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Sujet

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Ce sujet a été proposé en exemple par la Direction des personnels enseignants, selon les directives de l'arrêté du 10 mai 2005 (BO n°21 du 26 mai 2005).
Exercice 1 (4 points)
On considère une demi-droite graduée. On numérote les points de la graduation avec les nombres 0, 1, 2, 3, 4, 5…
On trace tous les segments dont une extrémité est le point A (comme ci-dessous) et l'autre un point de la graduation, en prenant les points de la graduation dans l'ordre croissant de leurs numéros.
1. Cinq étapes ont été représentées ci-dessus. Combien de triangles sont visibles à chacune d'elles ?
2. Julio a placé sur la demi-droite les points numérotés de 0 à 10. Il a tracé tous les segments d'origine A correspondants. Combien de triangles a-t-il ainsi créés ? Justifier la réponse.
3. Sur la figure réalisée par Léa, il y a 105 triangles. Quel est le numéro du dernier point qu'elle a marqué sur la demi-droite ? Justifier la réponse.
4. Julio dit : « Et s'il y avait 3 321 triangles sur le dessin, quel serait le numéro du dernier point marqué sur la demi-droite ? » Répondre et justifier la réponse.
Exercice 2 (8 points dont 3 points pour la question complémentaire)
Tous les nombres considérés dans cet exercice sont écrits dans la numération décimale.
1. Un premier nombre
On recherche un premier nombre. Voici ce qu'on sait de lui :
  • 1) son chiffre des unités est égal à 5 ;
  • 2) il a 431 centaines ;
  • 3) son chiffre des dizaines est égal à 2.
Quel peut être ce nombre ?
2. Un deuxième nombre
On recherche un deuxième nombre. Voici ce qu'on sait de lui :
  • 1) il est compris entre 15 000 et 16 000 ;
  • 2) tous ses chiffres sont différents ;
  • 3) son chiffre des centaines est un multiple de 3 ;
  • 4) son chiffre des unités est un nombre pair supérieur à 5 ;
  •  son chiffre des dizaines est le successeur du chiffre des centaines.
Quel peut être ce nombre ? Donner toutes les possibilités.
3. Un troisième nombre
On recherche un nombre N à trois chiffres.
En permutant, dans l'écriture de N, le chiffre des dizaines et celui des unités, on obtient l'écriture d'un nombre M.
En permutant, dans l'écriture de N, le chiffre des dizaines et celui des centaines, on obtient l'écriture d'un nombre P.
Les nombres M et P restent des nombres à trois chiffres.
Déterminer tous les nombres N qui vérifient simultanément les relations : N + 36 = M et N − 270 = P
Question complémentaire
Cette question prend appui sur les documents proposés en annexe 1.
Exercices proposés à des élèves de cycle 3.
a) Les exercices proposés à l'annexe 1 se présentent sous différentes formes et sont de complexité variable, mais ils sollicitent tous une même connaissance mathématique. Laquelle ?
b) Ranger les exercices par ordre de difficulté croissante. Justifier ce choix.
c) Indiquer trois caractéristiques de l'exercice 4 qui justifient l'intérêt de le proposer à des élèves du cycle 3.
Exercice 3 (8 points dont 5 points pour la question complémentaire)
En accolant 3 rectangles superposables numérotés 1, 2 et 3 comme indiqué sur cette figure, on obtient un rectangle ABCD dont le périmètre est égal à 55 cm.
1) Calculer l'aire du rectangle 1.
2) Calculer l'aire du rectangle ABCD.
3) Le périmètre du rectangle 1 est égal à un certain pourcentage du périmètre du rectangle ABCD. Calculer ce pourcentage.
4) Comparer la longueur d'une diagonale du rectangle ABCD et le demi-périmètre du rectangle 1. Justifier votre réponse.
Question complémentaire
Cette question s'appuie sur les documents proposés en annexes 2 et 3 :
  • Annexe 2 – Extraits des manuels Pour comprendre les maths (Hachette Éducation) et Le nouveau Math Élem (Belin)
  • Annexe 3 – Travaux d'élèves
Première partie (documents A, B et C, annexe 2)
a) Quelle est la notion mathématique commune aux trois documents ?
b) Pour chacun des documents, décrire les étapes d'une procédure possible pour l'élève qui effectue correctement ces exercices.
c) Dans quel ordre peut-on proposer ces documents pour une construction progressive de la notion définie en a) ? Justifier la réponse.
Deuxième partie
Les exercices suivants sont donnés à un élève.
1) ABCD est un rectangle de 10 cm sur 6 cm. Les cercles ont pour centre les milieux des côtés. Calcule l'aire de la partie grisée.
2) ABCD est un carré de 12 cm de côté ; EFGH est un carré de 7 cm de côté. Quelle est l'aire de la partie grisée ?
a) Résoudre chacun des exercices.
b) Les calculs et les réponses de Lucie à cet exercice sont présentés en annexe 3. Relever les erreurs commises par Lucie. Formuler des hypothèses sur l'origine de ces erreurs.
Annexe 1
Annexe 2
Ces documents sont extraits des manuels Pour comprendre les maths (Hachette Éducation) et Le nouveau Math Élem (Belin).
Document A
Document B
Document C
Annexe 3
Corrigé

Corrigé

Exercice 1
1. Il s'agit d'une suite, celle des nombres triangulaires :
Étape 1 : graduation 1 ; 1 triangle
Étape 2 : 1 + 2 ; 3 triangles
Étape 3 : 1 + 2 + 3 ; 6 triangles
Étape 4 : 1 + 2 + 3 + 4 ; 10 triangles
Étape 5 : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ; 15 triangles
2. La suite est régulière ; pour chaque étape, on ajoute au résultat précédent la valeur de la graduation ultérieure.
On utilisera la formule suivante, x ayant la valeur de la graduation, et U le nombre de triangles :
U = \frac{x(x+1)}{2}
En effet (x + 1) + (x −1 + 2) + (x − 2 + 3) … soit \frac{x}{2}(x + 1)
Pour x = 10, U = \frac{10(10+1)}{2} = 55 (10 graduations correspondent à 55 triangles).
3. En appliquant la formule précédente aux triangles de Léa, on obtient, x étant la graduation cherchée :
105 = \frac{x(x+1)}{2}
x(x + 1) = 210
x2 + x = 210
x2 + x − 210 = 0
Résolvons l'équation au second degré :
Δ = 1 − 4 (−210)
Δ = 841
Δ = 292
x = \frac{-1-29}{2} = −15
ou x = \frac{-1+29}{2} = 14
x > 0, Léa a marqué sa demi-droite sur la graduation 14.
4. Pour 3 321 triangles, on applique la même démarche :
3321 = \frac{x(x+1)}{2}
x (x + 1) = 6 642
x2 + x = 6 642
x2 + x − 6 642 = 0
Résolvons l'équation au second degré :
Δ = 1 − 4 (−6 642)
Δ = 26 569
Δ = 1632
x = \frac{-1-163}{2} = −82
ou x = \frac{-1+163}{2} = 81
Pour obtenir 3 321 triangles, on trace un segment qui joint A et la graduation 81.
Exercice 2
1. Un premier nombre
Il s'agit de 43 125.
2. Un deuxième nombre
Il possède un chiffre des centaines, il ne peut donc posséder 16 mille, puisqu'il est compris entre 15 000 et 16 000. Ses deux premiers chiffres sont 15.
Le chiffre des dizaines est le successeur du chiffre des centaines, multiple de 3, ce dernier ne peut être que 3 ou 6.
Le chiffre des unités ne peut être que 6 ou 8.
Les chiffres sont tous différents, on ne peut trouver un nombre comportant deux fois le chiffre 6.
Les solutions sont donc : 15 346 ; 15 348 ; 15 678.
3. Un troisième nombre
Soit :
N = ABC
M = ACB
P = BAC
On peut poser les opérations :
ABC + 36 =ACB
ABC − 270 =BAC
AB − 27 =BA
Si B = 1, alors A = 4 et C = 5
Si B = 2, alors A = 5 et C = 6
Si B = 3, alors A = 6 et C = 7
Si B = 4, alors A = 7 et C = 8
Si B = 5, alors A = 8 et C = 9
Si B = 6, alors A = 9 et C ne peut prendre de valeur.
Par conséquent, les possibilités pour N sont : 415 ; 526 ; 637 ; 748 ; 859.
Question complémentaire
a) Les exercices proposés aux élèves font travailler la notion de différence entre chiffre et nombre dans le nombre appartenant à notre numération décimale.
b) En ordre de croissance de difficulté, les exercices peuvent être ainsi classés : 1 – 2 – 4 – 3. L'exercice n°1 part de l'observation d'un exemple qu'il suffit de décliner. L'exemple ne comporte pas d'ambiguïté, tous les chiffres étant différents. Les nombres étudiés sont intégralement écrits.
L'exercice n°2 n'offre pas de difficulté majeure non plus, les informations sont immédiatement utilisables ou portent sur un chiffre déjà écrit. La distinction entre chiffre et nombre doit être acquise, il n'y a pas d'exemple. Les nombres sont à compléter.
L'exercice n°4 est un repérage dans des nombres intégralement écrits d'après une description portant sur « chiffre des » et « nombre de » La notion doit être acquise, il n'y a pas d'exemple. Les nombres choisis sont plus complexes, plus grands et comportant des 0.
L'exercice n°3 associe plusieurs compétences :
  • distinction entre chiffre et nombre ;
  • connaissance du système décimal (lorsque l'on ajoute une unité, on bouleverse un ou plusieurs chiffres dans le nombre selon le principe des « retenues ») ;
  • lecture avancée induisant des inférences et des déductions (un nombre compris entre un millier et un million comprenant un nombre impair de chiffres en compte forcément 5 ; ce ne peut être 3, le nombre est supérieur à un millier, ce ne peut être 7 puisqu'il est inférieur à un million ; pour résoudre ce problème, l'élève doit être capable à la fois de comprendre les informations, de les mettre en relation et de proposer une solution cohérente).
c) Dans l'exercice n°4, à la notion étudiée proprement dite, l'élève doit ajouter une stratégie de codage de manière à ne pas oublier une réponse et à ne pas la donner deux fois.
Exercice 3
Si les rectangles a1, a2 et a3 sont superposables, on a :
BC = AB + \frac{AB}{2}
Par ailleurs :
P = 2AB + 2BC
P = 2AB + 2AB + AB
P = 5 AB
AB = P/5
AB = 11 cm et BC = 16,5 cm
1) Soit A1 l'aire du rectangle a1
A1 = AB × \frac{AB}{2}
A1 = 11 × 5,5
A1 = 60,5 cm2
2) Soit A l'aire du rectangle ABCD :
A = AB × BC
A = 11 × 16,5
A = 181,5 cm2
OU
A = 3 × A1
A = 3 × 60,5
A = 181,5 cm2
3) Soit P le périmètre du rectangle ABCD et P1 le périmètre de a1 :
P = 55 cm
P1 = 3AB = 33 cm
P1 = \frac{3}{5} P, soit P1 = 60 % de P.
4) Selon le théorème de Pythagore :
AC2 = AB2 + BC2
Par calcul direct :
AC2 = 121 + 272,25
AC2 = 393,25
AC = 19,83 cm
NB : le demi périmètre du rectangle a1, égal à BC, peut, si l'on souhaite établir un lien, être utilisé dans une équation contenant la mesure de la diagonale, mais le rapport entre ces deux éléments n'est pas significatif.
Question complémentaire
Première partie
a) La notion commune aux trois exercices est la décomposition d'une surface en unités et le calcul d'aires.
b) Document A : il s'agit d'effectuer le calcul d'une aire, par une procédure unique (produit de la mesure de la longueur par la mesure de la largeur) puis de convertir le résultat dans l'unité demandée. L'élève peut aussi commencer par convertir les mesures de longueur et de largeur dans l'unité qui lui permettra d'obtenir directement son résultat dans l'unité demandée.
Document B : il s'agit d'utiliser des unités d'aires différentes pour obtenir l'aire de deux figures. Une manipulation ou un comptage sont possibles, puisque les carreaux sont dessinés. Pour l'unité de Sylvia, il conviendra de prendre en compte des moitiés d'unité qu'il faudra ajouter ou retrancher selon la démarche. Kamel pourra tenir compte du fait qu'il faut deux de ses unités d'aire pour couvrir un carreau, ou que son unité d'aire équivaut à la moitié de celle de Sylvia. C'est à dire que l'élève peut se servir du premier résultat pour obtenir le second sans manipulation.
Document C : il s'agit de comparer les aires de plusieurs figures. Le passage par l'unité est là aussi nécessaire. L'unité à choisir est simple, il s'agit d'un triangle bien matérialisé.
c) L'ordre logique d'effectuation est : C – B – A. Le premier relève de la manipulation et du comptage simples, le second fait appel à une relation entre unités et utilise des unités non toujours strictement superposables à la figure à étudier, et le troisième fait appel à des notions numériques plus complexes.
Deuxième partie
a) Le cercle ayant pour diamètre AD a pour aire :
AAD = π × \left(\frac{AD}{2}\right)^{2}
AAD = 3,14 × 9
AAD = 28,26 cm2
Le cercle ayant pour diamètre AB a pour aire :
AAB = π × \left(\frac{AB}{2}\right)^{2}
AAB = 3,14 × 25
AAB = 78,5 cm2
Le rectangle ABCD a pour aire :
A = 10 × 6
A = 60 cm2
La partie grisée a pour aire :
G = \frac{1}{2}AAD + (A − \frac{1}{2}AAB)
G = 14,13 + (60 − 39,25)
G = 34,88 cm2
Le carré ABCD a pour aire :
A1 = 12 × 12
A1 = 144 cm2
Le carré EFGH a pour aire :
A2 = 7 × 7
A2 = 49 cm2
La partie grisée a pour aire :
G = \frac{1}{2} A1 + \frac{1}{2} A2
G = 72 + 24,5
G = 96,5 cm2
b) Erreurs et hypothèses :
  • confusion entre la circonférence d'un cercle (π × D) et l'aire d'un disque (π × r2). Soit il s'agit d'un problème de mémorisation des formules, soit il y a confusion entre le carré d'un nombre et son double ;
  • prise en compte des disques complets alors que les parties grisées, à prendre en compte ou à retirer, sont des demi-disques. La tâche est incomplète, l'attention de l'élève étant peut-ête polarisée sur la restitution des formules ;
  • confusion entre mesures d'aires et mesures de longueur ; erreur d'unité, les aires sont exprimées en cm ;
  • l'aire du carré EFGH est ajoutée complètement à celle du carré ABCD, alors que seule la moitié doit l'être, son autre moitié ayant déjà été prise en compte ; la tâche est incomplète, par erreur de perception, ou parce qu'une moitié avait déjà été calculée une fois.