Sujet zéro, n° 1 — Exercice 4
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Sujet

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Le sujet est composé de cinq exercices indépendants : ci-dessous est traité l'exercice 4.
Exercice 4
Soit M un nombre entier naturel inférieur à 100. On note u le chiffre des unités du nombre M et d son chiffre des dizaines.
Soit N un nombre entier naturel inférieur à 100, ayant le même chiffre d des dizaines que M et tel que son chiffre v des unités vérifie u + v = 10.
Par exemple, pour M = 34, alors N = 36 vérifie ces conditions.
Pour M et N vérifiant les conditions ci-dessus, on propose d'utiliser l'algorithme ci-dessous pour calculer le produit M × N .
Algorithme de calcul
  • On calcule le produit de d et de l'entier suivant d + 1.
  • On calcule le produit de u et de v.
  • On ajoute au produit de u et de v, 100 fois le produit de d et de l'entier suivant d + 1.
1. Vérifier en détaillant les calculs que cet algorithme fonctionne pour 34 × 36.
2. Démontrer que cet algorithme de calcul donne effectivement le résultat escompté pour tous les couples de nombres M et N vérifiant les conditions mentionnées en début d'exercice. On pourra utiliser les égalités M = 10d + u et N = 10d + v.
3. Montrer comment on peut utiliser cet algorithme de calcul, en détaillant les calculs, pour calculer mentalement 4,2 × 4,8.
Corrigé

Corrigé

Exercice 4
1. En effectuant le produit de 34 × 36 avec l'algorithme habituel on obtient :
34 × 36 = 34 × 6 + 34 × 30 = 204 + 1020 = 1 224
Appliquons l'algorithme proposé pour M = 34 donc d = 3, u = 4, v =10 - 4 =6
d(d + 1) = 3 × 4 = 12
uv = 4 × 6 = 24
uv + 100d(+1) = 24 + 1 200 = 1 224
L'algorithme proposé fonctionne pour le calcul de 34 × 36
2. Soit M un nombre entier à deux chiffres dont le chiffre des dizaines est d et celui des unités u et soit v le complémentaire de u à 10 et N = 10d + v alors
M x N = (10d + u)(10d + v)=100d2 + 10dv + 10du + uv
=100d2 + 10d(10 - u) + 10du + uv
=100d2 + 100d - 10du + 10du + uv
=100d(d + 1) + uv
3. 4,2 × 4,8 = (42 × 48) : 100
Appliquons l'algorithme de calcul pour effectuer le produit de M = 42 par N = 48
Avec d = 4, u = 2 et v = 8
d(d + 1) = 4 × 5 = 20
uv = 2 × 8 = 16
uv + 100d(+1) =16 + 2000 = 2016
M × N = 2016 : 100 = 20,16