Les valeurs exactes et approchées

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Arrondi d'un nombre positif
L'arrondi à l'unité d'un nombre décimal x est, s'il existe, le nombre entier le plus proche de  x. Si x est à égale distance des deux nombres entiers qui l'encadrent, l'arrondi est le plus grand de ces entiers.
Exemple
Soit le nombre 34,275, on peut écrire les encadrements ci-dessous.
34   <  34,275  <  35  ; 34,275 est plus proche de 34 que de 35 donc l'arrondi à l'unité de 34,275 est 34.
34,2   <  34,275  <  34,3  ; 34,275 est plus proche de 34,3 que de 34,2 donc l'arrondi au dixième de 34,275 est 34,3.
34,27   <  34,275  <  34,28  ; dans ce cas, 34,275 est à égale distance des deux nombres, 34,27 et 34,28 ; par convention, son arrondi au centième est le plus grand des deux nombres : 34,28.
Arrondi, troncature d'un nombre négatif
Exemple
Soit le nombre négatif –7,423, que l'on note A.
On a : –7,43  <   A   <   –7,42. On peut dire qu'à 0,01 près : –7,43 est la troncature de A  ; c'est sa valeur approchée par défaut à 0,01 près ; –7,42 est l'arrondi de A. Sur le schéma, en effet, –7,423 7 est plus proche de –7,42 que de –7,43.
Règle
On a appris en classe de 6e à déterminer l'arrondi ou la troncature d'un nombre décimal positif. Dans le cas d'un nombre décimal négatif, il vaut mieux s'aider d'un schéma.
Ordre de grandeur
On donne un ordre de grandeur quand le nombre exact ne peut pas être donné ou présente peu d'intérêt.
Par exemple, 58 millions d'habitants est un ordre de grandeur de la population française.
Remarque
Les ordres de grandeur permettent de vérifier ou d'anticiper des calculs.
Par exemple, Géraldine se demande si, avec 120  €, elle peut acheter trois articles coûtant respectivement : 18,50  €  ; 37,75  € et 58,85  €  .
Pour lui donner rapidement la réponse, on cherche un ordre de grandeur du prix de chacun des articles, puis on additionne les trois ordres de grandeur. On obtient : 20 + 40 + 60 = 120. La réponse est donc positive.
Par défaut
Quand on donne d'un nombre une valeur approchée qui lui est inférieure, on dit que cette valeur est approchée par défaut.
Une troncature est toujours une valeur approchée par défaut.
Exemple
5,42   <  5,427  <  5,43
Au centième près, 5,42 est une valeur approchée par défaut de 5,427 (5,43 en est une valeur approchée par excès).
Par excès
Quand on donne d'un nombre une valeur approchée qui lui est supérieure, on dit que cette valeur est approchée par excès.
Exemple
5,42  <  5,427  <   5,43
Au centième près, 5,43 est une valeur approchée par excès de 5,427 (5,42 en est une valeur approchée par défaut).
Troncature d'un nombre positif
Tronquer signifie « couper ». Tronquer l'écriture d'un nombre, c'est la couper avec la précision demandée. On obtient une valeur approchée par défaut du nombre.
Exemple
Soit le nombre 6,745 12. Sa troncature au dixième est 6,7. Sa troncature au centième est 6,74. Sa troncature au millième est 6,745.
Valeur approchée
Une valeur approchée d'un nombre est une valeur approximative de ce nombre. Selon la précision demandée, on donnera une valeur approchée à l'unité, au dixième, au centième, au millième,… près. Une valeur peut être approchée par défaut ou par excès.
Remarque
Quand le nombre est négatif, il vaut mieux écrire d'abord un encadrement de son opposé puis en déduire la valeur approchée demandée.
Exemple
On veut donner une valeur approchée au millième près par défaut de \frac{-27} {31} (on dit aussi à 0,001 près ou à 103 –près). Ce nombre est négatif. Son opposé est égal à \frac{27} {31}. À l'aide d'une calculatrice, on trouve : 0,870 < \frac{-27} {31} < 0,871. On en déduit que : -0,871 < \frac{-27} {31} < -0,870. –0,871 est une valeur approchée au millième près par défaut de \frac{-27} {31}.
Calculer une valeur décimale approchée d'un quotient
Valeur exacte
Exemple
La division 64,5 ÷ 15 se termine, on dit aussi qu'elle « tombe juste ». L'écriture décimale 4,3 est donc la valeur exacte du quotient. On peut écrire 64,5 ÷ 15 = 4,3.
Remarque
Dans le cas d'une division qui ne se termine pas, on ne peut donner la valeur exacte du quotient qu'en écriture fractionnaire. Ainsi, pour donner la valeur exacte du quotient 5 ÷ 3, on utilise l'écriture \frac{5}{3}.
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