Les comparaisons

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comparer des nombres
Comparer deux nombres, c'est trouver le plus petit ou le plus grand des deux nombres en faisant appel aux règles suivantes :
  • si deux nombres décimaux n'ont pas la même partie entière , alors le plus petit est celui qui a la plus petite partie entière ;
  • s'ils ont la même partie entière, on examine leurs parties décimales chiffre par chiffre, en commençant par la décimale placée juste à droite de la virgule et en ajoutant au besoin des zéros.
Exemple
On veut comparer 56,24 et 56,239.
Les deux parties entières sont égales et le premier chiffre de chaque partie décimale est 2, mais on observe que 4  >  3, ce qui permet de conclure : 56,24 > 56,239.
comparer des nombres relatifs en écriture décimale
Exemple
En parcourant la droite graduée dans le sens indiqué par la flèche, on observe que le point A d'abscisse   –4,5 est situé :
  • avant le point B d'abscisse –2 ; donc –4,5  <   –2 ;
  • avant le point C d'abscisse 4 ; donc –4,5  <  4.
Règle
Si deux nombres relatifs sont négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro.
Si deux nombres relatifs sont de signes contraires, le plus petit est le nombre négatif.
comparer des nombres relatifs en écriture fractionnaire
Pour comparer deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, on peut les réduire au même dénominateur   positif puis comparer les nouveaux numérateurs. Les deux nombres sont alors rangés dans le même ordre que les nouveaux numérateurs.
Exemple
On veut comparer : -\frac{7} {15} et \frac{-9} {19}. On les réduit au même dénominateur positif : -\frac{7} {15} = \frac {-7\times19} {15\times19} = \frac {-133} {285} et \frac{-9} {19} = \frac {-9\times15} {19\times15} = \frac {-135} {285}. On compare ensuite les numérateurs : –133  >   –135. On a donc : -\frac{7} {15} > \frac{-9} {19}.
Remarque
On peut aussi, à l'aide d'une calculatrice, chercher une valeur approchée de chaque nombre et comparer ces valeurs approchées. \frac {13}{-3} \approx -4,33 et \frac {-17}{4} \approx -4,25 or  4,33  <   –4,25 donc \frac {13}{-3} < \frac{-17}{4}.
Comparer des nombres relatifs en écriture fractionnaire
Inégalité
Une inégalité est l'écriture mathématique d'une comparaison entre deux nombres. Elle s'écrit avec l'un des signes :
< (« inférieur à »)
> (« supérieur à »)
inférieur ou égal (« inférieur ou égal à »)
supérieur ou égal (« supérieur ou égal à »)

Exemple
L'inégalité x   <  3 se lit : x est inférieur à 3. C'est une inégalité stricte : x est inférieur à 3 et ne peut pas être égal à 3.
L'inégalité x   inférieur ou égal  3 se lit : x est inférieur ou égal à 3. C'est une inégalité large  : x est inférieur ou égal à 3.
Remarque
Quand on range des nombres, on écrit plusieurs inégalités successives. Ainsi, 3  <  3,03  <  3,1 est le rangement dans l'ordre croissant des nombres 3 ; 3,03 et 3,1.
Propriétés des inégalités
Propriété 1
a, b et k étant des nombres relatifs, les nombres relatifs a  +  k et b  +  k sont rangés dans le même ordre que a et  b. Autrement dit, si l'on ajoute (ou retranche) à chaque membre d'une inégalité un même nombre, on obtient une inégalité de même sens, équivalente à la première.
Par exemple, on veut comparer x  = 23,4 + 7,986 et y  = 19,74 + 7,986. Il est inutile d'effectuer les deux additions pour répondre. En effet, on a ajouté le même nombre 7,986 à 23,4 et à 19,74. Or 23,4  >  19,74 ; on a donc x   >   y.
Propriété 2
a, b et k étant des nombres relatifs, avec k strictement positif, les nombres relatifs a   ×   k et b   ×   k sont rangés dans le même ordre que a et  b. Autrement dit, si l'on multiplie (ou divise) chaque membre d'une inégalité par un même nombre strictement positif, on obtient une inégalité de même sens, équivalente à la première.
Par exemple, on veut comparer x  = 4,7  ×  2,93 et y  = 7,9  ×  2,93. Il est inutile d'effectuer les deux multiplications pour répondre. En effet, on a multiplié 4,7 et 7,9 par le même nombre positif : 2,93. Or 4,7  <  7,9 ; on a donc x   <   y.
Remarque
Si l'on multiplie chaque membre par un nombre négatif, on obtient une inégalité de sens contraire, équivalente à la première. Par exemple : 4  <  7 et (–3)  ×  4  >  (–3)  ×  7 (en effet : –12  >   –21).
Réduction au même dénominateur
Règle
Soit deux nombres en écriture fractionnaire. Les réduire au même dénominateur revient à remplacer l'un des deux nombres (ou chacun des deux nombres) par un nombre égal, de façon qu'ils aient le même dénominateur. Pour remplacer un nombre par un autre, on utilise la règle suivante : \frac{a}{b} = \frac {a \times k} {b \times k} (b et k étant différents de 0).
Exemple
On veut réduire au même dénominateur \frac{3}{12} et \frac{7}{20}. Il s'agit donc de trouver un multiple de 12 qui soit également un multiple de 20 et de préférence le plus petit possible. Dans le tableau qui suit, on écrit, sur la première ligne, les premiers multiples de 12 et, sur la seconde, les premiers multiples de 20 jusqu'à ce que l'on ait le même nombre.
12
24
36
48
60
20
40
60
 
 

60 est à la fois un multiple de 12 (60 =  5  × 12) et de 20 (60 = 20 ×  3). On peut écrire : \frac{3}{12} = \frac {3 \times 5}{12 \times 5} = \frac{15}{60} et \frac{7}{20} = \frac {7 \times 3}{20 \times 3} = \frac{21}{60}.
Remarque
Dans l'exemple qui précède, 60 est le plus petit multiple commun non nul de 12 et de 20. On écrit ppcm  (12 ; 20) = 60.
Les deux fractions étant réduites au même dénominateur 60, on peut alors les additionner ou les soustraire.
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