Sujet 2022 de mathématiques, groupement académique 1

Enseignement Les épreuves du CRPE

Sujet 2022 de mathématiques, groupement académique 1 — Exercice 5

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Sujet

Le sujet est composé de cinq exercices indépendants : ci-dessous est traité l'exercice 5.

Exercice 5

Un ballon-sonde est un ballon à gaz utilisé pour faire des mesures locales dans l'atmosphère.

Dans le cadre du projet scientifique qu'elle anime pour sa classe de CM2, une professeure des écoles a reçu un petit ballon-sonde, représenté ci-dessous.

Son enveloppe, composée de matières plastiques et de latex, a la forme, une fois gonflée, d'un cône de révolution surmonté d'une demi-sphère.

Les dimensions données sur la figure ci-contre sont celles du ballon-sonde au sol, sur le lieu du lâcher situé au niveau de la mer.

La pression atmosphérique diminuant avec l'altitude, le ballon se dilate en prenant de la hauteur et ses dimensions augmentent jusqu'à l'éclatement après une ascension de plus de vingt kilomètres.

On pourra, si nécessaire, utiliser le formulaire ci-dessous.

a. Montrer, en indiquant les étapes du calcul, que le volume exact du ballon-sonde au niveau de la mer, est égal à 45 000 $\pi$ cm³.

b. Donner le volume du ballon sonde en litre, arrondi à l'entier.

2. Montrer qu'une génératrice du cône mesure $\sqrt 9\,000$ cm.

3. En déduire que l'enveloppe totale du ballon-sonde, au niveau de la mer, a une aire d'environ 1,5 m² au dixième près.

Entre 0 mètre d'altitude et 4 500 mètres d'altitude, les longueurs du ballon-sonde augmentent de 25 %.

a. Par quel nombre les longueurs initiales sont-elles multipliées ?

b. Montrer que, à 4 500 mètres d'altitude, l'enveloppe totale du ballon-sonde a une aire d'environ 2,3 m² arrondie au dixième près.

c. Donner un arrondi, au litre près, du volume du ballon-sonde à 4 500 mètres d'altitude.

5. On lâche le ballon à 0 mètre d'altitude. On relève alors une température de 15°C. À 4 500 mètres d'altitude, la température transmise est de -12°C. Entre 0 et 12 000 m d'altitude, la température, en degré Celsius, en fonction de l'altitude x, en mètre, peut être modélisée par une fonction affine notée t.
Montrer que pour tout x entre 0 et 12 000, on a t(x) = −0,006x + 15.

6. À partir de quelle altitude la température devient-elle négative ? Justifier le résultat en résolvant une inéquation.

7. La professeure des écoles a réalisé, à l'aide d'un tableur, le calcul des températures en fonction de l'altitude du ballon-sonde.

En observant les données du tableau, sachant que le ballon part de 0 mètre d'altitude, à quelle altitude se trouve-t-il lorsque la température a baissé de 30°C ?

Corrigé

Exercice 5

a. Volume du ballon sonde = volume du cône + volume de la demi-sphère
$V = \frac{1}{3}\:\pi\:r^{2} h + \frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\:\pi\:r^{3} = \frac{1}{3}\:\pi\:r^{2}h + \frac{2}{3}\:\pi\:r^{3} = \frac{1}{3}\:\pi\:r^{2} (h + 2r) = \frac{1}{3}\:\pi\:30^{2} (90 + 60)$
$V = 50\:\pi \times 900\:= 45\:000\:\pi\:cm^{3}$

b. $V\:=\:45\:\pi\:dm^{3}\:= 45\:\pi\:L \approx$ 141 L

2. Le triangle SON étant rectangle en O, d'après le théorème de Pythagore :
SN² = SO² + ON² d'où SN = $\sqrt{90^{2} + 30^{2}\:cm}\:= \sqrt{8\:100 + 900}\:cm\:= \sqrt{9000}\:cm$

3. Aire de l'enveloppe totale du ballon sonde = aire latérale du cône + aire de la demi-sphère
Aire = $\pi rg + 2 \pi r^{2} = \pi r(g + 2r) = 30 \pi (\sqrt{9000} + 60)\:cm^{2} \approx 14\:596\:cm^{2} \approx$ 1,5 m²

a. Si les longueurs augmentent de 25 %, elles sont multipliées par 1 + 25 % = 1,25

b. Au cours d'un agrandissement, si les longueurs sont multipliées par k = 1, 25 alors les aires sont multipliées par k² = 1,25².
À 4 500 m d'altitude, l'enveloppe totale de la sonde a une aire de
$30 \pi (\sqrt{9000} + 60) \times 1,25^{2}\:cm^{2} \approx$ 2,3 m²

c. Au cours d'un agrandissement, si les longueurs sont multipliées par k = 1, 25 alors les volume sont multipliées par k³ = 1,25³.
À 4 500 m d'altitude, le volume du ballon-sonde est donc de 45 $\pi$ × 1,25³ L soit environ 276 L.

Entre 0 et 12 000 m, La température t en degré Celsius est fonction affine de l'altitude x en mètre, donc il existe deux nombres a et b, tels que t(x) = ax + b
si x = 0 alors t = 15 donc t(0) = 15
si x = 4 500 alors t = 1 − 12, donc t(4500) = −12 ;
On résout donc le système :
$\left \lbrace \begin{array}{l} a \times 0 + b = 15 \\ a \times 4\:500 + b\:= - 12 \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} b = 15 \\ 4\:500a + b = - 12 \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} a = 15 \\ 4\:500a = - 27 \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} a = 15 \\ a = - \frac{-27}{4\:500} \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} a = 15 \\ a = - 0,006 \end{array}\right.$
On en déduit que t(x) = −0,006x + 15

Remarque : on pouvait aussi vérifier, qu'avec la fonction donnée, t(0) = 15 et t(4 500) = −12 et préciser que la donnée de deux points et de leur image suffit à définir une fonction affine.

6. La température est négative si et seulement si
t(x) < 0 $\Longleftrightarrow$ −0,006x + 15 < 0
−0,0006x < −15 $\Longleftrightarrow$ x > $\frac{15}{0,006}$ $\Longleftrightarrow$ x > 2 500
La température est négative à partir de 2 500 m.

7. Le ballon part à 0 m d'altitude où la température est de 15 °C. Lorsque la température baisse de 30 °C, elle est alors égale à −15 °C et on lit sur le tableau que l'altitude est de 5 000 m.

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