Première partie de la deuxième épreuve d'admissibilité session 2013 – Mathématiques, groupement académique 2

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Sujet

Exercice 1 (3 points)
Dans cet exercice, quatre affirmations sont proposées. Pour chacune, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, puis justifier la réponse.
Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point.
Une réponse fausse n'enlève pas de point.
1. Affirmation 1 : « Pour tout nombre entier naturel n, le nombre 2n + 2n+1 + 2n+2 est divisible par 7. »
2. Aujourd'hui, Martin n'a pas appris sa leçon. Le professeur donne un contrôle dans lequel figure un QCM qui comporte 3 questions. À chacune des questions, il y a 3 choix possibles dont une seule bonne réponse. Martin répond au hasard à chaque question.
Affirmation 2 : « La probabilité que toutes les réponses soient justes est \frac{1}{27}. »
Affirmation 3 : « La probabilité que toutes les réponses soient fausses est \frac{1}{3}. »
3. 
On considère les 2 figures suivantes :
La première est constituée de cinq disques concentriques de rayons respectifs 5 cm, 10 cm, 15 cm, 20 cm et 25 cm. La seconde est constituée de cinq carrés concentriques à bords parallèles de côtés respectifs 10 cm, 20 cm, 30 cm, 40 cm et 50 cm.
Affirmation 4 : « Le rapport entre l'aire du disque central et l'aire grisée dans la figure de gauche est égal au rapport entre l'aire du carré central et l'aire grisée dans la figure de droite. »
Exercice 2 (5 points)
On considère la figure ci-dessous, dans laquelle :
  • EPRC est un carré de centre T ;
  • M est un point du segment [CR], distinct de C et de R ;
  • B est le point du segment [PR] tel que CM = PB ;
  • A est le point d'intersection des droites (MB) et (ER) ;
  • U est le point d'intersection de la droite parallèle à la droite (ER) passant par B et de la droite (PC).
L'objectif de l'exercice est de déterminer la position du point M permettant d'obtenir le quadrilatère BATU d'aire maximale.
1. Montrer que le quadrilatère BATU est un rectangle.
Dans la suite du problème, on donne CR = 40. On pose CM = x.
2. a) Dans quel intervalle x varie-t-il ?
b) Exprimer UB en fonction de x.
c) Exprimer TU en fonction de x.
d) Montrer que la mesure de l'aire du rectangle BATU s'exprime en fonction de x par A(x) = \frac{x \left( 40-x \right)}{2}.
3. 
À l'aide d'un logiciel, on a tracé la courbe représentative de la fonction A :
Lire sur le graphique la valeur de x pour laquelle l'aire du rectangle est maximale.
Quelle est la mesure de cette aire ?
4. Résolution algébrique
a) Montrer que A(x) = \frac{- \left( x-20 \right) ^2}{2} + 200.
b) En déduire que l'aire maximale est atteinte pour x = 20.
c) Montrer que, lorsque l'aire est maximale, le quadrilatère BATU est un carré.
Exercice 3 (4 points)
Françoise désire faire son arbre généalogique. Elle s'intéresse à la façon de numéroter ses ascendants selon la méthode dite « de Sosa ».
Dans cette numérotation, le sujet, ici Françoise, porte le numéro 1. Elle est située en bas de l'arbre généalogique.
Au degré 1, on trouve son père qui porte le numéro 2 et sa mère qui porte le numéro 3.
Au degré 2, on trouve le père de son père qui porte le numéro 4, la mère de son père qui porte le numéro 5, le père de sa mère qui porte le numéro 6 et la mère de sa mère qui porte le numéro 7.
Et ainsi de suite…
Dans cette numérotation, à partir du degré 1, chaque degré ne comporte que des couples mixtes. On admet alors que les numéros pairs sont des hommes et les numéros impairs sont des femmes.
1. On s'intéresse au nombre d'ascendants à un degré donné.
a) Donner, sans justifier, le nombre d'ascendants au degré 3.
b) Donner, sans justifier, le nombre d'ascendants au degré n en fonction de n.
2. On s'intéresse au lien entre une personne apparaissant dans l'arbre et son descendant direct (homme ou femme).
a) Soit p le numéro d'un homme de l'arbre généalogique de Françoise.
Sans justification, exprimer en fonction de p le numéro de son descendant direct dans cet arbre généalogique.
b) Soit m le numéro d'une femme de l'arbre généalogique de Françoise.
Sans justification, exprimer en fonction de m le numéro de son descendant direct dans cet arbre généalogique.
c) Dominique est la personne de numéro d dans cet arbre. Camille est son descendant direct dans cet arbre.
Donner la (ou les) condition(s) sur d pour que Camille et Dominique soient de même sexe. Justifier la réponse.
3. La personne portant le numéro 191 est-elle un ascendant du côté du père de Françoise ou de la mère de Françoise ? Justifier la réponse.
4. Claude est la personne de numéro 257 de l'arbre généalogique de Françoise.
Combien compte-t-on d'hommes sur le chemin de l'arbre qui relie Claude à Françoise ? Justifier la réponse.

Corrigé

Exercice 1
Dans cet exercice, il est demandé au candidat d'indiquer, en justifiant, si des affirmations sont vraies ou fausses. Certaines de ces affirmations sont contextualisées ; il faut donc bien prendre le temps de lire attentivement les indications fournies.
Pour justifier qu'une affirmation est fausse, on peut, selon les cas : résoudre l'exercice et trouver un résultat autre que celui qui est annoncé, fournir un contre-exemple, démontrer que la proposition est fausse en prouvant un résultat incompatible avec celui proposé.
Pour prouver qu'une proposition est vraie, on peut résoudre l'exercice et trouver le résultat annoncé ou démontrer la vérité générale de la proposition, en utilisant des propriétés connues.
1. Affirmation 1 : Pour tout nombre entier naturel n, le nombre 2n + 2n+1 + 2n+2 est divisible par 7.
On observe que : 2n+1 = 2n × 2 et que : 2n+2 = 2n × 22 = 2n × 4.
On peut donc écrire : 2n + 2n+1 + 2n+2 = 2n(1 + 2 + 4) = 2n × 7.
2n + 2n+1 + 2n+2 s'écrit k × 7 avec k = 2n donc 2n + 2n+1 + 2n+2 est multiple de 7.
L'affirmation 1 est vraie.
2. 
Affirmation 2 : La probabilité que toutes les réponses soient justes est : \frac{1}{27}.
Si l'on répond au hasard, l'expérience revient à un tirage aléatoire de réponses équiprobables.
À chaque question, Martin a une chance sur trois d'obtenir la bonne réponse. Sa probabilité de répondre correctement à trois questions est donc : \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}.
L'affirmation 2 est vraie.
Affirmation 3 : La probabilité que toutes les réponses soient fausses est : \frac{1}{3}.
À chaque question, Martin a deux chances sur trois de répondre de façon erronée, puisqu'il y a toujours exactement une réponse juste pour trois propositions.
Sa probabilité d'avoir toutes les réponses fausses est donc : \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27}.
L'affirmation 3 est fausse.
3. Affirmation 4 : Le rapport entre l'aire du disque central et l'aire grisée dans la figure de gauche est égal au rapport entre l'aire du carré central et l'aire grisée dans la figure de droite.
L'aire d'un disque de rayon R est donnée par la formule : A = π × R2.
L'aire grisée est égale à la différence entre l'aire du disque de rayon 25 cm et l'aire du disque de rayon 20 cm (disque central).
Le rapport entre l'aire du disque central et l'aire grisée s'écrit donc :
\frac{\pi \times 20^2}{\pi \times 25^2 - \pi \times 20^2} = \frac{\pi \times 400}{\pi \times \left( 625 - 400 \right)} = \frac{400}{225} = \frac{16}{9}.
L'aire d'un carré de côté c est donnée par la formule : A = c2.
L'aire grisée est égale à la différence entre l'aire du carré de côté 50 cm et l'aire du carré de côté 40 cm (carré central).
Le rapport entre l'aire du carré central et l'aire grisée s'écrit donc :
\frac{40^2}{50^2 - 40^2} = \frac{1600}{2500 - 1600} = \frac{1600}{900} = \frac{16}{9}.
On conclut : l'affirmation 4 est vraie.
Exercice 2 (5 points)
1. Montrons que BATU est un rectangle.
Par hypothèse, (BU) // (ER) or A et T sont sur (ER) donc : (BU) // (AT).
Par ailleurs, les points P, B, R et C, M, R sont alignés dans cet ordre et :
\frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RP}} = \frac{\mathrm{RM}}{\mathrm{RC}}.
En effet, RP = RC, car CRPE est un carré et comme B \in [PR], BR = RP − BP = CR − CM = MR car M \in [RC].
 
D'après le réciproque du théorème de Thalès, on peut dire que : (BM) // (PC).
Comme A est sur (BM) et que U et T sont sur (PC) par hypothèse, on a : (BA) // (UT).
Le quadrilatère BATU a ses côtés opposés parallèles deux à deux, donc c'est un parallélogramme.
Comme CRPE est un carré, on sait que ses diagonales sont perpendiculaires. On en déduit que les droites (RE) et (PC) sont perpendiculaires et donc que l'angle du parallélogramme BATU est droit.
Conclusion : BATU est un rectangle.
2. a) Intervalle de définition de x
\in [CR], à l'exclusion des points C et R. La distance CM peut donc prendre toutes les valeurs entre 0 et CR, c'est-à-dire 4.
On a : x \in ]0 ; 4[.
b) Expression de UB en fonction de x
Comme CRPE est un carré de centre T, et que l'on sait que les carrés ont des diagonales de même longueur, se coupant en leur milieu et perpendiculaires, on peut dire que PTR est un triangle rectangle et isocèle en T.
Comme par hypothèse B est sur [PR] et que (BU) // (ER), on a d'une part : (BU) \perp (PC) donc (BU) \perp (PU) car U est sur [PC] et \widehat{\mathrm{RPC}} = \widehat{\mathrm{BPU}} = 45°.
Le triangle PUB est donc rectangle et isocèle en U.
D'après le théorème de Pythagore dans ce triangle, on a : BU2 + UP2 = PB2 d'où 2BU2 = x2 et donc BU = \frac{1}{\sqrt{2}}x.
c) Expression de TU en fonction de x
Les points T,U et P sont alignés dans cet ordre donc TU = PT − PU.
Or PU = BU = \frac{1}{\sqrt{2}}x et PT = \frac{1}{2} × 40 × \sqrt{2} car PT est la demi-diagonale du carré CRPE de côté 40.
Finalement, TU = \frac{1}{2} × 40 × \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}x = \frac{1}{\sqrt{2}}(40 − x).
d) Aire du rectangle BATU en fonction de x
A(x) = UB × UT = \frac{1}{\sqrt{2}}x \times \frac{1}{\sqrt{2}} \left( 40 - x \right) = \frac{x \left( 40 - x \right)}{2}.
3. 
Valeur de x pour une aire maximale
On lit sur le graphique que l'aire semble être maximale pour x = 20 et qu'elle semble alors valoir 200.
4. Résolution algébrique
a) Montrons que : A(x) = \frac{- \left( x-20 \right) ^2}{2} + 200.
On part de l'expression qui semble la plus complexe que l'on développe et simplifie.
\frac{- \left( x-20 \right) ^2}{2} + 200 = \frac{- \left( x^2 - 40x + 400 \right)}{2} + 200 = \frac{-x^2 + 40x - 400}{2} + \frac{400}{2} = \frac{-x^2 + 40x}{2} = \frac{x \left( 40 - x \right)}{2} = A(x).
b) On en déduit la valeur de x pour une aire maximale.
A(x) = \frac{- \left( x-20 \right) ^2}{2} + 200 d'après la question précédente. Cette expression est composée d'un terme toujours négatif, variable, et d'un terme constant égal à 200. Elle sera donc maximale lorsque le terme négatif sera maximal, c'est-à-dire égal à 0.
0 est le plus grand nombre négatif !
\frac{- \left( x-20 \right) ^2}{2} est nul lorsque x − 20 est nul, c'est-à-dire lorsque x = 20.
La lecture graphique est confirmée.
c) Nature de BATU lorsque l'aire est maximale
Si x = 20, alors BU = \frac{1}{\sqrt{2}} × 20 et TU = \frac{1}{\sqrt{2}}(40 − 20) = \frac{1}{\sqrt{2}} × 20.
BU = TU ; le rectangle BATU a deux côtés consécutifs de même longueur, donc c'est un carré.
Exercice 3 (4 points)
1.a) Nombre d'ascendants au degré 3
Au troisième degré, il y a huit ascendants.
On observe que chaque ascendant de degré 2 ayant deux parents, le nombre d'ascendants de degré 3 est 2 × 4 = 8.
b) Nombre d'ascendants au degré n
Au degré n, il y a 2n ascendants.
On peut établir le résultat en menant le raisonnement suivant :
Au degré 1, il y a 2 ascendants, soit 21. Si on admet le résultat au degré n, à savoir qu'il y a 2n ascendants, on peut alors dire qu'au degré n+1, il y a deux parents par ascendant de degré n, soit 2 × 2n ascendants ; or 2 × 2n = 2n+1, ce qui prouve le résultat au degré n+1.
Un tel raisonnement est appelé : « raisonnement par récurrence » ; il n'était toutefois pas demandé.
2. On observe que tous les hommes portent des numéros pairs et que les femmes portent des numéros impairs égaux aux numéros des « conjoints » augmentés de 1.
a) Le descendant direct d'un homme de numéro p porte le numéro : \frac{p}{2}.
b) Le descendant direct d'une femme de numéro m porte le numéro : \frac{m - 1}{2}.
c) Conditions pour qu'une personne et son descendant direct soient de même sexe
Deux cas se présentent : soit Dominique est un homme, soit c'est une femme.
Si Dominique est un homme, alors Camille doit être également un homme pour être de même sexe. Le numéro de Dominique étant d, celui de Camille est \frac{d}{2} d'après ce qui précède. Camille est un homme si \frac{d}{2} est pair, c'est-à-dire s'il existe k tel que \frac{d}{2} = 2k. On a alors d = 4k donc d est multiple de 4.
Si Dominique est une femme, alors Camille doit être également une femme pour être de même sexe. Le numéro de Dominique étant d, celui de Camille est \frac{d - 1}{2} d'après ce qui précède. Camille est un homme si \frac{d - 1}{2} est impair, c'est-à-dire s'il existe k tel que \frac{d - 1}{2} = 2k + 1. On a alors d − 1 = 4k + 2, c'est-à-dire d = 4k + 3 donc le reste dans la division de d par 4 est 3.
Conclusion partielle : si Dominique et Camille sont de même sexe alors le reste de la division de d par 4 est 0 ou 3.
Réciproquement, si d est multiple de 4, alors il est pair et Dominique est un homme. De plus \frac{d}{2} est pair et donc Camille est un homme.
Si le reste de la division de d par 4 est 3, alors d est impair et Dominique est une femme. Si on écrit d = 4k + 3, alors \frac{d - 1}{2} = \frac{4k + 2}{2} = 2k + 1 est impair et Camille est aussi une femme.
Conclusion : Dominique et Camille sont de même sexe si et seulement si le reste de la division de d par 4 est 0 ou 3.
3. On établit les numéros des descendants de la personne portant le numéro 191, en appliquant les formules établies en 2. a) et b).
191 a pour descendants successifs : 95 ; 47 ; 23 ; 11 ; 5 et 2.
Il s'agit donc d'un ascendant du côté du père.
4. De même, on établit les numéros des descendants successifs du numéro 257 ; il vient : 128 ; 64 ; 32 ; 16 ; 8 ; 4 ; 2.
Il y a donc sept hommes sur le chemin de l'arbre qui relie Claude à Françoise.
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