Première partie de la deuxième épreuve d'admissibilité session 2011  –  Mathématiques, groupement académique 1

-----------------------------------------------

Sujet

Problème 1 (8 points)
Les parties A, B et C de ce problème sont indépendantes.
Partie A : La sécurité
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.
1. Le temps de réaction est le temps qui sépare le moment où le conducteur voit un obstacle de celui où il commence à appuyer sur la pédale de frein. Dans tout le problème on considère que le temps de réaction est d'une seconde.
On note DR la distance parcourue pendant le temps de réaction.
La distance de freinage DF d'un véhicule est la distance parcourue durant le freinage du véhicule jusqu'à l'arrêt complet.
Le graphique ci-dessous indique la distance de freinage en fonction de la vitesse du véhicule au moment du début du freinage.
La distance d'arrêt DA d'un véhicule est la distance parcourue par le véhicule entre le moment où le conducteur voit un obstacle et commence à freiner et celui où le véhicule s'arrête.
On a l'égalité DA = DR + DF.
1. a)  À l'aide du graphique, indiquer la distance de freinage, au mètre près, pour la vitesse v1 = 90 km/h, puis pour la vitesse v2 = 130 km/h.
1. b)  Calculer la distance d'arrêt, au mètre près, lorsque le véhicule roule à la vitesse v1, puis à la vitesse v2.
1. c)   À quelle vitesse en km/h roule l'automobiliste si la distance parcourue pendant le temps de réaction est 15 mètres ?
1. d)   Déterminer la distance d'arrêt à un mètre près.
2. On contrôle les feux de croisement d'un véhicule. Pour cela, on place le véhicule à 3 mètres de distance d'un mur vertical, phares allumés.
La situation peut être représentée par le schéma suivant (qui n'est pas à l'échelle) :
Le point O représente le phare de l'automobile, le point H est à la verticale de O sur le sol et OH = 0,8 m ; la droite (HM) représente le sol et le segment [LK] la partie éclairée du mur. On a KH = 3 m.
La distance HM est appelée portée des feux de croisement.
Consigne de sécurité : la portée des feux de croisement ne doit pas être inférieure à 30 m pour éclairer assez loin et ne doit pas être supérieure à 45 m pour ne pas éblouir les autres conducteurs.
2. a)   Si le coffre est plein, la longueur LK est égale 0,76 m. Ce véhicule ainsi chargé va-t-il respecter la consigne de sécurité définie ci-dessus ?
2. b)   Quelle est la plus grande longueur LK possible (arrondie au cm) qui permet de respecter la consigne de sécurité ?
3. Un panneau routier indique une descente dont la pente est de 10 %. Une pente à 10 % est définie par un dénivelé de 10 m pour un trajet horizontal théorique de 100 m.
Si la longueur de la descente est de 2,5 km, quel est le dénivelé, arrondi au mètre près, entre le point de départ et le point d'arrivée ?
Partie B : Les accidents
La sécurité routière a relevé les accidents survenus en France sur une année donnée et l'heure à laquelle ils se sont produits. Elle a édité la feuille de calcul suivante :
Lecture du tableau : 4 581 accidents se sont produits entre 8h et 9h.
1. Une personne affirme que 25 % des accidents se produisent entre 20h et 24h. Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
2. Donner une formule qui, entrée dans la cellule C4, puis recopiée vers la droite, permet de compléter la ligne 4 à partir des autres lignes et de la cellule B4.
3. Comment expliquer le résultat obtenu dans la cellule T4, compte-tenu des données en S4 et T3 ?
Partie C : Consommation de carburant
Une automobile hybride utilise deux sources d'énergie : du carburant et de l'énergie électrique que la voiture produit elle-même en roulant.
La consommation en carburant d'un modèle donné de ce type d'automobile est la suivante : 5 L/100 km en ville, 4,2 L/100 km en zone mixte.
En une semaine, une automobile hybride a parcouru au total 350 kilomètres dont x kilomètres en ville et y kilomètres en zone mixte. Elle consomme pendant cette semaine 16,3 L de carburant.
1. Déterminer le nombre de kilomètres que cette automobile a effectué en ville et en zone mixte.
2. Un véhicule classique fait le même trajet en une semaine que l'automobile hybride. Ce véhicule classique parcourt 8 km par litre de carburant en ville et 10 km par litre de carburant en zone mixte.
Calculer l'économie réalisée par l'automobile hybride (en volume de carburant).
Problème 2 (4 points)
L'écriture en base 3 d'un nombre n positif est de la forme \overline{a_{k} a_{k-1} \ldots a_{1} a_{0}}
  • k est un entier naturel
  • les termes ak, ak−1, …a1, a0 sont des entiers compris entre 0 et 2
  • ak > 0 sauf si n = 0 (auquel cas k = 0 et a0 = 0)
  • n = ak3k + ak−13k−1 + … + a13 + a0
Les termes ak, ak−1, …a1, a0 sont alors appelés les chiffres de l'écriture en base 3 de n.
Toutes les réponses devront être justifiées.
1. a) Vérifier que l'écriture en base 3 du nombre 11 est \overline{102}.
1. b) Quelle est l'écriture en base 3 du nombre 74 ?
1. c) Que peut-on dire d'un nombre dont l'écriture en base 3 se termine par le chiffre « 0 » ?
On s'intéresse aux nombres entiers n dont aucun chiffre de l'écriture en base 3 ne prend la valeur 2. On appellera ces nombres des entiers 2-lacunaires.
Par exemple 12 = \overline{110} est 2-lacunaire alors que 19 = \overline{201} ne l'est pas.
2. a) Déterminer le nombre d'entiers 2-lacunaires compris entre 0 et 100.
2. b) À quelle condition nécessaire et suffisante un nombre 2-lacunaire possédant 4 chiffres en base 3 est-il divisible par 2 ?
On appelle nombres 1-lacunaires les nombres entiers n dont aucun chiffre de l'écriture en base 3 ne prend la valeur 1.
3. a) Montrer que tout entier 1-lacunaire est le double d'un entier 2-lacunaire.
3. b) Montrer que tout entier peut se décomposer comme la somme d'un entier 2-lacunaire et d'un entier 1-lacunaire.
3. c) Montrer que cette décomposition n'est pas toujours unique.

Corrigé

Problème 1
Partie A : La sécurité
Une information capitale à ne pas omettre est : « dans tout le problème, on considère que le temps de réaction est de 1 s ».
1. a)  Distance de freinage à 90 km/h et 130 km/h
L'axe des abscisses a pour unité le m/s. Il faut donc d'abord convertir les vitesses proposées dans cette unité.
v1 = 90 km/h = 90 000 m/3 600 s = 25 m/s.
Le point de la courbe d'abscisse 25 a pour ordonnée 50. La distance de freinage à 90 km/h est donc de 50 m.
v2 = 130 km/h = 130 000 m/3 600 s \simeq 36,1 m/s.
Le point de la courbe d'abscisse 36,1 a pour ordonnée 105. La distance de freinage à 130 km/h est donc de 105 m.
1. b)  Distance d'arrêt à ces mêmes vitesses
DA  = DR  + DF.
Le temps de réaction étant de 1 s, la vitesse du véhicule, exprimée en m/s, permet d'obtenir immédiatement la distance de réaction.
Comme v1 = 25 m/s, la distance de réaction correspondante est : 25 m ;
comme v2\simeq  36,1 m/s, la distance de réaction correspondante est d'environ : 36,1 m
Lorsque le véhicule roule à 90 km/h, la distance d'arrêt est donc : DA1  = 25 + 50 = 75 m ;
lorsque le véhicule roule à 130 km/h, la distance d'arrêt est : DA2  \simeq 36,1 + 105  141 m.
1. c)  Vitesse pour une distance de réaction de 15 m
Si la distance parcourue pendant le temps de réaction est de 15 m, cela signifie que le véhicule roule à 15 m/s, puisque la durée de réaction est de 1 s.
15 m/s = 15  ×  3 600 m/h = 54 000 m/h = 54 km/h.
Le véhicule roule à 54 km/h.
1. d)  Distance d'arrêt correspondante
Sur le graphique, le point de la courbe d'abscisse 15 a pour ordonnée 18 (au mètre près).
On en déduit que la distance d'arrêt à 54 km/h est : 15 + 18 = 33 m (au mètre près).
2. a)  Le véhicule respecte-t-il la consigne de sécurité ?
Les droites (0H) et (LK) sont parallèles car toutes deux perpendiculaires à la droite (HM) ; les droites (OL) et (HK) sont sécantes en M, d'après le théorème de Thalès, on a donc : \frac{\mathrm{ML}}{\mathrm{MO}}=\frac{\mathrm{MK}}{\mathrm{MH}}=\frac{\mathrm{LK}}{\mathrm{OH}} d'où : \frac{\mathrm{MH-3}}{\mathrm{MH}}=\frac{0,76}{0,8} (1) car K étant sur le segment [HM], on a MK = MH  −  HK.
On déduit de l'égalité (1) que : 0,8(MH−3) = 0,76 MH, puis : 0,04 MH = 2,4 et finalement : MH = 60 m. La portée des feux de croisement est supérieure à 45 m ; le véhicule ne respecte pas la consigne de sécurité.
2. b)  Calcul de la plus grande longueur LK permettant de respecter la consigne de sécurité
Reprenons l'égalité de quotients établie plus haut :
\frac{\mathrm{ML}}{\mathrm{MO}}=\frac{\mathrm{MK}}{\mathrm{MH}}=\frac{\mathrm{LK}}{\mathrm{OH}}
On en déduit que : \frac{\mathrm{MH-3}}{\mathrm{MH}}=\frac{\mathrm{LK}}{0,8}, d'où 0,8(MH−3) = MH × LK et \mathrm{MH}=\frac{2,4}{0,8-\mathrm{LK}}.
On aura donc MH inférieur ou égal 45 si et seulement si \mathrm{MH}=\frac{2,4}{0,8-\mathrm{LK}}45, d'où : 2,4 inférieur ou égal 45(0,8−LK), c'est-à-dire : 2,4 inférieur ou égal 36−45 LK, soit : −33,6 inférieur ou égal −45 LK et finalement :
LK inférieur ou égal \frac{33,6}{45}. Or \frac{33,6}{45}\approx0,747.
La hauteur LK maximale au centimètre près est donc : 74 cm.
Remarque : cette réponse ne correspond pas à l'arrondi, au centimètre près, du résultat, qui serait : 75 cm. Mais LK = 75 cm conduit à un dépassement de la distance de sécurité, puisque 75 > \frac{33,6}{45}. La plus grande valeur possible, en centimètres, est donc : 74.
3. Calcul du dénivelé
Modélisons la situation par un triangle ABC, rectangle en B. La distance AB représente le dénivelé, AC représente la longueur de la descente et BC le trajet horizontal théorique. La descente étant de pente 10  %, on a : BC = 10AB, puisque à 10 m de dénivelé correspondent 100 m (10 × 10 ) de trajet horizontal théorique.
Dans le triangle ABC, rectangle en B, on a, d'après le théorème de Pythagore :
AB2 + BC2 = AC2, d'où AB2  + (10AB)2 = 2 5002 et donc 101AB2 = 2 500, soit :
\mathrm{AB}=\sqrt{\frac{2500^{2}}{101}}.

Or \sqrt{\frac{2500^{2}}{101}}H248,76.
Le dénivelé, arrondi au mètre près, entre le point de départ et le point d'arrivée est donc de 249 m.
Partie B : Les accidents
1. La lecture des fréquences cumulées croissantes permet de constater que 87 % des accidents ont lieu avant 20h (cellule U4). Comme 100 − 87 = 13, on en déduit que 13 %des accidents ont lieu après 20h, c'est-à-dire entre 20h et minuit.
2. Il suffit de taper la formule « =B4+C3 » ainsi, par recopiage vers la droite, les lettres désignant les colonnes seront incrémentés d'un rang, le recopiage exclusivement vers la droite (et pas vers le bas) n'ayant pas d'effet sur les numéros de ligne.
3. Le résultat peut s'expliquer par les approximations qui ont été faites pour remplir le tableau : les fréquences calculées sont exprimées en pourcentages arrondis à l'unité. Ainsi, si le résultat exact correspondant à la cellule S4 était 71,3, il a été arrondi à 71. De même, si le résultat exact correspondant à la cellule T3 était 9,3, il a été arrondi à 9. Le résultat exact correspondant à la cellule T4 est alors : 71,3 + 9,3 = 80,6 qui est arrondi à 81.
Remarque : Si l'on effectue les calculs correspondants, on trouve environ 80, 41  % pour la cellule T4, 71,22 % pour la cellule S4 et 9,2 % pour la cellule T3. La valeur de la cellule T4 est donc erronée…(pour les besoins de l'exercice ?)
Partie C : Consommation de carburant
1.  Nombre de kilomètres parcourus par la voiture
Soit x le nombre de kilomètres parcourus en ville et y le nombre de kilomètres parcourus en zone mixte.
Comme la voiture a parcouru en tout 350 km, on a : x + y = 350 (1).
La voiture consomme 5 L/100 km en ville, soit 0,05 L/km. En effectuant x km, elle a donc consommé 0,05x L.
La voiture consomme 4,2 L/100 km en zone mixte, soit 0,042 L/km. En effectuant y km, elle a donc consommé 0,042y L.
La voiture a consommé 16,3 L en tout ; on a donc : 0,05x + 0,042y = 16,3 (2).
Il faut résoudre le système constitué des équations (1) et (2) pour déterminer x et y :
\{{x+y=350\atop 0,05x+0,042y=16,3}

Procédons par substitution, en exprimant x en fonction de y  :
\{{x=350-y\atop 0,05(350-y)+0,042y=16,3}, d'où :\{{x=350-y\atop -0,008y=-1,2} et finalement : \{{x=200\atop y=150}

Le véhicule a effectué 200 km en ville et 150 km en zone mixte.
2.  Économie réalisée par le véhicule hybride (en L)
Le véhicule classique parcourt 8 km en ville avec 1 L de carburant. Pour parcourir 200 km, il lui faudra donc : 25 L de carburant.
En zone mixte, le véhicule classique parcourt 10 km avec 1 L de carburant. Pour parcourir 150 km, il lui faudra donc : 150 ÷ 10 = 15 L de carburant. En tout, le véhicule classique aura consommé 40 L de carburant.
40 − 16,3 = 23,7.
Le véhicule hybride réalise une économie de 23,7 L.
Problème 2
L'énoncé définit un certain nombre de termes et de notations en préliminaire. Ces notations peuvent (doivent) donc être utilisées dans la suite sans justifications. Les réponses, quant à elles, doivent être justifiées ainsi que le stipule le sujet.
Une des difficultés du problème réside dans le passage incessant de notre base décimale usuelle à la base 3. Il faut donc d'une part être très attentif au cadre dans lequel on se situe, et d'autre part être rigoureux quant aux écritures employées afin de ne pas produire de confusions.
1. a)  11 = 1  ×  32  + 0  ×  3 + 2. L'écriture de 11 en base 3 est donc : \overline{102}.
1. b) Écriture de 74 en base 3
74 = 2 × 33 + 2 × 32 + 0 × 3 + 1. L'écriture de 73 en base 3 est donc : \overline{2201}. (2202)
1. c) Soit n un nombre dont l'écriture en base 3 se termine par 0. Cette écriture est donc de la forme : \overline{a_{k} a_{k-1} \ldots a_{1} 0}
ce qui signifie que : n=a_{k}3^{k}+a_{k-1}3^{k-1}+\ldots+a_{1}3
d'où : n=(a_{k}3^{k-1}+a_{k-1}3^{k-2}+\ldots+a_{1}).

n est donc un multiple de 3.
2. a) Recherche du nombre d'entiers 2-lacunaires inférieurs à 100
Attention : on cherche le nombres d'entiers compris entre 0 et 100 en base 10 qui sont 2-lacunaires en base 3
100 = 1 × 34 + 0 × 33 + 2 × 32 + 0 × 3 + 1. Donc 100 s'écrit \overline{10201} en base 3.
Les nombres inférieurs à 100 ont une écriture en base 3 qui comporte au maximum 5 chiffres.
Un nombre 2-lacunaire ne comporte pas de chiffre 2 dans son écriture en base 3. Les seuls chiffres possibles sont donc 0 ou 1.
Dénombrons les entiers 2-lacunaires inférieurs à 100 en fonction du nombre de chiffres de leur écriture en base 3. Il y a :
  • 2 nombres 2-lacunaires à un chiffre, à savoir 0 et 1 ;
  • 2 nombres 2-lacunaires à deux chiffres, à savoir 10 et 11 ;
  • 4 nombres 2-lacunaires à trois chiffres : le chiffre le plus à gauche doit être 1 et il y a deux choix possibles pour chacune des deux autres positions ;
  • 8 nombres 2-lacunaires à quatre chiffres : le chiffre le plus à gauche doit être 1 et il y a deux choix possibles pour chacune des trois autres positions ;
  • 8 nombres 2-lacunaires à cinq chiffres : le chiffre le plus à gauche doit être 1, son voisin de droite doit être 0 pour que le nombre obtenu soit inférieur à 100 et il y a deux choix possibles pour chacune des trois autres positions.
Il y a donc en tout 24 nombres entiers 2-lacunaires et inférieurs à 100.
2. b)  Condition pour qu'un nombre à quatre chiffres en base 3 soit divisible par 2
Un nombre  n 2-lacunaire dont l'écriture en base 3 possède quatre chiffres a une écriture en base 3 de la forme \overline{1a_{2} a_{1} a_{0}} avec a0, a1, a2 pouvant prendre les valeurs 0 ou 1. On a donc n = 33 + a232 + a13 + a0. Tous les termes de cette somme sont : soit impairs car valant respectivement 27, 9, 3 ou 1, soit nuls.
Une somme de termes impairs est paire si et seulement si le nombre de termes est pair.
n sera donc divisible par 2, c'est-à-dire pair, si et seulement si 1 + a2 + a1 + a0 est pair , c'est-à-dire si et seulement si a2 + a1 + a0 est impair.
3. a)  Montrons que tout nombre 1-lacunaire est le double d'un nombre 2-lacunaire.
Soit n un entier 1-lacunaire. L'écriture en base 3 de n est donc de la forme :
\overline{a_{k} a_{k-1} \ldots a_{1} a_{0}} avec des chiffres a_{i} égaux à 0 ou 2 pour tout i tel que : 0 inférieur ou égal i inférieur ou égal k.
Soit m le nombre entier dont l'écriture en base 3 est définie de la façon suivante :
m=\overline{b_{k} b_{k-1} \ldots b_{1} b_{0}} avec, pour tout i tel que : 0 inférieur ou égal  i inférieur ou égal k :
  • b_{i}=0 lorsque a_{i}=0 et
  • b_{i}=1 lorsque a_{i}=2.
Comme a_{i}=2b_{i} pour tout i tel que : 0 inférieur ou égal i inférieur ou égal k, le nombre n est le double du nombre m.
Comme les chiffres b_{i} de l'écriture du nombre m en base 3 ne prennent, par définition, que les valeurs 0 et 1, le nombre m est 2-lacunaire.
3. b)  Montrons que tout entier peut se décomposer comme la somme d'un entier 2-lacunaire et d'un entier 1-lacunaire.
Soit n un entier 1-lacunaire. L'écriture en base 3 de n est donc de la forme :
\overline{a_{k} a_{k-1} \ldots a_{1} a_{0}} avec des chiffres a_{i} égaux à 0, 1 ou 2 pour tout i tel que : 0 inférieur ou égal i inférieur ou égal k.
Soient m et t les nombres entiers dont les écritures en base 3 sont définies de la façon suivante :
m=\overline{b_{k} b_{k-1} \ldots b_{1} b_{0}} avec, pour tout i tel que : 0 inférieur ou égal i inférieur ou égal k :
  • b_{i}=0 lorsque a_{i}=0 ou a_{i}=1 et
  • b_{i}=2 lorsque a_{i}=2.
t=\overline{c_{k} c_{k-1} \ldots c_{1} c_{0}} avec, pour tout i tel que : 0 inférieur ou égal i inférieur ou égal k :
  • c_{i}=0 lorsque a_{i}=0 et a_{i}=2
  • c_{i}=1 lorsque a_{i}=1.
Comme a_{i}=b_{i}+c_{i} pour tout i tel que : 0 inférieur ou égal i inférieur ou égal k, le nombre n est la somme des nombres m et t.
Comme les chiffres b_{i} de l'écriture du nombre m en base 3 ne prennent, par définition, que les valeurs 0 et 2, le nombre  m est 1-lacunaire.
Comme les chiffres c_{i} de l'écriture du nombre t en base 3 ne prennent, par définition, que les valeurs 0 et 1, le nombre t est 2-lacunaire.
3. c) Cette décomposition n'est pas unique.
3 s'écrit \overline{10} en base 3 et \overline{10}=\overline{10}-\overline{0}=\overline{1}+\overline{2}.
3 peut donc se décomposer de deux façons comme la somme d'un entier 2-lacunaire et d'un entier 1- lacunaire.
La décomposition n'est donc pas toujours unique.
Remarque : un autre exemple de nombre ayant deux décompositions est :
21, dont l'écriture en base 3 est \overline{210}=\overline{200}+\overline{10}=\overline{22}+\overline{111}.
------------------------------------------------------------
copyright © 2006-2018, rue des écoles