \frac{\textbf{11}}{\textbf{16}}$ .

3. Puisque c = 0,45 et $a\, =\, \frac{1}{2}$ , on a c < a < b.
Le point C n'appartient pas au segment [AB].
L'abscisse du point B est $\frac{11}{8}$ et celle du point D est $\frac{4}{3}$ .
Comparons ces abscisses en les écrivant avec un dénominateur commun :
$b\, =\, \frac{11}{8}\, =\, \frac{11\, \times \, 3}{8\, \times \, 3}\, =\, \frac{33}{24}$
$d\, =\, \frac{4}{3}\, =\, \frac{4\, \times \, 8}{3\, \times \, 8}\, =\, \frac{32}{24}$
Donc a < d < b.
Le point D appartient au segment [AB].
Sujet corrigé réalisé par Katia Odiot, professeure agrégée de mathématiques et formatrice à l'INSPÉ de Paris-Sorbonne Université.

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