Sujet
Problème 1 (8 points)
Les parties A, B et C de ce problème sont indépendantes.
Partie A : La sécurité
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.
1. Le temps de réaction est le temps qui sépare le moment où le conducteur voit un obstacle de celui où il commence à appuyer sur la pédale de frein. Dans tout le problème on considère que le temps de réaction est d'une seconde.
On note DR la distance parcourue pendant le temps de réaction.
La distance de freinage DF d'un véhicule est la distance parcourue durant le freinage du véhicule jusqu'à l'arrêt complet.
Le graphique ci-dessous indique la distance de freinage en fonction de la vitesse du véhicule au moment du début du freinage.
La distance d'arrêt DA d'un véhicule est la distance parcourue par le véhicule entre le moment où le conducteur voit un obstacle et commence à freiner et celui où le véhicule s'arrête.
On a l'égalité DA = DR + DF.
1. a) À l'aide du graphique, indiquer la distance de freinage, au mètre près, pour la vitesse v1 = 90 km/h, puis pour la vitesse v2 = 130 km/h.
1. b) Calculer la distance d'arrêt, au mètre près, lorsque le véhicule roule à la vitesse v1, puis à la vitesse v2.
1. c) À quelle vitesse en km/h roule l'automobiliste si la distance parcourue pendant le temps de réaction est 15 mètres ?
1. d) Déterminer la distance d'arrêt à un mètre près.
2. On contrôle les feux de croisement d'un véhicule. Pour cela, on place le véhicule à 3 mètres de distance d'un mur vertical, phares allumés.
La situation peut être représentée par le schéma suivant (qui n'est pas à l'échelle) :
Le point O représente le phare de l'automobile, le point H est à la verticale de O sur le sol et OH = 0,8 m ; la droite (HM) représente le sol et le segment [LK] la partie éclairée du mur. On a KH = 3 m.
La distance HM est appelée portée des feux de croisement.
Consigne de sécurité : la portée des feux de croisement ne doit pas être inférieure à 30 m pour éclairer assez loin et ne doit pas être supérieure à 45 m pour ne pas éblouir les autres conducteurs.
2. a) Si le coffre est plein, la longueur LK est égale 0,76 m. Ce véhicule ainsi chargé va-t-il respecter la consigne de sécurité définie ci-dessus ?
2. b) Quelle est la plus grande longueur LK possible (arrondie au cm) qui permet de respecter la consigne de sécurité ?
3. Un panneau routier indique une descente dont la pente est de 10 %. Une pente à 10 % est définie par un dénivelé de 10 m pour un trajet horizontal théorique de 100 m.
Si la longueur de la descente est de 2,5 km, quel est le dénivelé, arrondi au mètre près, entre le point de départ et le point d'arrivée ?
Partie B : Les accidents
La sécurité routière a relevé les accidents survenus en France sur une année donnée et l'heure à laquelle ils se sont produits. Elle a édité la feuille de calcul suivante :
Lecture du tableau : 4 581 accidents se sont produits entre 8h et 9h.
1. Une personne affirme que 25 % des accidents se produisent entre 20h et 24h. Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
2. Donner une formule qui, entrée dans la cellule C4, puis recopiée vers la droite, permet de compléter la ligne 4 à partir des autres lignes et de la cellule B4.
3. Comment expliquer le résultat obtenu dans la cellule T4, compte-tenu des données en S4 et T3 ?
Partie C : Consommation de carburant
Une automobile hybride utilise deux sources d'énergie : du carburant et de l'énergie électrique que la voiture produit elle-même en roulant.
La consommation en carburant d'un modèle donné de ce type d'automobile est la suivante : 5 L/100 km en ville, 4,2 L/100 km en zone mixte.
En une semaine, une automobile hybride a parcouru au total 350 kilomètres dont x kilomètres en ville et y kilomètres en zone mixte. Elle consomme pendant cette semaine 16,3 L de carburant.
1. Déterminer le nombre de kilomètres que cette automobile a effectué en ville et en zone mixte.
2. Un véhicule classique fait le même trajet en une semaine que l'automobile hybride. Ce véhicule classique parcourt 8 km par litre de carburant en ville et 10 km par litre de carburant en zone mixte.
Calculer l'économie réalisée par l'automobile hybride (en volume de carburant).
Problème 2 (4 points)
L'écriture en base 3 d'un nombre
n positif est de la forme
où
- k est un entier naturel
- les termes ak, ak−1, …a1, a0 sont des entiers compris entre 0 et 2
- ak > 0 sauf si n = 0 (auquel cas k = 0 et a0 = 0)
- n = ak3k + ak−13k−1 + … + a13 + a0
Les termes
ak,
ak−1, …
a1,
a0 sont alors appelés les chiffres de l'écriture en base 3 de
n.
Toutes les réponses devront être justifiées.
1. a) Vérifier que l'écriture en base 3 du nombre 11 est
.
1. b) Quelle est l'écriture en base 3 du nombre 74 ?
1. c) Que peut-on dire d'un nombre dont l'écriture en base 3 se termine par le chiffre « 0 » ?
On s'intéresse aux nombres entiers
n dont aucun chiffre de l'écriture en base 3 ne prend la valeur 2. On appellera ces nombres des entiers 2-lacunaires.
Par exemple 12 =
est 2-lacunaire alors que 19 =
ne l'est pas.
2. a) Déterminer le nombre d'entiers 2-lacunaires compris entre 0 et 100.
2. b) À quelle condition nécessaire et suffisante un nombre 2-lacunaire possédant 4 chiffres en base 3 est-il divisible par 2 ?
On appelle nombres 1-lacunaires les nombres entiers n dont aucun chiffre de l'écriture en base 3 ne prend la valeur 1.
3. a) Montrer que tout entier 1-lacunaire est le double d'un entier 2-lacunaire.
3. b) Montrer que tout entier peut se décomposer comme la somme d'un entier 2-lacunaire et d'un entier 1-lacunaire.
3. c) Montrer que cette décomposition n'est pas toujours unique.