Les priorités opératoires

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Distributivité
La multiplication est distributive sur l'addition et la soustraction ; c'est-à-dire que, pour tous nombres a,  b et k, on a : k  × (a  +  b) =  k  ×  a  +  k  ×  b  ; k  × (a   –   b) =  k  ×  a   –   k  ×  b. On a distribué le facteur k sur les termes a et b de la somme et de la différence.
Exemple
Exemple numérique : 2  ×  (5  –  3) = 2  ×  5  –  2  ×  3 = 10  –  6 = 4.
Exemple littéral : 5  ×  (x  + 7) = 5  ×   x  + 5  ×  7 = 5x  + 35.
Remarque
La propriété de la distributivité peut être utilisée :
  • pour développer  : 2  ×  (5  –  3) = 2  ×  5   2  ×  3 ;
  • pour factoriser  : 2  ×  5  –  2  ×  3 = 2  ×  (5  –  3).
Règles de priorité
Pour calculer une expression numérique sans parenthèses, on effectue les calculs de la gauche vers la droite, en commençant par les multiplications et les divisions qui ont priorité sur les additions et les soustractions.
Si l'expression comprend des parenthèses, on commence par effectuer les calculs à l'intérieur des parenthèses les plus intérieures. On effectue ces calculs en respectant les priorités définies au paragraphe précédent.
Exemple
C  = 9  –  (3  ×  2 + 1) On commence par calculer 3  ×  2 + 1 qui est entre parenthèses. Pour cela, on effectue d'abord la multiplication qui est prioritaire : C  = 9  –  (6  + 1). On achève le calcul à l'intérieur des parenthèses : C  = 9  –   7  = 2.
Règle des signes
Règle
La règle des signes permet de connaître le signe du produit de deux nombres relatifs  :
  • si les deux nombres ont le même signe, alors leur produit est positif ;
  • si les deux nombres ont des signes différents, alors leur produit est négatif.
Généralisons cette règle à un produit de plus de deux facteurs :
  • si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif ;
  • si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif.
Exemple
(–3)  ×  (–5)  ×  7  ×  (–2) est négatif, car il y a 3 facteurs négatifs et 3 est impair.
(–1)2001    =  –1, car il y a 2 001 facteurs négatifs, tous égaux à –1, et 2 001 est impair.
Supprimer des parenthèses (dans une somme algébrique)
Règle
Soit a, b, c trois nombres : a  + (b  +  c) =  a  +  b  +  c  ; a  + (b   –   c) =  a  +  b   –   c  ; a   –  (b  +  c) =  a   –   b   –   c  ;
a   –  (b   –   c) =  a   –   b  +  c.
Autrement dit :
  • si les parenthèses sont précédées du signe +, on conserve les signes des termes de l'expression entre parenthèses ;
  • si les parenthèses sont précédées du signe  –, on change les signes des termes de l'expression entre parenthèses.
Remarque
Si l'on change les signes des termes d'une somme précédée du signe  –, c'est parce que l'on a distribué le facteur  –1 sur chacun des termes de la somme.
Exemple
A  = 3x   –  (2 + 7x) A  = 3x   –  2  –  7x  = 3x   –  7x   –  2
Une forme réduite de A est :–4x   –  2.
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