Épreuve d'admissibilité, avril 2015, groupement académique 1

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Sujet

Première partie (13 points)
Dans tout le problème on travaille dans un réseau pointé à maille carrée.
On notera une unité de longueur 1 u.l. et une unité d'aire 1 u.a.
On appelle polygone de Pick, un polygone non aplati construit sur un tel réseau et dont chacun des sommets est un point du réseau.
L'objet de ce problème est le calcul d'aires de polygones de Pick.
A. Calcul de l'aire d'un polygone de Pick sur un exemple
Calculer l'aire du polygone ABCDEF (Figure 1), en unité d'aire. Expliciter les étapes du raisonnement.
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Figure 1
Figure 1
Une formule trouvée sur Internet sous le nom de formule de Pick prétend permettre de calculer l'aire \mathcal{A} d'un polygone de Pick, à partir du nombre i de points du réseau strictement intérieurs à ce polygone et du nombre b de points du réseau sur le bord du polygone :
\mathcal{A}=i+\frac{b}{2}-1

Le résultat est en unité d'aire avec 1 u.a. = aire d'un carré unité.
Par exemple, pour le polygone ci-dessous :
i = 15 et b = 16, donc, en utilisant la formule, \mathcal{A}=15+\frac{16}{2}-1=22.
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Figure 2
Figure 2
B. Utilisation de la formule de Pick sur un exemple
1. Appliquer cette formule au polygone ABCDEF de la Figure 1 et vérifier que l'on retrouve bien son aire.
2. Propriété d'additivité des aires
Appliquer la formule de Pick aux deux polygones de Pick ABCDF et DEF de la Figure 1. Vérifier que la somme des résultats obtenus est égale au résultat trouvé à la question B.1.
Les parties C. et D. sont indépendantes.
C. Quelques conséquences de la formule de Pick
Dans cette partie du problème, on admet que la formule est vraie dans le cas général.
1. Prouver qu'il ne peut pas y avoir de polygone de Pick d'aire 7,5 avec b pair.
2. On considère un polygone de Pick d'aire 7,5. Démontrer que la valeur maximale que peut prendre b est 17.
Tracer sur la copie un réseau pointé à maille carrée, et sur ce réseau un polygone de Pick correspondant à cette valeur.
3. On veut tracer un polygone de Pick d'aire 7,5 et contenant un seul point intérieur.
Quelle est alors la valeur de b ?
Tracer sur la copie un réseau pointé à maille carrée, et sur ce réseau un polygone de Pick d'aire 7,5 vérifiant ces conditions.
4. Démontrer que le nombre maximal de points sur le bord d'un polygone de Pick d'aire \mathcal{A} quelconque est : 2A + 2.
D. Démonstration de la formule de Pick dans le cas d'un rectangle
On considère un rectangle de Pick de dimensions quelconques dont les côtés sont parallèles au réseau (comme dans l'exemple ci-dessous).
On note :
  • L sa longueur ;
  • l sa largeur ;
  • i le nombre de points du réseau strictement intérieurs au rectangle ;
  • b le nombre de points sur le bord du rectangle.
1. Exprimer b et i en fonction de L et l.
2. En déduire que l'aire \mathcal{A} du rectangle vérifie \mathcal{A}=i+\frac{b}{2}-1.
Deuxième partie (13 points)
Cette partie est constituée de trois exercices indépendants.
Exercice 1
A et B sont deux nombres entiers positifs tels que :
  • 111 est un multiple du nombre entier positif A ;
  • A − B est un nombre entier positif ou nul divisible par 10 ;
  • B est le cube d'un nombre entier.
Trouver toutes les valeurs possibles pour A et B.
Exercice 2
(d'après le sujet du DNB Métropole 2010)
L'eau en gelant augmente de volume. Le segment de droite ci-dessous représente le volume de glace (en litre), en fonction du volume d'eau liquide (en litre).
On répondra aux questions 1., 2. et 3. en utilisant le graphique ci-dessus.
1. Quel est le volume de glace obtenu avec 7 litres de liquide ?
2. Quel volume d'eau liquide faut-il mettre à geler pour obtenir 9 litres de glace ?
3. Le volume de glace est-il proportionnel au volume d'eau liquide ? Justifier votre réponse.
4. On admet que 10 litres d'eau liquide donnent 10,8 litres de glace. De quel pourcentage ce volume d'eau augmente-t-il en gelant ?
5. Dans un souci de préservation de la ressource en eau, la ville de Lyon a imaginé un dispositif de recyclage. Cette ville fournit un volume de 20 m3 d'eau par jour aux engins de nettoiement grâce à l'eau récupérée de la fonte de la glace de la patinoire de Baraban.
À combien de litres de glace correspond le volume d'eau fourni par la ville de Lyon pour 30 jours de nettoyage ?
(source : article du 03/12/2013 – http://blogs.grandlyon.com)
Exercice 3
Dans cet exercice, on prendra 1 cm comme unité de longueur.
On considère un trapèze ABFE rectangle en A et B, c'est-à-dire tel que les droites (AE) et (BF) sont perpendiculaires à la droite (AB), et tel que AB = 14 ; AE = 3 ; BF = 9.
Le point M est un point variable sur le segment [AB]. Le but de cet exercice est de déterminer la position de M pour laquelle la valeur de EM + MF est minimale.
1. Construire le trapèze ABFE et le point G, symétrique du point F par rapport à la droite (AB).
2. On appelle P l'intersection des droites (AB) et (EG).
Montrer que, pour tout point M de [AB], on a : EM + MG supérieur ou égal EP + PG.
En déduire que la valeur EM + MF est minimale lorsque M est placé en P.
3. 
a) Montrer que \frac{\mathrm{AP}}{14-\mathrm{AP}}=\frac{3}{9}.
b) Calculer AP.
4. Calculer la valeur minimale de EM + MF. En donner la valeur exacte en cm, et la valeur arrondie au dixième.
Troisième partie (14 points)
Cette partie est constituée de quatre situations indépendantes.
Situation 1
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(d'après le manuel Outils pour les maths CM1, Magnard, édition 2011)
1. Un élève a bien réussi la question 2 mais a fait plusieurs erreurs à la question 3. En comparant la présentation et les tâches demandées dans ces deux questions, donner trois raisons pouvant expliquer cette différence de réussite.
2. Quelle définition d'un nombre décimal peut-on proposer à l'école élémentaire ?
Situation 2
Fatou dit qu'elle a réussi à tracer un segment dont la mesure en décimètres est comprise entre 2+\frac{5}{10}+\frac{2}{100} et 2+\frac{6}{10}+\frac{1}{100}.
Max lui dit que ce n'est pas possible, car \frac{1}{100} est plus petit que \frac{2}{100}.
Qui a tort ? Expliquez pourquoi.
(d'après le manuel scolaire Tribu des maths CM2, Magnard, édition 2010)

Trois copies d'élèves sont proposées ci-après (Lara, Clément et Léonie).
1. Quelles sont les erreurs faites par Lara ? Indiquer pour chacune une origine possible.
2. Citer une compétence qui semble acquise dans le domaine de la numération pour Clément.
3. Léonie s'appuie sur les écritures décimales des nombres 2+\frac{5}{10}+\frac{2}{100} et 2+\frac{6}{10}+\frac{1}{100} pour comparer ces nombres. Énoncer la règle de comparaison qu'elle utilise implicitement.
Copies d'élèves
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Lara
Lara
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Clément
Clément
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Léonie
Léonie
Situation 3
La situation suivante composée de trois problèmes a été proposée à des élèves.
P1 : Avec une bouteille de 150 cL de jus de fruits, combien peut-on remplir de verres de 8 cL ?
P2 : Olivier achète 8 CD de même prix pour 150 €. Quel est le prix d'un CD ?
PE3 : À la cantine, les enfants déjeunent par tables de 8. Aujourd'hui 150 enfants déjeunent à la cantine. Combien de tables faut-il préparer ? Restera-t-il des places vides ?
(d'après Ermel CM2, Hatier)

1. Ces trois problèmes relèvent de la division. Indiquer ce qui les différencie.
2. Donner l'ordre dans lequel ces exercices pourraient être proposés aux élèves. Justifier.
Situation 4 : Technique opératoire de la division
Voici les productions de quatre élèves.
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Adama
Adama
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Marie
Marie
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Kévin
Kévin
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Anaïs
Anaïs
1. Donner un avantage de chacune des techniques opératoires utilisées par Adama et Anaïs.
2. Relever les erreurs faites par Marie et Kévin et, pour chacune, émettre une hypothèse sur son origine.

Corrigé

Remarques
Dans ce qui suit, le texte en italique constitue des commentaires, que nous espérons formateurs ; il n'a pas à figurer sur une copie.
Nous donnons systématiquement un titre à chaque question, titre repris du sujet ou synthétisant le contenu de la question. Ceci n'est pas attendu de la part du candidat le jour de l'épreuve (même si le correcteur appréciera la lisibilité accrue de la copie qui en résulte) ; toutefois, il est profitable pour le candidat de faire cet exercice au moins mentalement, car cela lui permet d'analyser les questions et donc de prendre conscience de leur objectif.
Première partie
A. Calcul de l'aire d'un polygone de Pick sur un exemple
Remarque
On utilise ici le principe d'additivité des aires, en considérant, soit des sous-figures de celle proposée, soit des sur-figures de celle proposée. Les formules d'aire du rectangle, du carré et/ou du triangle sont également mobilisées. Nous donnons deux exemples d'obtention du résultat, il y en a d'autres.
1re procédure
Le polygone est composé :
  • du carré BCDF de côté 5 u.l. et d'aire : \mathcal{A}_{1}côté × côté = 5 × 5 = 25 u.a. ;
  • du triangle ABF, de côté BF de longueur 5 u.l. et dont la hauteur correspondante (issue de A) a pour longueur 4 u.l. ; l'aire de ce triangle est donc : \mathcal{A}_{2}=\frac{base \times hauteur}{2}=\frac{4 \times 5}{2} = 10 u.a. ;
  • du triangle rectangle isocèle EFD, dont les côtés de l'angle droit ont une longueur de 5 u.l. et dont l'aire est donc : \mathcal{A}_{3}=\frac{base \times hauteur}{2}=\frac{5 \times 5}{2} = 12,5 u.a.
L'aire du polygone ABCDEF est donc égale à : \mathcal{A}_{1} + \mathcal{A}_{2} + \mathcal{A}_{3} = 25 + 10 + 12,5 = 47,5 u.a.
2e procédure
Le polygone est composé :
  • du carré BCDF de côté 5 u.l. et d'aire : \mathcal{A}_{1}côté × côté = 5 × 5 = 25 u.a. ;
  • du triangle ABF, inscrit dans un rectangle de longueur 5 u.l. et de largeur 4 u.l. ; l'aire de ce triangle vaut la moitié de celle du rectangle et est donc : \mathcal{A}_{2}=\frac{4 \times 5}{2} = 10 u.a. ;
  • du triangle rectangle isocèle EFD, inscrit dans le carré FED'D de côté 5 u.l. et dont l'aire est la moitié de celle du carré FED'D, à savoir : \mathcal{A}_{3}=\frac{5 \times 5}{2} = 12,5 u.a.
L'aire du polygone ABCDEF est donc égale à : \mathcal{A}_{1} + \mathcal{A}_{2} + \mathcal{A}_{3} = 25 + 10 + 12,5 = 47,5 u.a.
B. Utilisation de la formule de Pick sur un exemple
1. Application au polygone ABCDEF
Concernant le polygone ABCDEF, i = 37 et b = 23 ; on a donc :
\mathcal{A}i\frac{b}{2} − 1 = 37 + 11,5 − 1 = 47,5 u.a., ce qui correspond bien au résultat trouvé précédemment.
2. Propriété d'additivité des aires
Concernant le polygone ABCDF : i = 27 et b = 18 ; on a donc :
\mathcal{A}_{\mathrm{ABCDF}}i + \frac{b}{2} − 1 = 27 + 9 − 1 = 35 u.a.
Concernant le polygone DEF : i = 6 et b = 15 ; on a donc :
\mathcal{A}_{\mathrm{DEF}}i + \frac{b}{2} − 1 = 6 + 7,5 − 1 = 12,5 u.a.
D'où : \mathcal{A}_{\mathrm{ABCDEF}}\mathcal{A}_{\mathrm{ABCDF}} + \mathcal{A}_{\mathrm{DEF}} = 35 + 12,5 = 47,5, ce qui correspond au résultat de la question B.1.
C. Conséquences de la formule de Pick
1. 
Il ne peut pas y avoir de polygone de Pick d'aire 7,5 avec b pair.
Remarque
Attention : il faut ici raisonner dans le cas général ; l'observation de phénomènes numériques sur quelques exemples choisis ne suffit pas. On peut reformuler la question de la façon suivante : « montrer que : si b est pair, alors l'aire d'un polygone de Pick ne peut pas être égale à 7,5 ».
Supposons que b soit pair ; il existe alors un nombre entier naturel b' tel que : b = 2b'. b ne pouvant être nul car au moins égal au nombre de sommets du polygone de Pick considéré, b' est également non nul, donc égal au moins à 1.
La formule de calcul d'aire d'un polygone de Pick devient alors : \mathcal{A}i + \frac{b}{2} − 1 = ib' − 1. Comme i et b' sont des entiers naturels et que b' supérieur ou égal 1, le nombre \mathcal{A} est un entier naturel, donc ne peut être égal à 7,5.
2. 
Valeur maximale de b pour un polygone de Pick d'aire 7,5
Si \mathcal{A} = 7,5, on a alors : i + \frac{b}{2} − 1 = 7,5, d'où : i + \frac{b}{2} = 8,5 et donc 2i + b = 17.
La valeur maximale de b correspond à i = 0 et vaut donc 17.
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Polygone de Pick tel que A = 7,5, i = 0 et b = 17
Polygone de Pick tel que A = 7,5, i = 0 et b = 17
3. 
Valeur de b pour un polygone de Pick d'aire 7,5 et tel que i = 1
S'il n'y a qu'un seul point intérieur, alors i = 1. Comme par ailleurs \mathcal{A} = 7,5, on a : i + \frac{b}{2} − 1 = 7,5.
D'où 1 + \frac{b}{2} − 1 = 7,5 soit b = 7,5 × 2 = 15.
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Polygone de Pick tel que A = 7,5, i = 1 et b = 15
Polygone de Pick tel que A = 7,5, i = 1 et b = 15
4. 
Nombre maximal de points sur le bord d'un polygone de Pick d'aire \mathcal{A} donnée
Comme \mathcal{A}i + \frac{b}{2} − 1, on a : \frac{b}{2}\mathcal{A} − i + 1 et donc :
b = 2\mathcal{A} + 2 − 2i. \mathcal{A} étant fixé, b est maximal lorsque 2i est nul et vaut alors 2\mathcal{A} + 2.
D. Démonstration de la formule de Pick dans le cas d'un rectangle
1. 
Expression de b et i en fonction de L et l
Soient L et l respectivement la longueur et la largeur d'un rectangle dont les bords sont parallèles au réseau.
Un segment de longueur L (resp. l) qui suit le réseau contient L + 1 (resp. l + 1) points du réseau. Les quatre sommets du rectangle sont communs à deux segments consécutifs constituant le contour du rectangle. Le nombre de points sur le contour est donc :
2 × (L + 1) + 2 × (l + 1) − 4 = 2L + 2l.
Le rectangle contient strictement L − 1 rangées de l − 1 points, soient : (L − 1)(l − 1) points en tout.
Conclusion : b = 2L + 2l et i = (L − 1)(l − 1).
2. 
Formule de l'aire
L'aire du rectangle vaut : \mathcal{A} = L × l. Par ailleurs :
i\frac{b}{2} − 1 = (L − 1)(l − 1) + L + l − 1 = L × l − L − l + 1 + L + l − 1 = L × l.
On a donc bien : \mathcal{A} i + \mathbf{\frac{b}{2}} − 1.
Deuxième partie
Exercice 1
Déterminons les nombres entiers positifs A et B tels que :
1) 111 soit un multiple de A ;
2) A − B soit un nombre entier positif ou nul divisible par 10 ;
3) B soit le cube d'un nombre entier.
Remarque
« 111 est un multiple de A » équivaut à : « A est un diviseur de 111 », il faut donc trouver les diviseurs de 111. Le moyen le plus rapide et systématique est de décomposer 111 en produit de nombres premiers.
Attention : ne pas oublier les diviseurs « triviaux » 1 et 111.
• La décomposition de 111 en produit de nombres premiers est : 111 = 3 × 37 ; 111 a donc 4 diviseurs : 1, 3, 37 et 111.
La contrainte 1) permet donc de dire que : \mathbf{\in\lbrace1\,;3\,;37\,;111\rbrace}.
• Comme A − B doit être un nombre positif, B doit être inférieur à A, donc vaut au maximum 111.
La contrainte 3) permet alors de dire que : B \in\lbrace1^{3}\,;2^{3}\,;3^{3}\,;4^{3}\rbrace car 53 = 125 > 111.
On a donc : \mathbf{\in\lbrace1\,;8\,;27\,;64\rbrace}.
• Reste à examiner les différences A − B pour trouver celles qui sont multiples (positifs ou nuls) de 10. Pour qu'un couple (A ; B) soit solution, il faut et il suffit que A et B aient même chiffre des unités, A étant supérieur à B ; en effet, leur différence comportera alors « 0 » comme chiffre des unités et sera donc multiple de 10.
Les couples solutions sont donc : (1 ; 1), (111 ; 1) et (37 ; 27).
Exercice 2
1. 
Volume de glace obtenu avec 7 litres de liquide
Remarque
Les volumes de liquide sont repérés en abscisse et ceux de glace en ordonnée. Lorsque l'on cherche le volume de glace correspondant à 7 litres de liquide, on cherche l'ordonnée du point de la courbe ayant 7 pour abscisse.
Le point de coordonnées (7 ; 7,5) appartient à la courbe représentative ; on en déduit que, pour 7 litres d'eau, on obtient 7,5 litres de glace.
2. 
Volume d'eau liquide nécessaire pour obtenir 9 litres de glace
Remarque
Lorsque l'on cherche le volume d'eau liquide nécessaire pour obtenir 9 litres de glace, on cherche l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée 9.
Le point de coordonnées (8,4 ; 9) appartient à la courbe représentative, on en déduit qu'il faut (approximativement) 8,4 litres d'eau pour obtenir 9 litres de glace.
3. 
Les volumes de glace et d'eau sont-ils proportionnels ?
Remarque
Il est précisé que la réponse à cette question doit être faite en se servant du graphique, c'est donc l'apparence de ce dernier qui doit fournir les arguments…
La courbe représentant le volume de glace en fonction du volume d'eau est une demi-droite ayant pour origine le point (0 ; 0) ; il s'agit donc de la représentation d'une situation de proportionnalité.
Remarque
Les situations de proportionnalités sont caractérisées par le fait que leur représentation graphique est une droite passant par l'origine ; le fait que la représentation soit ici limitée à une demi-droite est lié au contexte, les mesures (de volumes) ne pouvant être que positives.
4. 
Pourcentage d'augmentation du volume de 10 litres d'eau en gelant
En passant de l'état liquide à l'état solide, le volume des 10 litres d'eau a été augmenté de 0,8 litre. Le pourcentage d'augmentation est donc de : \frac{0,8}{10}=\frac{8}{100}.
Le volume des 10 litres d'eau a augmenté de 8 %.
5. 
Volume de glace correspondant au don en eau de la ville de Lyon pour 30 jours de nettoyage
La ville de Lyon donne 20 m3 d'eau par jour, ce qui correspond à 20 000 litres car 1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 L.
En 30 jours, la ville de Lyon aura donc donné : 30 × 20 000 = 600 000 L d'eau.
10 L d'eau produisent 10,8 L de glace, donc 600 000 L d'eau produisent :
600 000 × 10,8 ÷ 10 = 648 000 L de glace.
Le volume d'eau fourni par la ville de Lyon en 30 jours correspond à 648 000 L de glace.
Exercice 3
1. 
Construction de la figure
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La figure ci-dessus est à l'échelle, mais pas en grandeur réelle.
2. 
Montrons que : EM + MG supérieur ou égal EP + PG.
Soit M un point quelconque de [AB].
Remarque
En fait, on pourrait considérer un point quelconque du plan, le raisonnement qui suit serait aussi valide.
D'après l'inégalité triangulaire, on a : EM + MG supérieur ou égal EG ; EM + MG = EG (donc est minimal) lorsque E, M et G sont alignés, autrement dit, lorsque M et P sont confondus.
On a donc bien pour tout M de [AB] : EM + MG supérieur ou égal EP + PG (= EG).
Soit G le symétrique de F par rapport à la droite (AB). Soit M un point quelconque de [AB].
Comme M est sur l'axe de symétrie (AB), il est son propre symétrique. Les symétries axiales conservant les longueurs, on a : MF = MG et donc, pour tout M de [AB], on a : EM + MF = EM + MG.
EM + MF est donc minimal lorsque EM + MG l'est, à savoir lorsque M est confondu avec P.
3. 
a) Montrons que : \mathbf{\frac{AP}{14-AP}=\frac{3}{9}}.
Les droites (AE) et (BG) sont parallèles et les droites (EG) et (AB) sont sécantes en P. On a donc d'après le théorème de Thalès : \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{BG}} (1).
Or :
  • comme P \in [AB] , PB = AB − AP = 14 − AP ;
  • comme G est le symétrique de F par rapport à (AB), BG = BF = 9 ;
  • et AE = 3.
L'égalité (1) s'écrit donc : \frac{\mathrm{AP}}{14-\mathrm{AP}}=\frac{3}{9}.
b) Calcul de AP
D'après l'égalité ci-dessus, on a donc : 9AP = 3(14 − AP) d'où : 9AP = 42 − 3AP et donc :
12AP = 42, soit : AP = \frac{42}{12}\frac{6\times7}{6\times2}\frac{7}{2} = 3,5.
Conclusion : AP = 3,5 cm.
4. 
Calcul de la valeur minimale de EM + MF
D'après la question 2., EM + MF = EM + MG et la valeur minimale de EM + MG vaut EP + PG. Il s'agit donc de calculer EP et PG.
Dans le triangle AEP, rectangle en A, on sait que : AE = 3 et AP = \frac{7}{2}. D'après le théorème de Pythagore, on a : AE2 + AP2 = EP2 d'où EP2 = 9 + \frac{49}{4}\frac{36}{4}\frac{49}{4}\frac{85}{4} et EP = \sqrt{\frac{85}{4}}\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{4}}\frac{\sqrt{85}}{2}.
Dans le triangle PBG, rectangle en B, on sait que : PB = AB − AP = 14 − \frac{7}{2}\frac{21}{2} et BG = 9. D'après le théorème de Pythagore, on a : PB2 + BG2 = PG2 d'où PG2\frac{441}{4} + 81 = \frac{441}{4}\frac{324}{4}\frac{765}{4} et PG = \sqrt{\frac{765}{4}}\frac{\sqrt{765}}{\sqrt{4}}\frac{\sqrt{9\times85}}{2}\frac{3}{2}\times\sqrt{85}.
La valeur exacte de EP + PG est donc : \frac{\sqrt{85}}{2}+\frac{3}{2}\times\sqrt{85}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right)\sqrt{85}2\sqrt{85}.
Conclusion : la valeur minimale de EM + MF est : \mathbf{2\sqrt{85}\approx} 18,4 cm.
Troisième partie
Situation 1
1. 
Trois explications à la différence de réussite entre les questions 2 et 3.
Pour ce qui est de la tâche à réaliser, on peut observer que, dans le cas de l'exercice 3, l'élève doit commencer par reproduire la droite graduée donnée en énoncé, ce qui peut être source d'erreur.
Pour ce qui est de la droite graduée fournie dans l'énoncé :
  • dans l'exercice 2, les points à associer aux fractions fournies sont déjà repérés par des flèches, ce qui permet à l'élève de réussir en rangeant les fractions par ordre croissant, puis en associant une fraction à une graduation repérée, de la gauche vers la droite, par ordre croissant. Dans l'exercice 3, aucun emplacement n'est repéré ;
  • dans l'exercice 2, les points repérés sont ceux d'abscisse 0 et 1, ce qui permet de placer les fractions en comptant les centièmes à partir de 0 ; dans l'exercice 3, les points repérés sont ceux d'abscisse 3 et 4, ce qui demande à l'élève de décomposer les nombres à placer en se référant au nombre 3.
Pour ce qui est des nombres à placer : dans l'exercice 2, il s'agit exclusivement de fractions de dénominateur 100 ; dans l'exercice 3, il s'agit de fractions de dénominateur 10 ou 100 et de nombres écrits sous forme décimale avec virgule. Les élèves doivent donc mobiliser plus de compétences pour réussir l'exercice 3, puisqu'il leur faut savoir passer d'une écriture à l'autre.
Remarque
Il n'est demandé que trois raisons ; nous vous recommandons, le jour du concours, de ne pas en donner davantage, toute erreur étant pénalisante. Autrement dit, si vous donnez trois réponses pertinentes et une réponse supplémentaire qui n'est pas appropriée, vous n'obtiendrez pas le maximum des points pour la question.
2. 
Définition d'un nombre décimal pouvant être donnée à l'école élémentaire
On ne peut pas proposer de définition « savante » d'un nombre décimal à l'école élémentaire. Ce qui est introduit et définit, c'est l'usage de la virgule dans l'écriture décimale d'un nombre ; cette écriture étant définie comme un codage des décompositions canoniques du type 3+\frac{7}{10} ou 12+\frac{2}{10}+\frac{5}{100}, que l'on code respectivement par 3,7 et 12,25 (et vice versa).
Situation 2
1. 
Erreurs commises par Lara et hypothèses sur l'origine de chaque erreur
Lara commet deux erreurs par mesure à considérer.
La première consiste à écrire que : 2+\frac{5}{10}+\frac{2}{100}=\frac{252}{1000}. On peut supposer qu'elle a pour partie automatisé le passage de la décomposition canonique (du type de celle fournie) à l'écriture d'une unique fraction décimale en considérant que le numérateur s'obtient en écrivant côte à côte la partie entière et tous les numérateurs à considérer : ici, 2, 5 et 2. Mais, au lieu de prendre comme dénominateur commun « 100 », elle a pensé devoir opérer sur les dénominateurs et a pris comme dénominateur commun le produit de 10 et de 100, sans produire les opérations correspondantes sur les numérateurs.
La deuxième erreur consiste à écrire que 0,252 = 252. On peut considérer qu'il s'agit là d'une maladresse d'écriture dont le sens pourrait être que « pour comparer 0,252 et 0,261, il suffit de comparer 252 et 261 », c'est-à-dire le nombre de millièmes.
Les deux erreurs sont reproduites avec adaptation numérique pour la deuxième mesure à considérer.
2. 
Compétence semblant acquise par Clément dans le domaine de la numération
Clément sait écrire sous forme décimale à virgule un nombre dont est donnée la décomposition canonique du type : partie entière\frac{a}{10}\frac{b}{100} avec a, b \in\lbrace0\,;1\,;2\,;3\,;...\,;9\rbrace.
3. 
Règle de comparaison utilisée implicitement par Léonie
La règle utilisée implicitement par Léonie est la suivante : « pour comparer deux nombres décimaux ayant la même partie entière, on compare les chiffres des dixièmes : le plus grand est celui qui a le plus grand chiffre des dixièmes. Ce n'est que si les chiffres des dixièmes sont égaux que l'on compare les chiffres des centièmes. »
Situation 3
1. 
Différences entre les trois problèmes
Les problèmes 1 et 3 sont des problèmes de groupement, alors que le problème 2 est un problème de partage.
Les problèmes 1 et 3 font intervenir une division euclidienne, alors que le problème 2 nécessite d'effectuer une division à quotient décimal.
Les problèmes 1 et 3 sont des problèmes de division-quotition (on cherche le nombre de « parts ») alors que le problème 2 est un problème de division-partition (on cherche la valeur d'une « part »).
Le problème 3 est le seul pour lequel le reste de la division euclidienne entre en compte dans les calculs.
2. 
Progressivité dans le traitement des trois exercices
Si l'on se place du point de vue de la compréhension de l'énoncé et de l'interprétation que l'élève doit faire du résultat qu'il a obtenu en effectuant les calculs, l'ordre proposé par l'ouvrage semble pertinent : pour les deux premiers problèmes, le quotient fournit la réponse et il y a une progressivité dans la complexité opératoire puisque l'on passe d'un quotient entier à un quotient décimal ; ensuite, le troisième problème relève d'une difficulté supplémentaire du côté de l'interprétation du résultat, puisqu'il faut ajouter 1 au quotient pour donner la réponse à la première question – en observant que s'il y a un reste non nul, c'est qu'il faut prévoir une table de plus –, puis chercher le complément du reste à 8 pour obtenir la réponse à la deuxième question.
Remarque
Un enseignant pourrait toutefois proposer les problèmes 1, puis 3 (voir arguments ci-dessus) et différer la résolution du problème 2 s'il n'avait pas encore suffisamment entraîné ses élèves au calcul d'un quotient décimal.
Situation 4
1. 
Avantage des techniques opératoires utilisées par Adama et Anaïs
L'avantage principal de la technique utilisée par Adama est la concision dans l'écriture.
Remarque
On observera qu'une telle concision n'est plus exigée, ni souhaitée, à l'école élémentaire car elle conduit à de nombreuses erreurs. En particulier, les soustractions intermédiaires sont à l'heure actuelle toujours écrites.
L'avantage de la technique utilisée par Anaïs est qu'elle « fait sens » : on peut facilement l'illustrer par des distributions ou des groupements successifs, ou se référer à leur évocation.
Par ailleurs, il n'est pas nécessaire d'optimiser au maximum les quotients partiels (et ainsi chaque élève peut « aller à son rythme » en fonction des multiples du diviseur qu'il identifie et de ses possibilités calculatoires) : on arrête de partager ou de grouper lorsque le reste est inférieur au diviseur ; puis on additionne les quotients partiels.
2. 
Erreurs commises par Marie et Kévin et hypothèse sur l'origine de chaque erreur
Erreur commise par Marie
Marie oublie d'écrire « 0 » au rang des centaines du quotient. Elle a (correctement) divisé 38 milliers par 37, puis abaissé 7 pour s'intéresser à la division de « 17 » centaines par 37. Comme 17 < 37, elle considère « qu'on ne peut pas diviser 17 (centaines) par 37 » et abaisse donc le chiffre suivant. Cette élève n'a, d'une part, pas conscience des groupements (milliers, centaines, dizaines…) sur lesquels elle est en train d'opérer et, d'autre part, ne sait pas interpréter « 17 < 37 » comme : « en 17 (centaines), il y va 0 fois 37 ».
Erreur commise par Kévin
Remarque
Kévin illustre bien la difficulté, dans la version « concise », à bien optimiser les quotients partiels et la nécessité, caractéristique de cette opération, « de rebrousser calcul » parfois…
La seule erreur de Kévin consiste à trouver un quotient inférieur d'une unité à celui attendu, avec un reste supérieur au diviseur.
On observe que Kévin a, au cours de son calcul, dû réajuster plusieurs fois ses quotients partiels, qu'il a du mal à optimiser. Il sait reconsidérer le quotient partiel lorsque le multiple du diviseur est trop grand, mais ne semble pas se poser la question de savoir si le reste partiel obtenu est bien plus petit que le diviseur.
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