Première partie de la deuxième épreuve d'admissibilité session 2012 – Mathématiques, groupement académique 1

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Sujet

Exercice 1 (4 points)
Dans cet exercice, six affirmations sont proposées. Pour chacune d'elles, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier.
Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte pas de point.
1. Affirmation 1 : « Un nombre positif est toujours supérieur ou égal à sa racine carrée. »
2. Affirmation 2 : « La fraction \frac{201134 546 112}{145 261 781121} est irréductible. »
3. Dans un sachet opaque, on a mélangé 35 chocolats noirs et 20 chocolats blancs. On suppose que les chocolats sont indiscernables au toucher. On prend au hasard un chocolat dans le sachet.
Affirmation 3 : « La probabilité que le chocolat extrait du sachet soit blanc est de \frac{4}{7}. »
4. Dans Le Monde du 27 mars 2010, on pouvait lire : « Dans l'ensemble des aéroports du monde, en 2009, environ 25 millions de bagages ont été perdus, provisoirement ou définitivement. […] L'étude note cependant une amélioration puisqu'en 2008, ce sont 32,8 millions de bagages qui avaient été égarés, soit 23,8 % de plus qu'en 2009. ».
Affirmation 4 : « L'extrait souligné est exact. »
5. Affirmation 5 : « Il existe au moins un nombre entier compris entre 11 000 et 12 000, dont le plus grand diviseur commun avec 2 180 est 545. »
6. Une enseigne est formée de deux boules pleines, de rayons différents, constituées du même bois. L'une pèse 24 kg et l'autre pèse 3 kg. La quantité de peinture pour les recouvrir est proportionnelle à la surface à peindre. Il faut 900 g de peinture pour recouvrir la grosse boule.
Affirmation 6 : « Il faut 112,5 g de peinture pour recouvrir la petite boule. »
Exercice 2 (3 points)
1. On appelle triplet pythagoricien, tout triplet (a, b, c) formé de trois entiers positifs non nuls tels que : a2 + b2 = c2.
a) Vérifier que le triplet (3, 4, 5) est un triplet pythagoricien.
b) Vérifier que, quel que soit l'entier positif n non nul, on a : (3n)2 + (4n)2 = (5n)2.
c) En déduire un autre triplet pythagoricien composé d'entiers tous supérieurs à 1 000.
2. On s'intéresse maintenant à des triplets (a, b, c) tels que :
a = 2xy ; b = y2 − x2 ; c = y2 + x2
x et y sont deux nombres entiers positifs non nuls, x < y.
À l'aide d'un tableur, on a obtenu la feuille de calcul reproduite ci-après.

A
B
C
D
E
F
G
1
valeur de x
valeur de y
a
b
c
a2 + b2
c2
2
1
2
4
3
5
25
25
3
1
3
6
8
10
100
100
4
3
6
36
27
45
2 025
2 025
5
4
15
120
209
241
58 081
58 081
6
8
12
192
80
208
43 264
43 264
7
12
15
360
81
369
136 161
136 161
8
7
8
112
15
113
12 769
12 769
9
2
3
12
5
13
169
169
10
11
13
286
48
290
84 100
84 100
11
7
8
112
15
113
12 769
12 769
12
4
5






a) Donner une formule qui, entrée dans la cellule D2 puis recopiée vers le bas, permet de compléter la colonne D.
b) Recopier et compléter la ligne 12.
c) Au vu de cette feuille de calcul, quelle conjecture peut-on faire quant à la nature des triplets (a, b, c) ainsi définis ? Prouver cette conjecture.
3. Le triplet pythagoricien (3, 4, 5) a la particularité d'être constitué de trois nombres entiers consécutifs. Existe-t-il d'autres triplets pythagoriciens ayant cette particularité ? Justifier.
Exercice 3 (5 points)
ABC est un triangle tel que : AB = 14, AC = 13 et BC = 15.
Soit H le pied de la hauteur du triangle ABC issue de C.
À tout point K du segment [AH], on associe le rectangle KLMN inscrit dans le triangle ABC, tel que les points L et M appartiennent respectivement aux segments [AC] et [BC] (figure 1).
Zoom
figure 1
figure 1
On cherche la position du point K sur le segment [AH] pour laquelle KLMN est un carré. On admet que cette position existe et est unique.
1. Montrer que AH = 5 et CH = 12.
2. 
On construit la figure avec un logiciel de géométrie dynamique, le point K étant mobile sur [AH].
Le logiciel permet un relevé des valeurs de KL et de KN lorsque K varie sur [AH] et fournit une représentation graphique des variations de KN en fonction de KL (figure 2).
Zoom
figure 2
figure 2
a) On peut constater que cette représentation graphique est limitée par les points de coordonnées (12 ; 0) et (0 ; 14). Pourquoi était-ce prévisible ?
b) À l'aide du graphique (figure 2), déterminer un encadrement par deux entiers consécutifs de la longueur KN pour laquelle KLMN est un carré. Justifier.
3. a) Exprimer AK et BN en fonction de KL.
b) En déduire que KN = 14 − \frac{7}{6}KL.
4. Quelle est la position exacte du point K sur le segment [AH] pour laquelle KLMN est un carré ?

Corrigé

Exercice 1
Dans cet exercice, il est demandé au candidat d'indiquer, en justifiant, si des affirmations sont vraies ou fausses. Certaines de ces affirmations sont contextualisées ; il faut donc bien prendre le temps de lire attentivement les indications fournies.
Pour justifier qu'une affirmation est fausse, on peut, selon les cas : résoudre l'exercice et trouver un résultat autre que celui qui est annoncé, fournir un contre-exemple, démontrer que la proposition est fausse en prouvant un résultat incompatible avec celui proposé.
Pour prouver qu'une proposition est vraie, on peut résoudre l'exercice et trouver le résultat annoncé ou démontrer la vérité générale de la proposition, en utilisant des propriétés connues.
1. Affirmation 1 : Un nombre positif est toujours supérieur à sa racine carrée.
Cette affirmation porte sur un cas général, on vous dit que « tout nombre positif est supérieur à sa racine carrée ». Si vous n'avez aucune idée de la valeur de vérité de cette proposition, faites quelques essais numériques. Beaucoup de fonctions numériques ont un comportement spécifique sur l'intervalle [0 ; 1] ; il est donc pertinent de choisir l'un ou l'autre exemple numérique dans cet intervalle…
On observe que : \sqrt{0,25}=0,5. Or 0,25 < 0,5. On a donc trouvé un nombre dont la racine carrée est supérieure à lui-même.
L'affirmation 1 est fausse.
Remarque : Les nombres supérieurs à 1 sont supérieurs à leur racine carrée.
2. Affirmation 2 : La fraction \frac{201\ 134\ 546\ 112}{145\ 261\ 781\ 121} est irréductible.
Dire qu'une fraction est irréductible revient à dire que les numérateurs et les dénominateurs n'ont pas de diviseur commun, autrement dit, qu'ils sont premiers entre eux. Pour montrer que la proposition est vraie, il faut calculer le pgcd des deux nombres (numérateur et dénominateur) et trouver 1. Avant de s'engager dans cette procédure, cela vaut la peine de soumettre numérateur et dénominateurs aux critères de divisibilité par 2, 3, 5, 11.
On observe que : 2 + 0 + 1 + 1 + 3 + 4 + 5 + 4 + 6 + 1 + 1 + 1 + 2 = 33 (qui est multiple de 3).
Donc que : 201 134 546 112 est divisible par 3, tout comme 145 261 781 121
Car : 1 + 4 + 5 + 2 + 6 + 1 + 7 + 8 + 1 + 1 + 2 + 1 = 39 (qui est aussi multiple de 3).
On peut donc simplifier la fraction par 3.
L'affirmation 2 est fausse.
3. Affirmation 3 : La probabilité que le chocolat extrait du sachet soit blanc est \frac{4}{7}.
Le fait que les chocolats soient réputés indiscernables au toucher signifie que l'on se trouve dans un contexte d'équiprobabilité. La probabilité d'un événement est donc égale au quotient : (nombre d'issues favorables) / (nombre total d'issues), soit ici : \frac{20}{35+20}=\frac{20}{55}=\frac{4}{11}.
L'affirmation 3 est fausse.
4. Affirmation 4 : L'extrait souligné est exact.
On peut reformuler l'affirmation de la façon suivante, en s'appuyant sur le texte : « 32,8 millions représentent 23,8 % de plus que 25 millions ».
On peut vérifier la véracité de l'affirmation de deux façons : soit en calculant le nombre obtenu par augmentation de 23,8 % à partir de 25 millions, soit en calculant quel est le pourcentage d'augmentation correspondant au passage de 25 à 32,8 millions.
1ère procédure : 23,8 % de 25 millions, c'est : \frac{23,8}{100} × 25 000 000 = 5 950 000. Une augmentation de 23,8 % à partir de 25 millions aboutit donc à 30,95 millions de bagages perdus, et non 32,8 millions.
2e procédure : passer de 25 à 32,8 millions correspond à une augmentation de \frac{32,8 \times 25}{25}=0,312=\frac{31,2}{100}, soit 31,2 %, et non 23,8 %.
Dans les deux cas, on conclut : l'affirmation 4 est fausse.
5. Affirmation 5 : Il existe au moins un nombre entier compris entre 11 000 et 12 000, dont le plus grand diviseur commun avec 2 180 est 545.
Observons tout d'abord que 2 180 = 545 × 4.
Soit N le nombre cherché.
Pour que le pgcd de N et 2 180 soit 545, il faut et il suffit que : N = 545k avec k entier et premier avec 4.
On remarque que : 20 × 545 < 11 000 et que : 12 000 < 545 × 22.
21 × 545 = 11 445 est bien compris entre 11 000 et 12 000 et 21 est premier avec 4.
Donc 11 445 et 2 180 ont pour pgcd 545.
L'affirmation 5 est vraie.
6. Affirmation 6 : Il faut 112,5 g de peinture pour recouvrir la petite boule.
Rappel : Par agrandissement ou réduction de rapport k, les distances sont multipliées par k, les aires par k2 et les volumes par k3.
Le fait que les deux boules soient constituées du même bois permet de considérer que les masses et les volumes des boules sont proportionnels. Si la grosse boule pèse 8 fois plus que la petite, cela signifie que son volume est 8 fois celui de la petite boule.
Or 8 = 23. L'aire de la grande boule est donc égale à 22 = 4 fois l'aire de la petite.
La quantité de peinture étant dite proportionnelle à l'aire de la surface à peindre, s'il faut 900 g de peinture pour peindre la grosse boule, c'est qu'il faudra 900 ÷ 4 = 225 g de peinture pour peindre la petite boule.
L'affirmation 6 est fausse.
Exercice 2
1. a) (3, 4, 5) est un triplet pythagoricien.
En effet, 32 + 42 = 9 + 16 = 25 et 52 = 25, d'où : 32 + 42 = 52.
b) Pour tout n entier positif non nul, on a : (3n)2 + (4n)2 = (5n)2.
(3n)2 + (4n)2 = 9n2 + 16n2 = 25n2 et (5n)2 = 25n2, d'où : (3n)2 + (4n)2 = (5n)2.
c) On en déduit un autre triplet pythagoricien d'entiers tous supérieurs à 1 000.
Cherchons le premier multiple de 3 supérieur à 1 000, soit : 1 002 = 3 × 334.
n = 334 fournit donc le triplet : (3 × 334, 4 × 334, 5 × 334), soit : (1 002, 1 336, 1 670).
Ce triplet est pythagoricien d'après la question précédente.
2. a) Formule pour compléter la colonne D.
La colonne D fournit la valeur de b à partir des valeurs de x et y, respectivement entrées en colonnes A et B.
On peut entrer la formule : « =B2(accent circonflexe)2-A2(accent circonflexe)2 » dans la cellule D2.
Une réponse valide serait également : « =B2*B2-A2*A2 ». Notez que «(accent circonflexe)» est le symbole correspondant à la mise à l'exposant et que « * » correspond au produit.
b) Complétons la ligne 12.
Pour mémoire, nous donnons également les indications données en ligne 1 :

A
B
C
D
E
F
G
1
valeur de x
valeur de y
a
b
c
a2 + b2
c2
12
4
5
40
9
41
1 681
1 681

c) Conjecture et démonstration.
Il semblerait que, lorsque : a = 2xy, b = yé − x2, c = y2 + x2, on a : c2 = a2 + b2. Prouvons-le.
Supposons que : a = 2xy, b = yé − x2, c = y2 + x2.
On a alors : a2 + b2 = (2xy)2 + (yé − x2)2 = 4x2y2 + y4 − 2x2y2 + x4 
y4 + 2x2y2 + x2 = (y2 + x2)2 = c2.
3. Triplet pythagoricien constitué de nombres consécutifs.
On est tenté de nommer « n », « n + 1 » et « n + 2 » les trois entiers consécutifs. Ce choix conduit toutefois à la résolution d'une équation du second degré, qui n'est pas au programme du CRPE. Il est plus judicieux d'appeler « n » le nombre « du milieu »
Soient n − 1, n et n + 1 trois nombres entiers consécutifs. Pour que ces nombres constituent un triplet pythagoricien, il faut que : (n − 1)2 + n2 = (n + 1)2, c'est-à-dire que :
n2 − 2n + 1 + n2 = n2 + 2n + 1. Après simplification, cette équation s'écrit : n2 − 4n = 0.
On factorise n et on obtient : n(n − 4) = 0.
Ceci est une équation-produit. Un produit étant nul si et seulement si un de ses facteurs est nul, les solutions de l'équation sont : 0 et 4. Le triplet (−1, 0, 1) n'étant pas constitué d'entiers tous positifs, la seule solution au problème posé est le triplet (3, 4, 5), que l'on connaissait déjà.
Conclusion : (3, 4, 5) est le seul triplet pythagoricien constitué d'entiers (naturels) consécutifs.
Exercice 3
1. Calcul de AH et CH.
H étant le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ABC, les triangles AHC et CHB sont rectangles en H. Le théorème de Pythagore, appliqué successivement dans ces deux triangles, permet d'écrire :
AH2 + HC2 = AC2 (1) et CH2 + HB2 = CB2 (2).
Or AB = 14, BC = 15 et comme H\in[AB], BH = BC − AH.
Les équations (1) et (2) s'écrivent donc :
(1') : AH2 + HC2 = 169 et (2') : CH2 + (14 − AH)2 = 225.
(1') permet d'écrire que : HC2 = 169 − AH2 et par substitution dans (2'), il vient :
169 − AH2 + (14 − AH)2 = 225 d'où :
169 − AH2 + 196 − 28AH + AH2 = 225 puis :
365 − 28AH = 225 et finalement :
AH = \frac{\left(225 - 365\right)}{-28} = 5.
 
Comme HC2 = 169 − AH2, on a : HC2 = 144 et finalement : HC = \sqrt{144} = 12.
2. a) Lorsque le point K se déplace, en le parcourant dans sa totalité, sur le segment [BC], le point L parcourt le segment [AC] et le point N parcourt le segment [AB].
Lorsque K est en A, L aussi et N est en B (le rectangle KLMN est aplati sur [AB]) ; la valeur de KL est alors minimale et vaut 0 ; quant à la valeur de KN, elle est maximale et vaut 14. De même lorsque K est en B, tout comme L et N est en A…
Ceci correspond au point de coordonnées (0 ; 14) sur le graphique.
En revanche, lorsque K est en H, L est en C et N est en H, le rectangle KLMN est aplati sur [HC]. La distance KL est alors maximale et vaut 12, la distance KN est minimale et vaut 0.
Ceci correspond au point de coordonnées (12 ; 0) sur le graphique.
b) Détermination de la longueur de KN pour laquelle KLMN est un carré.
Le résultat s'obtient par lecture graphique, en lisant les coordonnées du point d'intersection de la bissectrice de l'angle formé par les deux axes avec la représentation graphique.
En effet, les points de la bissectrice de l'angle formé par les deux axes se caractérisent par le fait que leur abscisse est égale à leur ordonnée. Or, pour que le rectangle KLMN soit un carré, il suffit que les côtés KL et KN soient de même longueur.
Zoom
figure 2
figure 2
On lit que : 6 < KN < 7.
3. a) Expression de AK et BN en fonction de KL.
Les droites (KL) et (HC) étant toutes deux perpendiculaires à (AB), elles sont parallèles entre elles. Par ailleurs, les droites (LC) et (KH) sont sécantes en A.
D'après le théorème de Thalès, on a donc : \frac{\mathrm{AL}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AK}}{\mathrm{AH}}=\frac{\mathrm{LK}}{\mathrm{HC}} d'où \frac{\mathrm{AK}}{5}=\frac{\mathrm{LK}}{12} et donc \mathrm{AK}=\frac{5}{12}\mathrm{LK}.
De même, les droites (MN) et (HC) étant toutes deux perpendiculaires à (AB), elles sont parallèles entre elles. Par ailleurs, les droites (HN) et (CM) sont sécantes en B.
D'après le théorème de Thalès, on a donc : \frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BN}}{\mathrm{BH}}=\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{CH}} d'où \frac{\mathrm{BN}}{14-5}=\frac{\mathrm{MN}}{12} car BH = BA − AH, H étant sur le segment [AB].
Par ailleurs, KLMN étant par hypothèse un rectangle, MN = KL, d'où : \mathrm{BN}=\frac{9}{12}\mathrm{KL}=\frac{3}{4}\mathrm{KL}.
b) Expression de KN en fonction de KL.
Comme les points K et N sont sur le segment [AB], on a : KN = AB − AK − BN.
On remplace AK et BN par les expressions trouvées en a) et on obtient :
KN = 14 − \frac{5}{12}LK − \frac{9}{12}LK = 14 − \frac{14}{12}LK.
Conclusion : KN = 14 − \frac{7}{6}LK.
4. Position de K pour que KLMN soit un carré.
Le rectangle KLMN est un carré lorsque KN = KL. En remplaçant KN par KL dans l'expression trouvée en 3. b), il vient : KL = 14 − \frac{7}{6}LK d'où \left(1+\frac{7}{6}\right)KL = 14 et finalement KL = \frac{6}{13} × 14 = \frac{84}{13}.
Cette réponse est cohérente avec la lecture graphique effectuée en 2. b) puisque \frac{84}{13}\simeq6,46.
Pour avoir la position de K sur le segment [AB], il faut fournir la valeur de AK (ou BK).
D'après la question 3. a), AK = \frac{5}{12}LK d'où AK = \frac{5}{12}\times\frac{84}{13} et donc : AK = \frac{35}{13}.
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