La proportionnalité

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Égalité des produits en croix
Propriété
Soit a, b, c et d quatre nombres non nuls. Si \frac{a}{b}=\frac{c}{d}, alors ad  =  bc. C'est la propriété de l'égalité des « produits en croix ». Elle permet de calculer rapidement une quatrième proportionnelle.
Exemple
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Le théorème de Thalès appliqué au triangle AMN permet d'écrire : \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AM}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MN}}  ; soit, après remplacement par les valeurs connues \frac{4}{5}=\frac{6}{\mathrm{MN}}.

À l'aide de l'égalité des produits en croix, on déduit que 4  ×  MN = 5  ×  6, d'où MN = 7,5.
Proportionnalité
Deux suites de nombres sont proportionnelles si l'on peut passer des nombres de l'une des suites aux nombres correspondants de l'autre suite en multipliant par un même nombre : le coefficient de proportionnalité.
Les quotients des nombres correspondants de deux suites proportionnelles sont égaux.
Toute situation de proportionnalité peut se traduire par une fonction linéaire.
Exemple
Dans une boulangerie, la baguette de campagne coûte 0,64  €.
Appelons x le nombre de baguettes achetées, le prix à payer est donc égal à 0,64x. Cette situation de proportionnalité peut se traduire par la fonction linéaire : x\mapsto 0,64x.
Proportionnalité (situation de)
Exemple
Situation 1
Une source donne 12 L d'eau en 4 minutes. Quel temps faut-il pour obtenir 24 L d'eau ?
La situation 1 est une situation de proportionnalité. Le temps nécessaire est proportionnel à la quantité d'eau. Comme 24 = 12  ×  2, il faut 4  ×  2, donc 8 minutes pour obtenir 24 L d'eau.
Situation 2
À 2 ans Rémy mesurait 87 cm. Quelle sera sa taille à 4 ans ?
La situation 2 n'est pas une situation de proportionnalité, la taille d'un enfant n'est pas proportionnelle à son âge. On ne peut pas répondre à la question.
Proportionnel
Exemple
Prix d'un kilogramme de fraises
4  €
Prix de trois kilogrammes de fraises
12  €
Prix de six kilogrammes de fraises
24  €

On passe de la masse des fraises à leur prix en multipliant par 4 (le prix du kilo en €) : 3  ×  4  = 12 et 6  ×  4  = 24.
Le prix des fraises est donc proportionnel à la masse achetée. Il s'agit d'une situation de proportionnalité.
Quatrième proportionnelle
Exemple
Soit le tableau de proportionnalité suivant :
1,5
0,9
4,5
x

Le nombre manquant de ce tableau de proportionnalité est appelé quatrième proportionnelle.
Pour le calculer, on peut utiliser l'égalité des produits en croix. 1,5 ×  x  = 4,5 × 0,9 donc x  = 2,7.
Tableau de proportionnalité
Un tableau de nombres est un tableau de proportionnalité si l'on peut passer des nombres de la première ligne aux nombres correspondants de la seconde ligne en multipliant par un même nombre : le coefficient de proportionnalité.
Exemple
4
9
14
6
13,5
21

\frac{6}{4}=\frac{13,5}{9}=\frac{21}{14}=1,5. On peut passer des nombres de la première ligne de ce tableau aux nombres correspondants de la seconde ligne en multipliant par 1,5. Il s'agit bien d'un tableau de proportionnalité.
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