Le théorème de Thalès

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Réciproque du théorème de Thalès
Propriété
Soit d et d' deux droites sécantes en A. On suppose que B et M sont deux points de d distincts de A et que C et N sont deux points de d' distincts de A.
Si les points A, M, B sont alignés dans le même ordre que les points A, N, C et si \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Remarque
Seuls deux rapports égaux interviennent dans l'hypothèse de la réciproque du théorème de Thalès  : ce sont les rapports des longueurs des côtés portés par les deux droites sécantes.
La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles.
Théorème des milieux et sa réciproque
Appliquer le théorème des milieux et sa réciproque
Théorème de Thalès (appliqué au triangle)
Propriété
ABC est un triangle. M se trouve sur le segment [AB] et N sur le segment [AC]. D'après le théorème de Thalès, si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors on a l'égalité : \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} =\frac{MN}{BC}.

Remarque
Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs. Pour calculer une longueur dans la configuration représentée ci-dessus, il suffit de connaître trois des longueurs figurant dans deux des rapports  \frac{AM}{AB}, \frac{AN}{AC} et \frac{MN}{BC}  : par exemple, on connaît AM, AB et AC et on cherche AN. Le calcul est facilité par l'égalité des produits en croix.
Théorème de Thalès (généralisation)
Propriété
Soit d et d' deux droites sécantes en A. On suppose que B et M sont deux points de d distincts de A, et que C et N sont deux points de d' distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} =\frac{MN}{BC}.
Ce théorème peut être appliqué dans deux cas de figure, appelés « situations de Thalès ».
Première situation : le point M est sur le segment [AB] et le point N est sur le segment [AC]. Il s'agit là de la propriété étudiée en quatrième.

Deuxième situation : le point A est sur le segment [MB] et sur le segment [NC].

Remarque
Chacune de ces deux situations fait apparaître deux triangles AMN et ABC dont les côtés sont deux à deux parallèles.
Dans les égalités \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} =\frac{MN}{BC}, les côtés d'un triangle (ici AMN) figurent tous au numérateur, et les côtés parallèles correspondants de l'autre triangle (ici ABC) figurent tous au dénominateur.
Les égalités de ces trois rapports indiquent que l'un des triangles est un agrandissement de l'autre.
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