Les diviseurs

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Divisibilité
Soit deux nombres entiers a et b. Si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, alors a est divisible par b (et b est un diviseur de  a).
Par exemple, 28 est divisible par 7 car 28 ÷ 7 = 4. 
Règle
Il existe des règles, appelées critères de divisibilité, qui permettent de savoir si un nombre entier est divisible par un autre.
Par exemple :
  • un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair ;
  • un nombre est divisible par 3 si la somme de tous ses chiffres est divisible par 3 ;
  • un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Diviseur
Soit deux nombres a et b. Si l'on divise a par b, a est appelé le dividende et b, le diviseur.
Par exemple, dans la division 56,7 ÷ 5,4 = 10,5, le diviseur est 5,4.
Le mot diviseur désigne aussi de façon plus restreinte un nombre b (non nul) tel que le reste de la division euclidienne de a par b soit égal à 0. Dans ce cas, on dit que a est divisible par  b (c'est un multiple de b) et que b est un diviseur de a.
Par exemple : 378 ÷ 7 = 54 ; le reste de la division euclidienne de 378 par 7 est égal à 0, donc 7 est un diviseur de 378.
PGCD
Le plus grand diviseur commun à deux nombres entiers est appelé en abrégé le PGCD de ces deux entiers.
Rappel
Soit a et b deux nombres entiers. On dit que b est un diviseur de a s'il existe un nombre entier  q tel que a  =  b   ×   q. On dit aussi que a est un multiple de b, ou que a est divisible par b.
Exemple
On cherche le plus grand diviseur commun à 72 et 54.
Pour cela, on énumère les diviseurs de chacun de ces nombres, puis on extrait les nombres qui figurent dans les deux listes à la fois et on prend le plus grand.
Les diviseurs de 72 sont :
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 et 72.
Les diviseurs de 54 sont :
1, 2, 3, 6, 9, 18 et 27.
Les diviseurs communs à 72 et 54 sont donc : 1, 2, 3, 6, 9, et 18.
Le plus grand de ces diviseurs est 18. On note : PGCD(72, 54) = 18.
Remarque
Pour calculer rapidement le PGCD de deux entiers, on peut faire appel à l' algorithme d'Euclide.
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