Sujet zéro, n° 1 — Exercice 3
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Sujet

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Le sujet est composé de cinq exercices indépendants : ci-dessous est traité l'exercice 3.
Exercice 3
PARTIE A
Alice veut réaliser une activité avec ses élèves de petite section de maternelle. Elle a besoin de découper 30 disques de 14 cm de rayon dans des feuilles de dimensions 120 cm × 80 cm, c'est-à-dire de 120 cm de longueur sur 80 cm de largeur.
Elle aimerait les dessiner en occupant l'espace de chaque feuille en commençant en haut à gauche puis en continuant comme dans la figure ci-contre.
Cette figure n'est pas à l'échelle.
1. Calculer l'aire de la feuille, en cm2.
2. 
a. Expliquer pourquoi Alice peut tracer au maximum 4 disques dans la longueur de la feuille.
b. En déduire le nombre maximum de disques qu'elle pourra tracer dans cette feuille.
c. Combien faut-il au minimum de feuilles pour dessiner les 30 disques ?
3. Représenter à l'échelle 1/8 une feuille de dimensions 120 cm × 80 cm avec les disques qu'elle peut contenir.
4. Calculer l'aire exacte d'un disque puis donner la valeur arrondie au centimètre carré près.
Dans la suite du problème, on considèrera que l'aire d'un disque est de 616 cm2.
5. 
a. Quelle est l'aire de papier non utilisé si Alice découpe 8 disques dans une feuille ?
Quelle proportion, exprimée en pourcentage et arrondie à l'unité de pourcentage, de l'aire totale de la feuille cela représente-t-il ?
b. Quelle est l'aire de papier non utilisé après avoir découpé 30 disques ?
Quelle proportion, exprimée en pourcentage et arrondie à l'unité de pourcentage, de l'aire totale des feuilles utilisées cela représente-t-il ?
6. Pour limiter le gaspillage de papier, Alice veut choisir le format qui permettra d'obtenir le moins de chutes (en cm2) tout en gardant la même disposition que précédemment. Elle a le choix entre plusieurs formats proposés par un fournisseur :
Nom
Dimensions
Raisin
65 cm × 50 cm
Jésus
75 cm × 56 cm
Imperial
80 cm × 60 cm
Grand Aigle
105 cm × 75 cm
Grand Monde
120 cm × 80 cm

Pour obtenir les 30 disques, le format Grand Aigle permet-il d'obtenir moins de chutes (en cm2) que le format Grand Monde ? Justifier la réponse.
PARTIE B
D'autres classes veulent réaliser la même activité. La directrice se demande quel format permettra d'obtenir moins de chutes en fonction du nombre de disques à découper.
Pour cela, elle utilise un tableur :
1. Sans justifier, donner la formule qui a été saisie dans la cellule B2 et étirée vers le bas.
2. Sans justifier, donner le format permettant d'éviter au mieux le gaspillage de papier si l'on veut réaliser 325 disques.
3. 
Les deux seuls fournisseurs disponibles ne disposent plus que de feuilles au format « Grand Monde ». La directrice veut choisir le fournisseur qui propose le tarif le plus avantageux pour acheter les feuilles nécessaires à la réalisation des disques. On a représenté graphiquement ci-dessous le prix en fonction du nombre de feuilles commandées chez chaque fournisseur :
a. Chez un des deux fournisseurs le coût des feuilles est proportionnel au nombre de feuilles achetées. Lequel ? On justifiera la réponse.
Répondre aux questions suivantes par lecture graphique, sans justifier.
b. Quel est le prix que va coûter l'achat de 15 feuilles chez chaque fournisseur ?
c. Déterminer le nombre maximal de feuilles que l'on peut acheter chez chaque fournisseur si l'on dispose d'un budget de 45 €.
d. À partir de combien de feuilles est-il plus avantageux de commander chez le fournisseur B ?
4. 
On a maintenant représenté sous forme de tableau les tarifs proposés par chaque fournisseur :

Coût d'une feuille (en €)
Frais de port (en €)
Fournisseur A
3,55
Gratuit
Fournisseur B
2,90
14,90

a. Quel est le prix que va coûter l'achat de 15 feuilles chez chaque fournisseur ?
b. Déterminer le nombre de feuilles que l'on peut acheter chez chaque fournisseur si l'on dispose d'un budget de 312 €.
c. À partir de combien de feuilles est-il plus avantageux de commander chez le fournisseur ? Justifier la réponse.
d. Sachant qu'il y a 325 disques à dessiner et que l'on peut en mettre 8 par feuille, quelle entreprise la directrice va-t-elle choisir ? Quel sera le prix de cette commande ?
PARTIE C
1. Après avoir découpé les 30 disques, Alice veut les border d'un fil de laine. Quelle longueur de laine devra-t-elle utiliser pour border tous les disques ? On donnera le résultat en mètre, arrondi au décimètre.
2. 
Alice met 48 minutes à dessiner et découper les 30 disques alors que son collègue Bertrand met 1 heure et 12 minutes à effectuer cette tâche.
a. Donner le temps moyen que met Alice pour découper un disque (en minutes et secondes).
b. Combien de temps mettront-ils pour découper les 30 disques ensemble ? Donner le résultat en minute et seconde.
Corrigé

Corrigé

Exercice 3
PARTIE A
1. Aire d'une feuille = 120 cm × 80 cm = 9 600 cm2
2. 
a. Chaque disque a un rayon de 14 cm, donc un diamètre de 28 cm.
Si les disques sont tangents (se touchent en un point), on pourra donc en disposer sur la longueur de 120 cm de la feuille au maximum la partie entière du quotient de 120 par 28 soit 4 disques.
b. Par un raisonnement analogue, la partie entière du quotient de 80 par 28 indique qu'on ne peut mettre que deux disques sur la largeur de la feuille.
Finalement, elle ne pourra tracer que 4 × 2 = 8 disques sur une feuille.
c. 
30 = 3 × 8 + 6
Elle aura donc besoin au minimum de 4 feuilles pour dessiner les 30 disques.
À l'échelle \frac {1}{8} :
La longueur d'une feuille soit un segment de 120 cm est représenté par un segment de 120 cm : 8 = 15 cm
La largeur d'une feuille soit un segment de 80 cm est représenté par un segment de 80 cm : 8 = 10 cm
Le rayon du cercle soit un segment de 14 cm est représenté par un segment de 14 cm : 8 = 1,75 cm
4. L'aire d'un disque de rayon r est donnée par la formule \pi × r^{2}
Aire d'un disque de rayon 14 cm est égale à \pi×142 cm2 = 196  \pi cm2 \approx 616  cm2
5. 
a. Aire de huit disques \approx 616 cm2 × 8 \approx 4 928  cm2
Aire du papier non utilisée dans une feuille de 8 disques = aire de la feuille — aire de huit disques \approx 9 600 cm2 − 4 928 cm2 \approx 4 672 cm2.
\frac {4\,672\,\mathrm{cm}^2} {9\,600\,\mathrm{cm}^2} = \frac {4\,672}{9\,600} \approx 49 %
b. Sur 3 feuilles sont tracés 8 disques → 3 × 4 672 cm2 \approx 14 016 cm2
Sur la 4e feuille, ne sont tracés que 6 disques donc l'aire du papier non utilisé dans la 4e feuille est d'environ 9 600 cm2 − 6 × 616 cm2 \approx 9 600 − 3 696 cm2 \approx 5 904 cm2
L'aire totale du papier non utilisée est d'environ de
14 016 cm2 + 5904 cm2 \approx 19 920 cm2.
\frac {19\,920\,\mathrm{cm}}{4\,\times 9\,600\,\mathrm{cm}^2} \approx \frac {19\,920}{38\,400} \approx 52 %
L'aire du papier non utilisé représente environ 52 % de l'aire totale des 4 feuilles.
6. 105 = 3 × 28 + 21
75 = 2 × 28 + 19
Dans une feuille de format Grand aigle, on pourra découper 3 × 2 = 6 disques.
Pour obtenir les 30 disques, on aura donc besoin de 5 feuilles.
Sur chaque feuille la proportion de papier non utilisé est de \frac {105\,\times\,75-6\,\times\,616}{105\,\times\,75} \approx \frac {3\,696}{7\,875} \approx \frac {4\,179}{7\,865} \approx 53 %
Pour obtenir les 30 disques, on aura donc besoin de 5 feuilles et sur chacune d'entre elle seront découpés 6 disques donc il y aura 53 % de papier non utilisé donc un peu plus de chutes que dans le format Grand Monde.
PARTIE B
1. La formule saisie dans la cellule B2 et étirée vers le bas est = 616*A2.
2. C'est le format Jésus qui permet au mieux de réduire le gaspillage du papier.
3. 
a. Chez le fournisseur A, la représentation du prix en fonction du nombre de feuilles commandées est une droite passant par l'origine ce qui prouve que le coût des feuilles est proportionnel au nombre de feuilles achetées.
b. Par lecture graphique,
  • avec le fournisseur A, le coût de 15 feuilles est d'environ 53 €
  • avec le fournisseur B, le coût de 15 feuilles est d'environ 58 €
c. Par lecture graphique, on peut obtenir un maximum de 10 feuilles avec le fournisseur A et 12 feuilles avec le fournisseur B.
d. Par lecture graphique, il semble que pour 23 feuilles, le coût avec les deux fournisseurs est le même et que le fournisseur B est plus avantageux à partir de 24 feuilles
4. 
a. Avec le fournisseur A, on va payer 3,55 € × 15 = 53,25 €
Avec le fournisseur B, on va payer 2,90 € × 15 + 14,90 € = 58,40 €
b. 312 € : 3,55 € \approx 87,89
On pourra donc acheter 87 feuilles avec le fournisseur A si l'on dispose d'un budget de 321 €.
c. 312 € − 14,90 € = 297,10 €
297,10 € : 2,90 € \approx 102,45
On pourra donc acheter 102 feuilles avec le fournisseur B si l'on dispose d'un budget de 321 €.
d. Soit n un entier désignant un nombre de feuilles.
f : n \longmapsto 3,55 n est la fonction linéaire qui associe à n le prix à payer en € avec le fournisseur A.
g : n \longmapsto 2,9 n est la fonction affine qui associe à n le prix à payer en € avec le fournisseur B.
Il est plus avantageux de commander chez le fournisseur B si et seulement si :
g(n) \leq f(n)
\Leftrightarrow 2,9n + 14,9 \leq 3,55n
\Leftrightarrow+14,9 \leq 3,55n − 2,9n
\Leftrightarrow 14,9 \leq 0,65n
\Leftrightarrow 14,9 : 0,65 \leq 0,65n
\Leftrightarrow 22,93 … \leq n
Il est plus avantageux de commander chez le fournisseur B à partir de 23 feuilles.
e. 325 = 8 × 40 + 5
La directrice doit donc commander 41 feuilles et choisira le fournisseur B plus avantageux dans ce cas. Elle paiera : 41 × 2,90 € + 14,90 € = 133,80 €
PARTIE C
1. Le périmètre d'un disque de rayon r est égal à 2 × \pi × r
La longueur de laine sera donc égale à 30 × 2 × \pi × 0,14 m \approx 26,4 m
2. 
a. La durée moyenne de découpage d'un disque par Alice est de 48 min : 30 = 1,6 min = 1 min + 0,6 × 60 s = 1 min 36 s
b. Considérons qu'Alice et Bertrand travaillent très régulièrement, que leur vitesse de découpage de disques est constante.
Bertrand met 1 h 12 min = 72 min pour découper 30 disques.
Pendant le même temps de 72 min, Alice découpe \frac{72 \times 30}{48} = 45 disques
À eux deux, ils découpent en 72 minutes en moyenne 30 disques + 45 disques = 75 disques.
À eux deux, ils découpent en moyenne 30 disques en
\frac{(72 \times 30)}{75}\,min = 28,8 min = 28 min + 0,8 min = 28 min + 60 × 0,8 s = 28 min 48 s