Sujet zéro, n° 1 — Exercices 1 à 2
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Sujet

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Le sujet est composé de six exercices indépendants : ci-dessous sont traités les exercices 1 et 2.
Exercice 1
Un enseignant de moyenne section de maternelle souhaite créer un jeu sur le modèle du jeu de l'oie pour travailler avec ses élèves la construction du nombre et en particulier des décompositions et recompositions de nombres de 1 à 6.
Il fabrique deux dés équilibrés selon les patrons suivants :
Il crée un parcours sur lequel les élèves déplacent un pion selon le protocole suivant :
  • l'élève lance les deux dés ;
  • il avance son pion d'autant de cases que la somme des nombres inscrits sur les faces supérieures des deux dés ; s'il n'obtient aucun nombre sur les deux dés (deux faces vierges), il passe son tour.
Le plateau de jeu est matérialisé par une bande numérique comme ci-dessous.
1. 
On lance le dé vert seul. Quelle est la probabilité d'obtenir 3 ?
Dans la suite de l'exercice, afin de simplifier les réponses, on pourra considérer que les faces vierges correspondent au nombre 0.
2. 
Un élève lance les deux dés, il calcule la somme des nombres obtenus.
a. Quelles sommes peuvent être obtenues ?
b. Quelle est la probabilité qu'il doive passer son tour ?
c. Quelle est la probabilité qu'il doive avancer de 3 cases ?
d. Déterminer la probabilité de chacun des résultats possibles.
e. Quelle est la probabilité que le résultat du dé vert soit strictement supérieur à celui du dé bleu ?
3. 
Après deux tours de jeu, un élève est arrivé sur la case 10 . Quelle est la probabilité qu'il se soit arrêté sur la case 4 au premier tour ?
Exercice 2
Un nombre décimal est souvent défini de la façon suivante :
« Un nombre décimal est un nombre pouvant s'écrire sous la forme \frac{a}{10^{n}}a est un nombre entier et n est un nombre entier positif. ».
1. 
On s'appuiera sur la définition précédente pour répondre aux deux questions suivantes.
a. Montrer que 0,127 est un nombre décimal.
b. Montrer que \frac{1}{4} est un nombre décimal.
2. 
Dans une classe de CM2 un enseignant demande aux élèves de dire ce qu'est un nombre décimal, voici trois réponses proposées par des élèves :
  • Élève A : « Un nombre décimal est un nombre avec une virgule. »
  • Élève B : « Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec une fraction qui a 10 ou 100 au dénominateur. »
  • Élève C : « Un nombre décimal est un nombre qui n'est pas entier. »
Expliquer pourquoi chacune des définitions proposées ne convient pas d'un point de vue mathématique. On pourra notamment s'appuyer sur des contre-exemples.
3. Parmi les nombres suivants dire, en justifiant, lesquels sont décimaux et lesquels ne le sont pas : 2,48 ; \frac{7}{25} ; 12 ; \frac{7}{9} ; \frac{49}{14}.
4. Le produit de deux nombres décimaux est-il toujours un nombre décimal ? Justifier.
5. Le quotient de deux nombres décimaux est-il toujours un nombre décimal ? Justifier.
Corrigé

Corrigé

Exercice 1
1. Sur le dé vert de 6 faces, le nombre 3 est inscrit sur deux faces : si on considère que le dé vert est équilibré, la probabilité d'obtenir 3 est donc de \frac{2}{6}= \frac{1}{3}
2. 
a. 
Dressons le tableau n° 1 des 36 issues équiprobables possibles lorsque l'on lance les deux dés et qu'on considère la somme des nombres obtenus, ce qui permettra de répondre plus aisément aux questions suivantes :
Les sept sommes pouvant être obtenues sont tous les entiers de 0 à 6.
b. Il doit passer son tour s'il obtient aucun nombre sur les deux dés (somme 0 dans le tableau).
La probabilité qu'il doive passer son tour est de \frac{1}{36}
c. Il avance de 3 cases si la somme de ses points est égale à 3
3 = 0 + 3 (2 chances sur 36)
3 = 1 + 2 (4 chances sur 36)
3 = 2 + 1 (1 chance sur 36)
3 = 3 + 0 (2 chances sur 36)
donc il avance de 3 cases avec une probabilité de \frac{9}{36} = \frac{1}{4}
d. Dressons le tableau de la probabilité d'obtenir chaque somme à partir du tableau n° 1 :
Somme des deux dés
0
1
2
3
4
5
6
Total
Probabilité
\frac{1}{36}
\frac{3}{36} = \frac{1}{12}
\frac{5}{36}
\frac{9}{36} = \frac{1}{4}
\frac{8}{36} = \frac{2}{9}
\frac{6}{36} = \frac{1}{6}
\frac{4}{36} = \frac{1}{9}
\frac{36}{36} = 1

e. 
Le résultat du dé vert est strictement supérieur à celui du dé bleu dans les cas surlignés en jaunes dans le tableau n° 1 :
Donc avec une probabilité de \frac{12}{36} = \frac{1}{3}
3. Sachant qu'il est sur la case 10 après deux tours du jeu (événement noté E), il a pu obtenir comme somme des dés :
4 au 1er tour et 6 au 2e tour : événement n° 1 noté E1
6 au 1er tour et 4 au 2e tour : événement n° 2 noté E2
5 au 1er tour et 5 au 2e tour : événement n° 3 noté E3
Les lancers des deux tours étant indépendants, les événements ci-dessus ont respectivement une probabilité de :
p (E1) = \frac{2}{9} \times \frac{1}{9}~= \frac{2}{81}~= p (E2 ; p (E3) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6}~= \frac{1}{36}
E1, E2 et E3 étant des événements incompatibles (qui ne peuvent se produire simultanément),
P (E) = p (E1) + p (E2) + p (E3)
P (E) = 2 \times \frac{2}{81} + \frac{1}{36} = \frac{4 \times 4}{81 \times 4} = \frac{1 \times 9}{36 \times 9} = \frac{16}{324} + \frac{9}{324} = \frac{25}{324}
La probabilité qu'il se soit arrêté sur la case 4 au premier tour sachant qu'il est sur la case 10 est donc égale à \frac{p(E_1)}{p(E)} = \frac{\frac{2}{81}}{\frac{25}{324}} = \frac{2}{81} \times \frac{324}{25} = \frac{2}{81} \times \frac{81 \times 4}{25} = \frac{8}{25} = 32 %
Remarque : cette question porte sur les probabilités d'événements conditionnels au programme de la classe de 1re au lycée. La question revient à calculer pE (E2) = \frac{p (E \cap E_{2})}{p(E)}\,= \frac{p (E_2)}{p(E)}
Exercice 2
1. 
a. 0,127 = \frac{127}{1000}. Par conséquent 0,127 est un nombre décimal puisqu'il existe un entier a = 127 et un entier n = 3 tel que 0,127 = \frac{127}{10^3} = \frac{a}{10^n}
b. \frac{1}{4} = \frac{25}{100}\,; par conséquent \frac{1}{4} est un nombre décimal puisqu'il existe un entier a = 25 et un entier n = 2 tel que \frac{1}{4} = \frac{a}{10^{n}}
2. 
L'élève A pourrait penser que les nombres entiers (comme 7) ou les nombres décimaux écrits sous forme fractionnaire (comme \frac{1}{4}) ne sont pas décimaux puisqu'ils ne s'écrivent pas (ou pas toujours !) avec une virgule. C'est pourquoi sa définition est mathématiquement incorrecte (bien qu'elle soit largement répandue).
L'élève B pourrait penser qu'un nombre décimal a au maximum deux chiffres dans sa partie décimale (nombres décimaux qu'il fréquente en CM1).
D'autre part, il peut considérer que les fractions \frac{3}{4} ou \frac{1}{2} non écrites sous la forme d'une fraction décimale, ne sont pas des décimaux alors qu'ils le sont. C'est pourquoi sa définition est mathématiquement incorrecte.
L'élève C ne perçoit pas l'inclusion de l'ensemble des entiers dans les décimaux et ne sait pas que tous les nombres qui ne sont pas entiers comme \frac{1}{3} ou \pi ne sont pas décimaux. C'est pourquoi sa définition est mathématiquement incorrecte.
3. 
Parmi les nombres suivants dire, en justifiant, lesquels sont décimaux et lesquels ne le sont pas : 2,48 ; 7/25 ; 12 ; 7/9 ; 49/14.
2,48 = \frac{248}{100} = \frac{238}{10^2} est un nombre décimal d'après la définition rappelée en début d'exercice.
\frac{7}{25} = \frac{7 \times 4}{25 \times 4} = \frac{28}{10^2} est un nombre décimal d'après la définition rappelée en début d'exercice.
\frac{7}{9} n'est pas un nombre décimal : on peut le justifier en utilisant la propriété suivante « une fraction irréductible est l'écriture d'un nombre décimal si et seulement si la décomposition en facteurs premiers de dénominateur ne contient que les facteurs 2 et 5 » ce qui n'est pas le cas ici puisque 9 = 32.
On peut aussi le justifier par le fait que la division de 7 par 9 donne un quotient dont la partie décimale contient une infinité de chiffres.
\frac{49}{14} = \frac{7 \times 7}{7 \times 2} = \frac{7}{2} = \frac{35}{15} est un nombre décimal d'après la définition rappelée en début d'exercice.
4. 
Soient d = \frac{a}{10^n} et d' = \frac{a'}{10^{n'}} deux nombres décimaux : leur produit est donc égal à :
\frac{a}{10^{n}} \times \frac{a'}{10^{n'}} = \frac{a \times a'}{10^{n + n'}}.
Le produit a × a' est un nombre entier puisque c'est un produit de deux nombres entiers.
10n+n' est une puissance de 10, par conséquent \frac{a \times a'}{10^{n +n'}} est l'écriture d'un nombre décimal d'après la définition rappelée en début d'exercice.
5. 
De nombreux contre-exemples montrent que le quotient de deux décimaux n'est pas un nombre décimal comme 0,1 : 0,3 = 1 : 3 = \frac{1}{3}.