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Enseignement Les épreuves du CRPE

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Sujet

Première partie (13 points)

L'objet de ce problème est l'étude d'une pyramide en verre, destinée à être remplie de sable pour constituer un objet de décoration.
Cette pyramide est inscriptible dans un pavé droit, comme indiqué sur la figure ci-dessous.
Le pavé droit a pour dimensions : 9 cm de longueur, 9 cm de largeur et 12 cm de hauteur.

Les parties B. et C. sont indépendantes de la partie A.

A. Réalisation d'un patron de la pyramide

a) Calculer les longueurs DE et DG.

b) Quelle est la nature du triangle DGF ? du triangle DEF ? (On ne demande pas de justification.)

2. Tracer sur la copie (sans justification) un patron de cette pyramide à l'échelle 1/3.

La pyramide est remplie avec du sable de deux couleurs différentes : la partie inférieure avec du sable rouge et la partie supérieure avec du sable blanc.
Sur la figure ci-dessous, le point J indique la hauteur à laquelle s'arrête le sable rouge ; les deux couleurs de sable sont délimitées par le plan parallèle à la base de la pyramide DEFGH passant par le point J. La section est un quadrilatère JKLM où les points K, L, M appartiennent respectivement aux segments [DE], [DF] et [DG].
La pyramide DJKLM est une réduction de la pyramide DEFGH.

B. Étude d'un cas particulier

Dans cette partie, on donne JH = 2 cm.

1. Quelle est la nature du quadrilatère JKLM ? Justifier.

2. Calculer les longueurs JK et JM en justifiant les calculs.

3. Déterminer le volume B de sable blanc et le volume R de sable rouge contenus dans la pyramide.

Rappel : volume d'une pyramide = $\frac{1}{3}$ × aire de la base × hauteur

C. Étude du cas général

Dans cette partie, la hauteur JH de sable rouge est variable. On note x cette hauteur, exprimée en centimètre, et respectivement B(x) et R(x) les volumes de sable blanc et de sable rouge contenus dans la pyramide, exprimés en fonction de x et en centimètre cube.

1. Quelles sont les valeurs possibles pour x ?

On a tracé ci-après les représentations graphiques des fonctions B et R dans un repère du plan :

En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes :

a) Si la hauteur de sable rouge est 5 cm, quels sont les volumes respectifs de sable blanc et de sable rouge dans la pyramide ?

b) Si la hauteur de sable blanc est 5 cm, quels sont les volumes de sable blanc et de sable rouge dans la pyramide ?

c) Donner un encadrement au centimètre près de la hauteur de sable rouge pour laquelle les volumes des deux sables sont égaux.

a) Montrer que B(x) = 0,1875(12 − x)³.

b) En déduire les valeurs exactes des réponses aux questions C.2.a).

Deuxième partie (13 points)

Cette partie est constituée de quatre exercices indépendants.

Exercice 1

(d'après le manuel Triangles 3^e, Hatier)

Carole, partie en vacances 10 jours, a laissé le robinet du lavabo de la salle de bains entrouvert. Le débit de ce robinet était 3 litres par minute (L/min).
Dans la ville où habite Carole, le prix moyen de l'eau est 3,50 € le m³.
Calculer les conséquences financières de la négligence de Carole.

Exercice 2

Simon lance deux dés équilibrés à six faces, numérotées 1, 2, 3, 4, 5 et 6, puis il additionne les deux nombres obtenus. Il prétend qu'il a autant de chances d'obtenir une somme égale à 7, qu'une somme égale à 5. Est-ce exact ?

Exercice 3

Une petite entreprise emploie 7 personnes, dont 3 femmes.
Voici quelques informations sur le salaire mensuel des personnels :

Salaires des hommes : 1 250 € ; 1 400 € ; 1 600 € ; 3 200 €.
Salaires des femmes : salaire médian : 1 875 € ; salaire moyen : 1 700 € ; étendue des salaires : 1 000 €.

Le patron de l'entreprise veut embaucher une femme supplémentaire pour respecter la parité. Calculer le salaire qu'il doit verser à cette nouvelle recrue pour que les salaires moyens des hommes et des femmes soient égaux.

Exercice 4

Un fleuriste reçoit 12 tulipes et 18 roses pour faire des bouquets. Il souhaite utiliser toutes ses fleurs et composer des bouquets identiques (même nombre de roses et même nombre de tulipes). Quelles sont ses différentes possibilités ?

Troisième partie (14 points)

Cette partie est constituée de trois situations indépendantes.

Situation 1

Le problème ci-dessous a été donné à des élèves de cycle 3 en activité de recherche.

Dans une plaque de carton rectangulaire de largeur 50 cm et de longueur 60 cm, on découpe un rectangle dont la largeur est $\frac{3}{5}$ de la largeur de la plaque et la longueur est $\frac{3}{4}$ de la longueur de la plaque.
Calcule le périmètre et l'aire du rectangle obtenu.

1. Dans cet exercice, les fractions apparaissent-elles comme des nombres ou comme des opérateurs ? Justifier.

Le problème a été proposé à trois élèves, dont les productions sont données ci-dessous :

Eva

Jeanne

Maxime

a) Pour chacun de ces trois élèves, donner deux compétences qui semblent acquises dans le domaine « Grandeurs et mesures ».

b) Analyse de la production d'Eva : en quoi témoigne-t-elle d'une bonne compréhension de la notion de fraction malgré une erreur d'écriture ?

c) Analyse de la production de Maxime : en quoi son erreur d'écriture est-elle révélatrice d'une mauvaise compréhension de la notion de fraction ?

3. En préparant cette activité, le professeur a hésité entre trois couples de dimensions pour le rectangle de carton :

50 cm de largeur et 60 cm de longueur (dimensions finalement retenues) ;
10 cm de largeur et 16 cm de longueur ;
10 cm de largeur et 14 cm de longueur.

Argumenter l'intérêt et les difficultés éventuelles pour chacune de ces options.

Situation 2

L'exercice ci-dessous est proposé à des élèves d'une classe de CM2.


(d'après Vivre les maths CM2, Nathan, Programme 2008)

1. Citer deux prérequis dans le domaine de la géométrie nécessaires pour résoudre cet exercice.

Un élève propose la solution suivante :

120 − 28 = 92
2 × 18 = 36
2 × 10 = 20
36 + 20 = 56
92 − 56 = 36 ÷ 2 = 18
La hauteur de la boîte est de 18 cm.

a) Retrouver les différentes étapes de son raisonnement, en analysant ses résultats partiels.

b) Relever ses éventuelles erreurs ou oublis.

Situation 3

Lis le problème.
Emma et Maxime vendent des crêpes pour la kermesse de l'école.
5 crêpes coûtent 7 €.
10 crêpes coûtent donc 14 €.
Combien coûtent 15 crêpes ?
(d'après Vivre les maths CM2, Nathan, Programme 2008)

1. Quelle est la principale notion du programme sur laquelle cet exercice permet de revenir ?

2. Proposer trois méthodes possibles pour résoudre cet exercice en cycle 3 et, pour chacune, expliciter les propriétés relatives à cette notion qui ont été mobilisées.

Corrigé

Remarques

Dans ce qui suit, le texte en italique constitue des commentaires, que nous espérons formateurs ; il n'a pas à figurer sur une copie.
Nous donnons systématiquement un titre à chaque question, titre repris du sujet ou synthétisant le contenu de la question. Ceci n'est pas attendu de la part du candidat le jour de l'épreuve (même si le correcteur appréciera la lisibilité accrue de la copie qui en résulte) ; toutefois, il est profitable pour le candidat de faire cet exercice au moins mentalement, car cela lui permet d'analyser les questions et donc de prendre conscience de leur objectif.

Première partie

A. Réalisation d'un patron de la pyramide

a) Calcul des longueurs DE et DG
ABCDEFGH étant un pavé droit, la face ADHE est un rectangle. On en déduit que le triangle ADE est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore, appliqué à ce triangle, nous avons donc :
AD² + AE² = DE² d'où : 9² + 12² = DE² soit : DE² = 225 et donc : DE = $\sqrt{225}$ = 15.
Comme les faces ADHE et DCGH sont rectangulaires et de mêmes dimensions (autrement dit superposables), on a : DG = DE.
Conclusion : DE = DG = 15.

b) Nature des triangles DGF et DEF
ABCDEFGH étant un pavé droit, l'arête [GF] est orthogonale à la face (DCGH) et est donc perpendiculaire à toute droite de cette face passant par G. En particulier : (GF) $\perp$ (GD) et on en déduit que le triangle DGF est rectangle en G.
De même – par un raisonnement analogue –, le triangle DEF est rectangle en E.

Tracé du patron de la pyramide à l'échelle 1/3

Remarque

Les dimensions des arêtes du pavé droit, lors du tracé du patron à l'échelle 1/3, vont être de : 9 ÷ 3 = 3 cm et 12 ÷ 3 = 4 cm. Le candidat doit lire sur le sujet (partie grisée) que la pyramide à laquelle on s'intéresse est DEFGH. Ses faces sont :

le carré EFGH de côté 9 cm (3 cm sur le patron) ;
les triangles DHE et DHG, rectangles en H et superposables, dont les côtés de l'angle droit mesurent 9 et 12 cm (3 et 4 sur le patron) ;
et les triangles DEF et DGF, rectangles respectivement en E et G, dont les côtés de l'angle droit mesurent 9 et 15 cm (3 et 5 sur le patron).

Ce travail d'analyse n'est pas exigé sur la copie, mais est nécessaire à la réalisation du (bon) patron.


On considérera que le côté d'un carreau mesure 1 cm.

B. Étude d'un cas particulier

Nature du quadrilatère JKLM
On sait que deux pyramides ont des faces de même nature, lorsque l'une est la réduction de l'autre.
Comme la pyramide DJKLM est une réduction de la pyramide DEFGH, leurs bases sont de même nature ; EFGH étant un carré, il en est de même pour JKLM.
Conclusion : JKLM est un carré.

Calcul des longueurs JK et JM

Remarque

Les longueurs JK et JM s'obtiennent à partir des longueurs HE et HG en multipliant ces dernières par le rapport de réduction permettant de passer de la pyramide DEFGH à la pyramide DJKLM. Ce rapport n'étant pas fourni, il faut le calculer à partir de deux longueurs correspondantes et connues.

J $\in$ [DH] donc : DJ + JH = DH ; on en déduit : DJ = DH − JH = 12 − 2 = 10 cm.
Le rapport de réduction entre la pyramide DEFGH et la pyramide DJKLM est : $\frac{\mathrm{DJ}}{\mathrm{DH}}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$ .
On en déduit que : JK = $\frac{5}{6}$ × HE = $\frac{5}{6}$ × 9 = 7,5 cm.
Comme JKLM est un carré, JM = JK.
Conclusion : JK = JM = 7,5 cm.

Remarque

Comme les droites (JK) et (HE) sont parallèles et que les droites (JH) et (KE) sont sécantes en D, on peut aussi calculer JK en utilisant le théorème de Thalès.

Volumes B de sable blanc et R de sable rouge
Le volume B de sable blanc correspond au volume de la pyramide DJKLM.
D'où : B = $\frac{1}{3}$ × A_JKLM × h = $\frac{1}{3}$ × JK² × DJ = $\frac{1}{3}$ × 7,5² × 10 = 187,5 cm³.
Le volume R de sable rouge correspond à la différence entre le volume de la pyramide DEFGH et le volume de la pyramide DJKLM (qui correspond au volume de sable blanc). La pyramide DJKLM étant une réduction de la pyramide DEFGH dans le rapport $\frac{5}{6}$ , la pyramide DEFGH est un agrandissement de DJKLM dans le rapport $\frac{6}{5}$ . Son volume s'obtient donc en multipliant le volume de DJKLM par $\left(\frac{6}{5}\right)^{3}$ .
On a finalement : R = $\left(\frac{6}{5}\right)^{3}$ × B − B = $\left(\frac{216}{125}-1\right)$ × B = $\left(\frac{216-125}{125}\right)$ × B = $\frac{91}{125}$ × B = $\frac{91}{125}$ × 187,5 = 136,5 cm³.
Conclusion : B = 187,5 cm³ et R = 136,5 cm³.

Remarque

Il était aussi possible de calculer le volume de la pyramide DEFGH, puis celui de DJKLM en appliquant le coefficient $\left(\frac{5}{6}\right)^{3}$ , ce qui fournit B, puis en déduire R en opérant la différence.

C. Étude du cas général

Valeurs possibles pour x
Les valeurs possibles pour x se situent entre 0, qui correspond à J = H et donc à une pyramide DEFGH remplie de sable blanc, et 12, qui correspond à J = D et donc à une pyramide DEFGH remplie de sable rouge.
Conclusion : 0 x 12.

Lectures graphiques

a) Volumes de sable blanc et rouge lorsque la hauteur de sable rouge est 5 cm
Le point d'abscisse 5 se trouvant sur la courbe y = B(x) a une ordonnée d'environ 65 et le point d'abscisse 5 se trouvant sur la courbe y = R(x) a une ordonnée d'environ 260.
On en déduit que, pour une hauteur de sable rouge de 5 cm, il y a environ 65 cm³ de sable blanc et 260 cm³ de sable rouge.

b) Volumes de sable blanc et rouge lorsque la hauteur de sable blanc est 5 cm
Si la hauteur de sable blanc est de 5 cm, cela signifie que la hauteur de sable rouge est : 12 − 5 = 7 cm.
Le point d'abscisse 7 se trouvant sur la courbe y = B(x) a une ordonnée d'environ 23 et le point d'abscisse 7 se trouvant sur la courbe y = R(x) a une ordonnée d'environ 300.
On en déduit que, pour une hauteur de sable blanc de 5 cm, il y a environ 23 cm³ de sable blanc et 300 cm³ de sable rouge.

c) Encadrement de la hauteur de sable rouge correspondant à des volumes R et B égaux
La hauteur de sable rouge correspondant à B = R s'obtient en lisant l'abscisse du point d'intersection des deux courbes, soit environ 2,5 cm.
Attention : on demande un encadrement au centimètre près.
Conclusion : les volumes des deux sables sont égaux pour une hauteur de sable rouge comprise entre 2 et 3 cm.

a) Montrons que : B(x) = 0,1875(12 − x)³.
On reprend les calculs des questions B.2. et 3. avec DJ = 12 − x.
Le rapport de réduction entre la pyramide DEFGH et la pyramide DJKLM est : $\frac{\mathrm{DJ}}{\mathrm{DH}}=\frac{12-x}{12}$ .
Le volume B(x) de sable blanc correspond au volume de la pyramide DJKLM.
D'où : B(x) = $\left(\frac{12-x}{12}\right)^{3}$ × V_DEFGH = $\left(\frac{12-x}{12}\right)^{3}$ × $\frac{1}{3}$ × 9 × 9 × 12 = 0,1875(12 − x)³.

b) Valeurs exactes en réponse aux questions C.2.a)
Pour x = 5, la formule ci-dessus donne :
B(5) = 0,1875(12 − 5)³ = 0,1875 × 7³ = 64,3125 cm³.
On en déduit : R(5) = V_DEFGH − B(5) = $\frac{1}{3}$ × 12 × 9 × 9 = 324 − 64,3125 = 259,6875 cm³.

Deuxième partie

Exercice 1

Calculons la durée d'écoulement de l'eau :
Comme : 1 j = 24 h et que : 1 h = 60 min, 10 j = 10 × 24 × 60 = 14 400 min.
On en déduit la quantité d'eau écoulée :
Le débit étant de 3 L/min, en 14 400 min, il s'est écoulé : 3 × 14 400 = 43 200 L d'eau.
Or 1 m³ = 1 000 L, donc 43 200 L = 43,2 m³.
Le coût de la négligence de Carole est donc : 3,50 × 43,2 = 151,20 €.

Exercice 2

Remarque

La représentation la plus simple et rapide des issues possibles est certainement le tableau à double entrée, mais l'on pouvait aussi envisager de réaliser un arbre de choix ou de lister les décompositions additives de 5 et 7. L'avantage des deux premières procédures est de fournir toutes les issues de façon exhaustive et systématique ; leur inconvénient étant que, la question ne portant que sur les issues « obtenir 7 » et « obtenir 5 », elles sont plus longues à mettre en œuvre que la troisième procédure, qui ne s'intéresse qu'aux informations utiles à la réponse… Nous proposons ici la première et la troisième procédure.

• On remarque tout d'abord que, les dés étant dits « équilibrés », nous nous trouvons dans une situation d'équiprobabilité pour le tirage.

• Réalisons un tableau reprenant les deux tirages possibles et la somme correspondante :

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Sur les 36 cases du tableau, 4 correspondent à la somme « 5 » et 6 correspondent à la somme « 7 ». Il y a donc une plus grande probabilité d'obtenir la somme « 7 » que d'obtenir la somme « 5 » (respectivement 6/36 et 5/36).
Conclusion : Simon a tort.

• Autre procédure :
On observe que les décompositions additives de 5 sont, en utilisant les nombres de 1 à 6 et en tenant compte de l'ordre : 1 + 4, 2 + 3, 3 + 2 et 4 + 1.
Alors que, pour 7, nous avons : 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 et 6 + 1.
Comme il y a plus de décompositions de 7 que de 5, dans les conditions de l'expérience, la probabilité d'avoir une somme de 7 est supérieure à celle d'avoir une somme de 5.
Conclusion : Simon a tort.

Exercice 3

Comme il y aura, après embauche, autant d'hommes que de femmes, les salaires moyens seront identiques si et seulement si le total des salaires perçus par les femmes est égal au total des salaires perçus par les hommes.
Les quatre hommes perçoivent ensemble : 1 250 + 1 400 + 1 600 + 3 200 = 7 450 €.
Les trois femmes perçoivent ensemble : 1 700 × 3 = 5 100 €.

Remarque

Ne pas oublier que la moyenne correspond au total des valeurs relevées divisé par le nombre de relevés, et donc que le total s'obtient en multipliant la moyenne par le nombre de relevés. On applique ici cette propriété aux salaires des femmes.

7 450 − 5 100 = 2 350.
Les salaires moyens seront égaux si et seulement si la quatrième femme embauchée perçoit 2 350 € mensuels.

Exercice 4

Comme toutes les tulipes vont être utilisées, le nombre de bouquets doit être un diviseur de 12. De même, le nombre de bouquets doit être un diviseur de 18 car toutes les roses vont être utilisées. Le nombre de bouquets est donc un diviseur commun à 12 et 18.
Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9 et 18.
Les diviseurs communs à 12 et 18 sont donc : 1, 2, 3 et 6.

Remarque

Attention à ne pas oublier le diviseur « trivial » : 1.
On peut trouver les diviseurs communs par des moyens plus « puissants » comme le calcul du plus grand commun diviseur (pgcd) et/ou la décomposition de 12 et 18 en produits de nombres premiers ; l'obtention des diviseurs par balayage mental des entiers successifs est suffisamment efficace et fiable ici.

Les différentes possibilités du fleuriste sont donc :

Nombre de bouquet(s)	Nombre de tulipes par bouquet	Nombre de roses par bouquet
1	12	18
2	6	9
3	4	6
6	2	3

Remarque

La question « Quelles sont ses différentes possibilités ? » est ambiguë : s'agit-il du nombre de bouquets ou également de leur composition ? Dans le doute, il vaut mieux donner également la composition des bouquets…

Troisième partie

Situation 1

Statut des fractions dans l'exercice
Dans cet exercice, les élèves sont amenés à interpréter $\frac{3}{5}$ comme 3 × $\frac{1}{5}$ et donc l'expression « $\frac{3}{5}$ de 50 cm » par la suite d'opérations : (50 ÷ 5) × 3. De même pour « $\frac{3}{4}$ de 60 ».
On peut donc considérer que les fractions apparaissent ici comme des opérateurs.

Remarque

Il faut noter toutefois que les élèves ne vont pas opérer sur les fractions, puisque les fractions sont interprétées comme opérations (division puis multiplication) sur des entiers.

a) Pour chacun des trois élèves, deux compétences semblant acquises dans le domaine « Grandeurs et mesures »

Eva	Jeanne	Maxime
– Sait quelles sont les opérations à effectuer pour calculer le périmètre d'un rectangle. – Sait quelles sont les opérations à effectuer pour calculer l'aire d'un rectangle.	– Sait obtenir le périmètre d'un rectangle par décompte de segments unités, avec une réserve (de taille) : les segments unités utilisés pour le décompte ne sont pas tous de même longueur. Peut-on alors considérer que cette compétence est acquise ? comment faire sinon pour répondre à l'injonction du sujet de fournir deux compétences par élève* ??* – Sait obtenir l'aire d'un rectangle par pavage.	– Sait quelles sont les opérations à effectuer pour calculer le périmètre d'un rectangle. – Sait quelles sont les opérations à effectuer pour calculer l'aire d'un rectangle.

b) Analyse de la production d'Eva
Eva partage équitablement 60 en quatre parts, partage dont témoigne l'écriture : 60 = 15 + 15 + 15 + 15. Elle additionne ensuite trois de ces parts, pour obtenir 45. Elle a donc correctement interprété de façon opératoire la fraction $\frac{3}{4}$ . De même pour $\frac{3}{5}$ et le calcul de « $\frac{3}{5}$ de 50 ».

c) Analyse de la production de Maxime
Maxime interprète les fractions comme des nombres décimaux dont la partie entière serait le numérateur et la partie décimale le dénominateur ; pour preuve son écriture de $\frac{3}{5}$ comme 3,5 et de $\frac{3}{4}$ comme 3,4.

Intérêt et difficultés éventuelles pour les choix proposés de dimensions du rectangle

• Rectangle mesurant 50 cm de largeur et 60 cm de longueur
Calculer les 3/5 est assez aisé parce que le résultat est entier et que seules les tables de multiplication connues de 5 et de 3 sont mobilisées. Pour le calcul des 3/4 de 60, le résultat est également entier mais 60 n'est pas dans la table de 4 ; l'élève doit donc soit décomposer 60 (en 40 + 20 par exemple), soit poser la division, ce qui représente une (petite) difficulté supplémentaire.
Une difficulté supplémentaire (mais n'est-ce pas aussi un intérêt pour le maître ?) est que la situation ne peut être représentée en taille réelle, ce qui ne permet pas à l'élève de valider sa réponse par le dessin et des mesurages.
L'intérêt de ce choix est donc de ne pas confronter les élèves à des difficultés opératoires trop importantes tout en empêchant toute procédure autre que calculatoire, l'enjeu de l'activité étant le travail sur le sens des fractions et les notions de périmètre et d'aire (dont on peut penser qu'elles sont ici réinvesties).

• Rectangle mesurant 10 cm de largeur et 16 cm de longueur
10 (resp. 16) est dans la table de 5 (resp. 4) et ce sont des multiples familiers ; le calcul des « 3/5 de 10 » et des « 3/4 de 10 » en est donc grandement facilité. Par ailleurs, une représentation du rectangle en taille réelle est possible.

• Rectangle mesurant 10 cm de largeur et 14 cm de longueur
Si la représentation du rectangle en vraie grandeur est possible, l'obtention de « $\frac{3}{4}$ de la longueur » est beaucoup plus complexe : 14 n'est pas dans la table de 4 et le résultat est semi-entier, ce qui demande à l'élève de savoir opérer sur des décimaux ou sur des « entiers et demi ». Il y a donc là une source de difficulté supplémentaire pour l'élève.

Situation 2

Deux prérequis nécessaires dans le domaine de la géométrie
Pour résoudre cet exercice, les élèves doivent savoir que :

un pavé droit a six faces, deux à deux parallèles et superposables ;
tout segment joignant deux côtés opposés d'une face et parallèle aux deux autres côtés de la face a même longueur que les côtés auxquels il est parallèle (ces segments sont ici matérialisés par la ficelle).

Remarque

La connaissance de la notion de volume et la capacité à calculer le volume d'un pavé droit relèvent du domaine « Grandeurs et mesures » des programmes.

Analyse de production d'élève

a) Les étapes du raisonnement
L'élève commence par soustraire à la longueur totale de la ficelle la longueur de ficelle utilisée pour faire le nœud ; il obtient ainsi la longueur de ficelle servant à entourer la boîte.
Il calcule ensuite le double des deux dimensions de la boîte fournies, qu'il additionne entre eux ; ce qui lui permet d'obtenir la longueur de ficelle correspondant aux dimensions connues.
Il retranche ce dernier résultat de la longueur de ficelle servant à entourer la boîte et divise la différence par deux, ce qui lui fournit (pense-t-il) la dimension jusqu'alors inconnue du pavé droit.
Ses résultats partiels sont tous justes d'un point de vue calculatoire.

b) Les erreurs ou oublis
On peut relever d'une part une erreur d'écriture : « 92 − 56 = 36 ÷ 2 = 18 », qui correspond à la transcription d'un calcul oralisé.
D'autre part, l'élève a commis une erreur de représentation de la situation, puisqu'il n'envisage que deux segments verticaux de ficelle, au lieu de quatre, ce qu'il traduit par sa division de 36 par 2 (au lieu de 4).
Par ailleurs, la résolution n'est pas aboutie, puisque l'élève s'arrête lorsqu'il obtient la hauteur de la boîte, mais ne calcule pas le volume de cette dernière (alors qu'il a tous les éléments numériques lui permettant de le faire).

Situation 3

Principale notion du programme abordée
La principale notion sur laquelle cet exercice permet de revenir est la proportionnalité.

Trois méthodes de résolution et propriétés mobilisées

• 1^re méthode
On observe que « 15 crêpes, c'est 5 crêpes plus 10 crêpes » et que le coût de 15 crêpes est donc la somme du coût de 5 crêpes et du coût de 10 crêpes, soit : 7 + 14 = 21 €.
Propriété utilisée : linéarité additive.

• 2^e méthode
On observe que « 15 crêpes, c'est 3 fois plus que 5 crêpes » et que le coût de 15 crêpes est donc 3 fois celui de 5 crêpes, soit : 7 × 3 = 21 €.
Propriété utilisée : linéarité multiplicative (appelée « homogénéité » dans les programmes de collège).

• 3^e méthode : règle de trois
Puisque 10 crêpes coûtent 14 €, une crêpe coûte dix fois moins, soit : 14 ÷ 10 = 1,40 € ; 15 crêpes coûtent donc 15 × 1,40, soit : 21 €.
Propriété utilisée : linéarité multiplicative (avec passage à la valeur unitaire).