Première partie de la deuxième épreuve d'admissibilité session 2013 – Mathématiques, groupement académique 3

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Sujet

Exercice 1 (3 points)
Dans cet exercice, cinq affirmations sont proposées. Pour chacune, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, puis justifier la réponse.
Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point.
Une réponse fausse n'enlève pas de point.
1. Affirmation 1 : « Tout prisme droit a deux fois plus d'arêtes que de faces. »
2. 
On considère la figure ci-dessous dans laquelle le quadrilatère BADC est un trapèze rectangle :
Affirmation 2 : « Le triangle ABD a la même aire que le triangle ABC. »
3. On augmente de 50 % la longueur L d'un pavé droit, on double sa hauteur h et on conserve sa largeur l.
Affirmation 3 : « Le volume V de ce pavé droit est multiplié par 4. »
4. Une classe de 24 élèves est composée de 14 filles et 10 garçons. La taille moyenne des garçons est 174 cm et celle des filles 162 cm.
Affirmation 4 : « La taille moyenne des élèves de la classe est 167 cm. »
5. Affirmation 5 : « Le produit de deux nombres pairs consécutifs est divisible par 8. »
Exercice 2 (3 points)
On rappelle la propriété P suivante :
« Un nombre entier naturel et la somme de ses chiffres ont le même reste dans la division euclidienne par 9. »
1. Quel est le reste de la division de 164 330 258 647 par 9 ?
2. L'objet de cette question est de démontrer la propriété P pour un nombre entier naturel strictement inférieur à 10 000.
On considère un nombre entier naturel strictement inférieur à 10 000 et on note \overline{abcd} son écriture en base dix.
a) Montrer qu'il existe un nombre entier naturel k tel que \overline{abcd} = a + b + c + d + 9k.
b) On note r le reste de la division euclidienne de \overline{abcd} par 9, et r' le reste de la division euclidienne de a + b + c + d par 9.
Montrer que r = r'.
3. a) Déduire de la propriété P un critère de divisibilité par 9 d'un nombre entier naturel, utilisant la somme de ses chiffres.
b) Déterminer le plus grand diviseur commun de 18 et 164 330 258 643.
Problème (6 points)
On délimite, sur un terrain plat, un parcours de cross avec 3 jalons, représentés par les points A, B et C comme indiqué sur le schéma ci-contre.
Le départ et l'arrivée de la course se font au point A.
Partie A
1. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
2. a) Calculer l'aire du triangle ABC.
b) En déduire la distance du point A à la droite (BC).
Partie B
1. José a fait deux tours de ce parcours à la vitesse moyenne de 8 km/h. Combien de temps lui a-t-il fallu ? Donner la réponse exacte, en heure, minute, seconde.
2. Pour calculer la vitesse moyenne en m/min de chaque élève durant la course, on construit une feuille de calcul comme ci-dessous :
Zoom
Ce tableau nous indique que l'élève Armand a mis 25 minutes et 15 secondes pour faire les deux tours de parcours.
a) La formule « =E$1/(C4+D4/100) » entrée dans la cellule E4 donne-t-elle le résultat souhaité ? Sinon la corriger.
b) On envisage de recopier vers le bas la formule correcte entrée dans E4 pour calculer la vitesse moyenne (en m/min) des élèves de 5e du collège. Pourquoi le symbole « $ » devant « 1 » est-il nécessaire ?
Partie C
1. Pour surveiller la course, on place un enseignant au point J, situé à égale distance des points A, B et C.
a) Préciser la position du point J. Justifier.
b) Construire, à la règle et au compas, le triangle ABC à l'échelle 1/5 000 et le point J. (On laissera les traces de construction.)
On pourra compléter la figure au fur et à mesure des questions.
Les questions 2. et 3. sont indépendantes.
2. On place deux autres enseignants sur le parcours :
  • l'un au point K, milieu de [AB] ;
  • l'autre au point I, milieu de [AC].
Montrer que AKJI est un rectangle.
3. On appelle H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. Deux postes de secours sont installés en A et H. Montrer que si l'infirmière du collège se déplace sur le segment [KI], elle reste à égale distance de ces deux postes.

Corrigé

Exercice 1 (3 points)
Dans cet exercice, il est demandé au candidat d'indiquer, en justifiant, si des affirmations sont vraies ou fausses. Certaines de ces affirmations sont contextualisées ; il faut donc bien prendre le temps de lire attentivement les indications fournies.
Pour justifier qu'une affirmation est fausse, on peut, selon les cas : résoudre l'exercice et trouver un résultat autre que celui qui est annoncé, fournir un contre-exemple, démontrer que la proposition est fausse en prouvant un résultat incompatible avec celui proposé.
Pour prouver qu'une proposition est vraie, on peut résoudre l'exercice et trouver le résultat annoncé ou démontrer la vérité générale de la proposition, en utilisant des propriétés connues.
1. Affirmation 1 : Tout prisme droit a deux fois plus d'arêtes que de faces.
Un prisme droit est caractérisé par le fait que ses deux bases sont des polygones superposables et que ses faces latérales sont des rectangles.
Un prisme droit à bases triangulaires a cinq faces (les deux bases et les trois faces rectangulaires qui les « relient ») et a neuf arêtes. Or 9 \neq 2 × 5.
L'affirmation 1 est fausse.
2. Affirmation 2 : Le triangle ABD a la même aire que le triangle ABC.
L'aire d'un triangle est donnée par la formule : A = \frac{\mathrm{base} \times \mathrm{hauteur}}{2}.
Les triangles ABC et ABD ont un côté commun : AB.
La hauteur relative à ce côté est donnée par la distance de D à la droite (AB) pour le triangle ADB et par la distance de C à la droite (AB) pour le triangle ABC.
Les droites (CD) et (AB) sont parallèles car toutes deux perpendiculaires à (AD). Les points C et D sont donc à la même distance de la droite (AB), les hauteurs relatives à (AB) dans les deux triangles sont donc égales.
L'affirmation 2 est vraie.
3. Affirmation 3 : Le volume du pavé droit est multiplié par quatre.
Soit V1 le volume du pavé droit initial. On a : V1 = L × h × l.
Le nouveau pavé a une longueur égale à 1,5 L, une hauteur 2h et une largeur égale à l.
Son volume V2 est donc égal à : V2 = 1,5L × 2h × l = 3 × L × h × l = 3V1.
L'affirmation 3 est fausse.
4. Affirmation 4 : La taille moyenne des élèves est égale à 167 cm.
La taille moyenne des élèves est donnée par la formule : (somme des tailles de tous les élèves)/(nombre d'élèves).
Si la taille moyenne des 10 garçons est 174 cm, leur taille cumulée est : 174 × 10 = 1 740 cm.
Si la taille moyenne des 14 filles est 162 cm, leur taille cumulée est : 162 × 14 = 2 268 cm.
La taille moyenne des élèves de la classe est donc : \frac{1740+2268}{24} = \frac{4008}{24} = 167.
On conclut : l'affirmation 4 est vraie.
5. Affirmation 5 : Le produit de deux nombres pairs consécutifs est divisible par 8.
Un nombre pair quelconque s'écrit : 2n avec n entier naturel. Le nombre pair suivant s'écrit donc : 2(n + 1). Le produit des deux nombres est alors : 2n × 2(n + 1) = 4n(n + 1).
Les deux nombres n et n + 1 sont consécutifs, l'un des deux est donc forcément pair (soit n est pair, soit n est impair et alors n + 1 est pair).
Leur produit est donc pair et l'on peut écrire : n(n + 1) = 2k avec k entier naturel.
On a donc : 2n ×2(n + 1) = 4 × 2k = 8k.
L'affirmation 5 est vraie.
Exercice 2 (3 points)
1. Reste de la division euclidienne de 164 330 258 747 par 9
1 + 6 + 4 + 3 + 3 + 0 + 2 + 5 + 8 + 6 + 4 + 7 = 49 et 49 = 5 × 9 + 4
Le reste de la division euclidienne de 164 330 258 747 par 9 est donc 4, d'après la propriété P évoquée dans l'énoncé.
2. a) Montrons qu'il existe un nombre entier naturel k tel que : \overline{abcd} = a + b + c + d + 9k.
Soit \overline{abcd} l'écriture en base dix d'un nombre entier naturel inférieur à 10 000.
On écrit la décomposition canonique du nombre à partir de son écriture canonique, puis on fait apparaître des multiples de 9 maximaux à chaque rang.
On a : \overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d = 999a + a + 99b + b + 9c + c + d.
D'où : \overline{abcd} = (999a + 99b + 9c) + a + b + c + d = 9(111a + 11b + c) + a + b + c + d, ce qui est bien de la forme annoncée, avec k = 111a + 11b + c, qui est un entier naturel, puisque a, b et c sont des entiers naturels.
b) Soit r' le reste de la division euclidienne de a + b + c + d par 9 et r le reste de la division euclidienne de \overline{abcd} par 9. Montrons que r = r'.
Soit q le quotient de la division euclidienne de a + b + c + d par 9.
On peut donc écrire : a + b + c + d = 9q + r' avec r' < 9.
D'après a), on peut écrire : \overline{abcd} = 9k + a + b + c + d = 9k + 9q + r' = 9(k + q) + r' et r' < 9.
Cette égalité traduit le fait que la division euclidienne de \overline{abcd} par 9 a pour quotient k + q et pour reste r'.
On conclut que r = r'.
3. a) Critère de divisibilité par 9
Un nombre est divisible par 9 si et seulement si le reste de sa division euclidienne par 9 est 0. D'après la propriété P, ce reste est égal au reste de la division euclidienne par 9 de la somme de ses chiffres. On peut donc formuler le critère de divisibilité par 9 suivant : « un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9 ».
Une des difficultés de l'exercice est, pour le candidat, de « faire comme si » il ne connaissait pas à l'avance le critère de divisibilité par 9, qu'on lui fait démontrer dans un cas particulier et reformuler dans le cas général. Seule la lecture de l'ensemble de l'énoncé permet d'éviter de s'enferrer dans des raisonnements erronés qui utilisent la propriété que l'on souhaite démontrer
b) pgcd de 18 et 164 330 258 643
On observe que la somme des chiffres de 164 330 258 643 est 45 = 5 × 9 ; par conséquent, 164 330 258 643 est divisible par 9 d'après le critère de divisibilité énoncé en 3. a).
Or 18 = 2 × 9. Le pgcd de 18 et 164 330 258 643 est donc, soit 9, qui divise les deux nombres, soit 18. Comme 2 et 9 sont premiers entre eux, pour que 164 330 258 643 soit divisible par 18, il faut (et il suffit) que 164 330 258 643 soit divisible à la fois par 9 et par 2. Or 164 330 258 643 n'est pas pair, donc 164 330 258 643 n'est pas divisible par 18.
Conclusion : le pgcd de 18 et 164 330 258 643 est : 9.
Problème (6 points)
Partie A
1. Montrons que ABC est rectangle en A.
On a : AB2 = 4802 = 230 400 ; AC2 = 3602 = 129 600 et BC2 = 6002 = 360 000.
On constate que : AB2 + AC2 = 230 400 + 129 600 = 360 000 = BC2.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle ABC est rectangle en A.
2. a) Calculons l'aire du triangle ABC.
On a : AABC = \frac{\mathrm{AB} \times \mathrm{AC}}{2} = \frac{480 \times 360}{2} = 86 400 m2.
b) Distance de A à (BC)
La distance de A à (BC) s'interprète, dans le triangle ABC, comme la longueur de la hauteur issue de A, d'où l'idée d'écrire :
L'aire du triangle ABC est donnée par la formule :
A = \frac{\mathrm{base} \times \mathrm{hauteur}}{2} = \frac{\mathrm{AH} \times \mathrm{BC}}{2} = \frac{\mathrm{AH} \times 600}{2} = 300d , en appelant H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.
Comme A = 86 400, on a : 300 AH = 86 400 d'où AH = 288 m.
Le point A est situé à 288 m de (BC).
Partie B
1. Temps de parcours de José
La vitesse moyenne (de José) est donnée par la formule : Vmoyenne = \frac{d}{t}, d étant la distance parcourue et t la durée du trajet. On en déduit que t=\frac{d}{V_{moyenne}}.
La distance parcourue par José est d = 2(AB + AC + BC) = 2(480 + 360 + 600) = 2 880 m = 2,88 km.
On a donc : t=\frac{2,88}{8} = 0,36 h.
Attention à l'homogénéité des unités lors de calculs de vitesse
0,36 h = 21,6 min = 21 min + 0,6 min = 21 min 36 s.
On utilise les correspondances : 1 h = 60 min et 1 min = 60 s.
José met 21 minutes et 36 secondes pour effectuer le parcours.
2. a) Formule pour la cellule E4
Pour calculer une vitesse en mètres par minute, il faut diviser la distance en mètres par la durée en minutes. Or 1 s = \frac{1}{60} min (et non \frac{1}{100} min !).
La formule à entrer dans la cellule E4 est donc à modifier pour : « =E$1/(C4+D4/60) »
b) Sens et intérêt du symbole $ dans cette formule
Lorsque l'on copie vers le bas la formule entrée en E4, tous les numéros de ligne sont incrémentés d'une unité à chaque changement de ligne. Ainsi, C4 devient successivement C5, puis C6, C7, etc. Lorsqu'on souhaite qu'une case ne voie pas son numéro de ligne incrémenté, il faut « bloquer » ce numéro en le faisant précéder du symbole « $ ».
Ici, on veut toujours diviser la valeur mentionnée en case E1, d'où l'usage du symbole « $ » devant le « 1 ».
Partie C
1. a) Position du point J
On veut avoir : JA = JB = JC. A, B et C sont donc sur un même cercle de centre J.
J est donc le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ; c'est le point de concourance des trois médiatrices du triangle ABC.
Comme ABC est rectangle en A, le centre du cercle circonscrit (donc J) est le milieu du segment [BC].
b) Construction du triangle ABC à l'échelle 1/5 000
« Construire à l'échelle 1/5 000 » signifie que 5 000 cm en réalité sont représentés par 1 cm sur le dessin.
Sur le terrain, AB mesure 480 m, soit 48 000 cm ; sur le dessin AB mesurera donc 48 000 ÷ 5 000 = 9,6 cm.
Sur le terrain, AC mesure 360 m, soit 36 000 cm ; sur le dessin AC mesurera donc 36 000 ÷ 5 000 = 7,2 cm.
Sur le terrain, BC mesure 600 m, soit 60 000 cm ; sur le dessin BC mesurera donc 60 000 ÷ 5 000 = 12 cm.
Zoom
Le dessin ci-dessus n'est pas aux dimensions attendues
2. Montrons que AKJI est un rectangle.
Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AC] et J est le milieu de [BC], donc (IJ) // (AB) d'après le théorème de la droite des milieux. Comme K \in [AB], on a aussi : (IJ) // (KA).
Dans le triangle ABC, K est le milieu de [AB] et J est le milieu de [BC], donc (KJ) // (AC) d'après le théorème de la droite des milieux. Comme I \in [AC], on a aussi : (KJ) // (AI).
Le quadrilatère AKJI a ses côtés opposés parallèles deux à deux, donc c'est un parallélogramme. Comme l'angle en A est droit, c'est un rectangle, car tout parallélogramme ayant un angle droit est un rectangle.
3. Montrons que les points du segment [KI] sont équidistants de A et H.
On sait que l'ensemble des points équidistants à deux points donnés est la médiatrice du segment d'extrémités ces deux points.
Le problème revient donc à montrer que (KI) est la médiatrice de [AH].
Dans le triangle ABC, K est le milieu de [AB] et I est le milieu de [AC], donc (KI) // (BC) d'après le théorème de la droite des milieux.
Dans le triangle ABH, K est le milieu de [AB] et (KI) est parallèle à (BC) donc (KI) coupe [AH] en son milieu.
Par ailleurs, comme (AH) \perp (BC) et que (BC) // (KI), on a : (AH) \perp (KI).
(KI) est la droite perpendiculaire à [AH] et passant par son milieu, donc c'est la médiatrice de [AH].
Tous les points de (KI) et en particulier ceux du segment [KI] sont donc équidistants de A et de H.
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