Épreuve d'admissibilité, avril 2015, groupement académique 3

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Sujet

Première partie (13 points)
Un professeur veut préparer le matériel nécessaire pour mener une activité de découverte des formes géométriques. Il souhaite proposer aux élèves de fabriquer des figures comme ci-dessous, par découpage, collage puis coloriage. Il voudrait que chacune de ces figures, qui évoque une tête, ait un « œil » en forme de carré et un « œil » en forme de triangle équilatéral.
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Figure 1
Figure 1
Il dispose de feuilles cartonnées dans lesquelles il découpera des carrés. Dans ces carrés, les élèves réaliseront les différents découpages requis.
A. Étude de la situation concrète
La documentation dont il dispose propose de découper deux paires d'yeux dans des carrés de 7 cm de côté selon le schéma approximatif suivant :
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Figure 2
Figure 2
dans lequel les figures hachurées sont des carrés de 3 cm de côté et des triangles équilatéraux de 4 cm de côté.
1. 
a) Vérifier qu'il est possible de découper dans un carré de 7 cm de côté deux paires d'yeux formées d'un carré de côté 3 cm et d'un triangle équilatéral de côté 4 cm, dans la disposition de la Figure 2.
Dans cette question, on pourra utiliser le résultat suivant :
La mesure h de la hauteur d'un triangle équilatéral de côté de mesure a est : h=\frac{a\sqrt{3}}{2}.

b) Le professeur constate que les carrés et les triangles équilatéraux que les élèves auront à découper ont le même périmètre. Ont-ils la même aire ?
2. 
Le professeur se demande s'il est possible de choisir d'autres dimensions pour les yeux de telle sorte qu'on puisse les découper dans des feuilles carrées de 7 cm de côté dans la disposition de la Figure 2, le carré et le triangle équilatéral ayant le même périmètre.
Pour cela, il appelle x le côté du carré hachuré et y celui du triangle équilatéral hachuré.
a) Expliquer pourquoi si x et y sont solutions du problème, alors ils vérifient le système suivant :
\left\{\begin{array}{r c l} 4x-3y=0\\ x+y=7\\ 2x\leq7\\ y\sqrt{3}\leq7 \end{array}\right.
b) Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les fonctions f et g définies par :
f(x) = \frac{4}{3}x et g(x) = 7 − x.
Expliquer comment cette représentation graphique peut permettre de répondre au problème que se pose le professeur.
c) Résoudre par le calcul le système \left\{\begin{array}{r c l} 4x-3y=0\\ x+y=7 \end{array}\right. et en déduire la solution au problème.
3. 
Vingt-cinq élèves doivent participer à cette activité.
Le professeur dispose de feuilles cartonnées de format A3, de dimensions, en mm, 420 × 297. Il veut que chaque élève dispose d'un carré de 14 cm de côté, dans lequel il découpera un disque de rayon 7 cm pour faire la tête, et d'un rectangle de dimensions 7 cm sur 3,5 cm, dans lequel il découpera une paire d'yeux.
Quel nombre minimal de feuilles cartonnées de format A3 doit prévoir le professeur ?
B. Démonstration de résultats mathématiques
1. 
Démontrer le résultat rappelé à la question A.1.a) :
La mesure h de la hauteur d'un triangle équilatéral de côté de mesure a est : h=\frac{a\sqrt{3}}{2}.

2. 
Dans cette question, on considère un carré de côté x et un triangle équilatéral de côté y avec y = \frac{4}{3}x.
a) Vérifier que ce carré et ce triangle équilatéral ont le même périmètre.
b) Exprimer l'aire A1 du carré et l'aire A2 du triangle équilatéral en fonction de x.
En déduire le rapport \frac{A_{2}}{A_{1}}.
c) Expliquer pourquoi les réponses aux questions a) et b) ci-dessus permettent de retrouver le résultat de la question A.1.b).
Deuxième partie (13 points)
Cette partie est constituée de quatre exercices indépendants.
Exercice 1
Un vététiste fait chaque semaine une sortie depuis son domicile situé à une altitude de 500 m, jusqu'à un col culminant à une altitude de 1 350 m. Il a le choix entre emprunter une route goudronnée de 27 km ou une piste en terre de 28 km.
1. La semaine dernière, il a décidé de prendre la route goudronnée. En partant à 8 h 10 min, il est arrivé au col à 9 h 40 min. À quelle vitesse moyenne a-t-il roulé ?
2. Cette semaine, il a pris la piste en terre. Il constate qu'il a mis 1 h 45 min pour effectuer ce trajet. De quel pourcentage sa vitesse moyenne a-t-elle diminué ?
Exercice 2
Pour colorer l'émail des objets qu'il fabrique, un artisan utilise des oxydes métalliques. Pour peser certains de ces oxydes métalliques, il utilise un peson à ressort constitué d'un ressort, d'une réglette et d'un crochet pour accrocher les masses à mesurer.
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Exemple de peson à ressort
Exemple de peson à ressort
Le peson est suspendu par l'une de ses extrémités. Lorsqu'on y accroche une masse, son ressort s'allonge.
Au repos, le ressort du peson a pour longueur 14 cm.
Avec une masse de 10 g, le ressort a pour longueur 14,5 cm.
Chaque fois que l'on ajoute 10 g à une masse déjà suspendue, le ressort s'allonge de 0,5 cm.
1. Quelle longueur mesurera le ressort si on suspend une masse de 70 g ?
2. L'artisan constate que le ressort mesure 28 cm. Quelle masse a-t-elle été suspendue au ressort ?
3. La longueur du ressort est-elle proportionnelle à la masse suspendue ? Justifier votre réponse.
Exercice 3
Les questions 1. et 2. sont indépendantes. Toutes les réponses devront être justifiées.
1. On considère un nombre rationnel \frac{p}{q}, où p et q sont des nombres entiers, q étant non nul.
Ce nombre a pour valeur approchée par excès à 10−3 près 1,118.
On sait de plus que q = 1 789.
Quelle(s) est (sont) la (les) valeur(s) possible(s) pour p ?
2. 
L'objectif de cette question est d'établir un résultat pour la comparaison de deux nombres ayant pour écritures fractionnaires \frac{n-1}{n} et \frac{n}{n+1}n est un nombre entier naturel non nul.
a) Comparer \frac{1}{2} et \frac{2}{3} ; \frac{12}{13} et \frac{13}{14} ; \frac{176}{177} et \frac{177}{178}. Quel résultat général peut-on conjecturer ?
b) Démontrer ce résultat.
c) Comparer les nombres \frac{987\,654\,322}{987\,654\,323} et \frac{987\,654\,321}{987\,654\,322} sans effectuer de calcul.
Exercice 4
On joue à un jeu nécessitant deux dés différents.
Le premier dé est un tétraèdre régulier à 4 faces ; une face est rouge, une est bleue et les deux autres sont jaunes.
Le deuxième est un dé cubique à 6 faces numérotées de 1 à 6.
On suppose les deux dés bien équilibrés.
On lance en premier le dé tétraédrique et on note la couleur de la face sur laquelle il repose. Puis on lance le dé à 6 faces et on note le numéro porté sur la face de dessus.
1. Calculer la probabilité d'obtenir la couleur rouge sur le dé tétraédrique et 4 sur l'autre dé.
2. Calculer la probabilité d'obtenir la couleur jaune sur le dé tétraédrique et un nombre impair sur l'autre dé.
Troisième partie (14 points)
Cette partie est constituée de quatre situations indépendantes.
Situation 1
L'exercice ci-dessous a été donné en évaluation à des élèves de CM1.
Une école organise une sortie de fin d'année. Pour se déplacer, le directeur loue des bus qui peuvent accueillir 42 passagers chacun. Il y a 157 élèves dans l'école et 20 adultes les accompagneront. Combien faut-il réserver de bus ?

1. Quelle opération mathématique est l'enjeu de ce problème ?
2. Dans l'annexe, sont présentées les productions de quatre élèves A, B, C et D. Pour chacune d'elles, expliquer la procédure utilisée.
3. Un autre élève de la classe a effectué la division de 157 par 20.
À quelle question ce calcul pourrait-il répondre ?
4. La situation du problème de départ et celle de la question 3. illustrent deux sens différents de la division. Les expliciter.
Situation 2
L'exercice ci-dessous a été donné en évaluation à des élèves de CM1.
J'avais 28 litres d'essence. J'ai rempli de façon identique 8 bidons de même contenance en utilisant toute l'essence. Combien ai-je mis de litres dans chaque bidon ?

1. Quelle opération permet de répondre à cette question ?
2. Dans l'annexe, sont présentées les productions de trois élèves E, F et G. Pour chacune de ces productions, expliquer la procédure utilisée.
Situation 3
Voici un autre exercice proposé à des élèves de CM2.
Il faut exactement 28 litres d'essence pour remplir complètement 8 bidons de contenance identique. Combien peut-on remplir de bidons avec 7 litres d'essence ?

1. De quelle(s) notion(s) mathématique(s) relève cet exercice ?
2. Proposer deux résolutions différentes de cet exercice qui peuvent être attendues d'un élève de CM2, en explicitant les raisonnements sous-jacents.
Situation 4
L'exercice suivant a été donné à des élèves de l'école primaire.
On découpe un ruban mesurant 137,6 cm en 8 morceaux de même longueur. Combien mesure chacun des morceaux ?

1. Quel sens de la division illustre-t-il ?
2. Proposer une procédure pour résoudre ce problème permettant de se ramener à une opération sur les nombres entiers.
3. Proposer une procédure de calcul qui peut être attendue d'un élève de CM2 pour effectuer la division 137,6 ÷ 8, sans se ramener à une opération sur les entiers.
4. Le quotient d'un nombre décimal par 8 est-il toujours un nombre décimal ? Justifier.
Annexe
Situation 1
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Élève A
Élève A
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Élève B
Élève B
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Élève C
Élève C
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Élève D
Élève D
Situation 2
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Élève E
Élève E
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Élève F
Élève F
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Élève G
Élève G

Corrigé

Remarques
Dans ce qui suit, le texte en italique constitue des commentaires, que nous espérons formateurs ; il n'a pas à figurer sur une copie.
Nous donnons systématiquement un titre à chaque question, titre repris du sujet ou synthétisant le contenu de la question. Ceci n'est pas attendu de la part du candidat le jour de l'épreuve (même si le correcteur appréciera la lisibilité accrue de la copie qui en résulte) ; toutefois, il est profitable pour le candidat de faire cet exercice au moins mentalement, car cela lui permet d'analyser les questions et donc de prendre conscience de leur objectif.
Première partie
Remarque
Le sujet commet par endroits l'abus de langage usuel consistant à désigner par « côté », « longueur » ou « largeur » la « mesure du côté », « la mesure de la longueur » ou « la mesure de la largeur »… Nous ferons (parfois) de même.
A. Étude de la situation concrète
1. 
a) Vérifions que la figure proposée est réalisable.
D'après la formule fournie par le sujet, la hauteur d'un triangle équilatéral de côté 4 cm est :
h=\frac{4\sqrt{3}}{2} d'où 2h = 4\sqrt{3}\approx 6,93 < 7.
Par ailleurs, 2 × 3 < 7 et 3 + 4 = 7. La disposition proposée permet donc de découper deux paires d'yeux composées d'un carré de côté mesurant 3 cm et d'un triangle équilatéral de côté mesurant 4 cm dans un carré de côté mesurant 7 cm.
b) Comparons les aires des triangles et des carrés.
L'aire d'un carré de côté 3 cm est : 32 = 9 cm2.
L'aire d'un triangle équilatéral de côté 4 cm est :
\frac{b\times h}{2}=\frac{4\times4\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}\neq9.
Les carrés et les triangles équilatéraux n'ont donc pas la même aire.
2. 
a) Système d'équations rendant compte du problème
Remarque
On peut se demander quel est l'intérêt de la question !
En effet, si « dans la disposition de la Figure 2 » doit être compris comme « la somme du côté du carré et du côté du triangle équilatéral devant être égale à 7 cm », il est évident que la solution proposée est la seule qui garantisse l'égalité des périmètres des deux figures. En effet, à somme des côtés égale, toute modification des dimensions respectives du carré et du triangle équilatéral (augmentation de l'un et diminution égale de l'autre) entraîne une modification des périmètres (augmentation pour l'un, diminution pour l'autre) ; les périmètres ne seront donc plus égaux.
Ne vaudrait-il pas mieux privilégier une saine réflexion que l'emploi d'outils algébriques certes puissants, mais inutiles ici ?
Soit x la mesure de la longueur du côté du carré hachuré et y celle du triangle équilatéral hachuré.
\Rightarrow On peut disposer deux carrés côte à côte le long d'un côté du carton si et seulement si : 2x inférieur ou égal 7 (1).
\Rightarrow On peut disposer un carré et un triangle équilatéral côte à côte le long d'un côté du carton sans espace libre si et seulement si : x + y = 7 (2).
\Rightarrow On peut disposer deux triangles équilatéraux en vis-à-vis sur le carton si et seulement si : 2\times\frac{y\sqrt{3}}{2}\leq7 soit : y\sqrt{3}\leq7 (3).
\Rightarrow Le carré et le triangle hachurés ont même périmètre si et seulement si : 4x = 3y soit : 4x − 3y = 0 (4).
x et y doivent donc vérifier simultanément les quatre équations (1), (2), (3) et (4), c'est-à-dire le système :
\left\{\begin{array}{r c l} 4x-3y=0\\ x+y=7\\ 2x\leq7\\ y\sqrt{3}\leq7 \end{array}\right..
Remarque
La description des positions des figures sur le carton n'est mathématiquement pas satisfaisante car elle n'explicite pas l'orientation des figures sur le carton. Une telle explicitation n'était sûrement pas attendue, la référence au « schéma approximatif » permettant de lever les ambiguïtés…
b) Résolution graphique du problème
4x − 3y = 0 si et seulement si y = f(x) ; et x + y = 7 si et seulement y = g(x).
La lecture graphique des coordonnées du point d'intersection des courbes représentatives de f et g permet donc de trouver une valeur approchée des valeurs de x et y vérifiant les deux premières équations du système de la question précédente. Après vérification que les valeurs trouvées sont bien telles que y\sqrt{3}\leq7 et 2x inférieur ou égal 7 (ce qui est trivialement le cas), on peut donc répondre (par des valeurs approchées) au problème que se pose le professeur.
c) Résolution algébrique
\left\{\begin{array}{r c l} 4x-3y=0\\ x+y=7\\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{r c l} 4(7-y)-3y=0\\ x=7-y\\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{r c l} 28-7y=0\\ x=7-y\\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{r c l} y=4\\ x=3\\ \end{array}\right.
La (seule) solution au problème est donc bien celle trouvée à la question 1. : le côté du carré doit mesurer 3 cm et le côté du triangle équilatéral doit mesurer 4 cm.
3. 
Nombre minimal de feuilles de format A3 à prévoir
L'enseignant veut découper 25 carrés de côté 14 cm et 25 rectangles de longueur 7 cm et de largeur 3,5 cm dans des feuilles rectangulaires de 42 cm de long et 29,7 cm de large.
On remarque qu'avec un carré de côté 14 cm on peut obtenir exactement 8 rectangles aux dimensions souhaitées.
Par ailleurs, 42 = 3 × 14 et 29,7 = 2 × 14 + 1,7.
On peut donc découper exactement 6 carrés dans une feuille A3 (carrés que l'on peut éventuellement subdiviser en huit rectangles) ; et la chute, de dimensions 42 cm sur 1,7 cm, ne permet pas de découper de rectangles.
Les rectangles que veut découper le maître correspondent à 4 carrés (avec une chute) car 25 = 3 × 8 + 1 ; il lui faut donc un nombre de feuilles permettant de découper 29 carrés.
Or 4 × 6 < 29 < 5 × 6.
Le maître va avoir besoin d'au moins 5 feuilles de papier format A3.
Remarque
Un raisonnement fondé uniquement sur les aires serait ici erroné. En effet, l'aire totale des figures à découper est 25 × 142 + 25 × 3,5 × 7 = 5 512,5 cm2 ; or un rectangle de 10 m de long et 6 cm de large et donc d'aire suffisante (soit 6 000 cm2) ne permettrait pas de découper ne serait-ce qu'un seul carré aux dimensions souhaitées… La condition sur l'aire est nécessaire, mais non suffisante.
B. Démonstration de résultats mathématiques
1. 
Hauteur d'un triangle équilatéral connaissant son côté
Soit a la mesure du côté d'un triangle équilatéral et h la mesure de sa hauteur.
Dans un triangle équilatéral, les hauteurs sont aussi des médianes. Le triangle équilatéral est
donc partagé par une quelconque de ses hauteurs en deux triangles rectangles isométriques dont l'hypoténuse mesure a et les côtés de l'angle droit h et \frac{a}{2}.
En appliquant le théorème de Pythagore à l'un de ces triangles, il vient :
a^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+h^{2} d'où h^{2}=a^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=a^{2}-\frac{a^{2}}{4}=\frac{3a^{2}}{4} et donc h = \mathbf{\frac{a\sqrt{3}}{2}}.
2. 
Considérons un carré de côté x et un triangle équilatéral de côté y = \mathbf{\frac{4}{3}}x.
a) Vérifions que le carré et le triangle équilatéral ont même périmètre.
Le périmètre du carré est 4x, celui du triangle est 3 × \frac{4}{3}x, soit 4x. Les deux figures ont bien le même périmètre.
b) Aire A1 du carré et aire A2 du triangle équilatéral en fonction de x ; rapport \mathbf{\frac{A_{2}}{A_{1}}}
A1 = x2 et A2 = \frac{base\times hauteur}{2}=\frac{y\times\frac{y\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{y^{2}\sqrt{3}}{4}=\left(\frac{4}{3}x\right)^{2} \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{4\sqrt{3}}{9}x^{2}.
Le rapport \frac{A_{2}}{A_{1}} vaut donc \frac{4\sqrt{3}}{9}.
c) Retrouvons le résultat de la question A.1.b).
Si x = 3 cm et y = 4 cm, ce qui est le cas à la question 1., alors y = \frac{4}{3}x et la question B.2.a) nous permet de dire que les deux figures ont même périmètre. La question B.2.b) nous permet de dire que les deux figures n'ont pas la même aire car : \frac{4\sqrt{3}}{9}\neq1.
On retrouve ainsi le résultat de la question A.1.b).
Deuxième partie
Exercice 1
1. 
Vitesse moyenne du vététiste
Le temps de parcours du vététiste est de : 9 h 40 min − 8 h 10 min = 1 h 30 min = 1,5 h.
La distance parcourue est de 27 km.
La vitesse moyenne du vététiste est donc : v1 = \mathbf{\frac{distance\ parcourue}{temps\ de\ parcours}} = \mathbf{\frac{27}{1,5}} = 18 km/h.
2. 
Pourcentage de diminution de la vitesse
Calculons la vitesse moyenne v2 du vététiste lorsqu'il prend la piste en terre. La distance parcourue est de 28 km et le temps de parcours est 1 h 45 min, soit 1,75 h.
Sa vitesse moyenne est donc : v2\frac{28}{1,75} = 16 km/h.
Le pourcentage de diminution de la vitesse est : \frac{v_{1}-v_{2}}{v_{1}}=\frac{18-16}{18}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}\approx 0,11.
La vitesse moyenne du vététiste a diminué d'environ 11 %.
Remarque
Lors du calcul de vitesse moyenne, il faut être attentif à exprimer les durées dans le système décimal et dans une seule unité, d'où des conversions du type : 1 h 45 min = 1 h + ¾ h = 1,75 h.
Exercice 2
1. 
Longueur du ressort pour une masse de 70 g
« Chaque fois que l'on ajoute 10 g à une masse déjà suspendue, le ressort s'allonge de 0,5 cm » indique que l'allongement du ressort est proportionnel à la masse accrochée.
70 g = 7 × 10 g et 7 × 0,5 cm = 3,5 cm.
Si on suspend une masse de 70 g, le ressort s'allongera de 3,5 cm. Or il mesure 14 cm au repos.
14 + 3,5 = 17,5. Par conséquent, si on suspend une masse de 70 g, la longueur du ressort sera de 17,5 cm.
2. 
Masse correspondant à une longueur du ressort de 28 cm
Si le ressort mesure 28 cm, c'est qu'il s'est allongé de 28 − 14 = 14 cm.
Or 14 cm = 28 × 0,5 cm et 28 × 10 g = 280 g.
On a accroché une masse de 280 g au ressort.
Remarque
Nous avons choisi d'utiliser la propriété de linéarité multiplicative pour traiter les deux questions précédentes ; il y avait d'autres procédures possibles, par exemple la règle de trois.
3. 
Relation entre la longueur du ressort et la masse suspendue
Ainsi que nous l'avons observé à la question 1., l'allongement du ressort est proportionnel à la masse accrochée, le rapport de proportionnalité étant : 0,5/10 = 0,05 (la masse étant exprimée en grammes et l'allongement en centimètres).
La longueur du ressort comprend sa longueur à vide, plus son allongement, autrement dit, si y représente la longueur, en cm, du ressort et x la masse, en g, qui y est accrochée, on a : y = 14 + 0,05x. Cette fonction n'est pas linéaire, donc la longueur du ressort n'est pas proportionnelle à la masse accrochée.
Remarque
Nous avons ici argumenté de façon générale en utilisant une caractérisation fonctionnelle de la proportionnalité. On pouvait argumenter par un contre-exemple : pour une masse de 70 g, le ressort mesure 17,5 cm (question 1.) ; or, pour une masse quadruple, à savoir 280 g, il mesure 28 cm (question 2.). 28 n'est pas le quadruple de 17,5, donc la longueur du ressort n'est pas proportionnelle à la masse qui y est accrochée.
Autre argument possible : si la longueur du ressort était proportionnelle à la masse, elle devrait être nulle lorsque la masse est nulle, ce qui n'est pas le cas puisque la longueur à vide du ressort est de 14 cm.
Exercice 3
1. 
Valeurs possibles pour p
La valeur approchée par excès à 10−3 près de \frac{p}{q} est 1,118, donc 1,117 < \frac{p}{q} inférieur ou égal 1,118. Comme q = 1 789, on en déduit : 1 998,313 < p inférieur ou égal 2 000,102.
Comme p est un nombre entier, les valeurs possibles pour p sont 1 999 et 2 000.
2. 
a) Comparaison de fractions et conjecture
\frac{1}{2}=\frac{3}{6} et \frac{2}{3}=\frac{4}{6}, or 3 < 4 donc \mathbf{\frac{1}{2}} < \mathbf{\frac{2}{3}}.
\frac{12}{13}=\frac{168}{13\times14} et \frac{13}{14}=\frac{169}{13\times14}, or 168 < 169 donc \mathbf{\frac{12}{13}} < \mathbf{\frac{13}{14}}.
\frac{176}{177}=\frac{31\,328}{177\times178} et \frac{177}{178}=\frac{31\,329}{177\times178}, or 31 328 < 31 329 donc \mathbf{\frac{176}{177}} < \mathbf{\frac{177}{178}}.
Au vu de ces résultats, on peut conjecturer que, pour tout entier naturel n non nul, on a : \mathbf{\frac{n-1}{n}} < \mathbf{\frac{n}{n+1}}.
b) Démonstration
Soit n un entier naturel non nul. Alors \frac{n-1}{n}=\frac{(n-1)(n+1)}{n(n+1)}=\frac{n^{2}-1}{n(n+1)} et \frac{n}{n+1}=\frac{n^{2}}{n(n+1)}, or n2 − 1 < n2, donc \mathbf{\frac{n-1}{n}} < \mathbf{\frac{n}{n+1}}.
c) Comparaison de \mathbf{\frac{987\,654\,322}{987\,654\,323}} et \mathbf{\frac{987\,654\,321}{987\,654\,322}} sans calcul
\frac{987\,654\,322}{987\,654\,323} et \frac{987\,654\,321}{987\,654\,322} sont de la forme \frac{n}{n+1} et \frac{n-1}{n} pour n = 987 654 322.
D'après ce qui précède, on a donc : \mathbf{\frac{987\,654\,322}{987\,654\,323}} > \mathbf{\frac{987\,654\,321}{987\,654\,322}}.
Exercice 4
1. 
Probabilité d'obtenir rouge sur le dé tétraédrique et 4 sur l'autre dé
Comme les deux dés sont bien équilibrés, chaque face a la même probabilité d'être obtenue. La probabilité d'un événement est donc le rapport \frac{nombre\ d'issues\ favorables}{nombre\ total\ d'issues}.
Soit E l'événement « obtenir une face rouge, puis le numéro 4 ». Notons p(R) la probabilité d'obtenir une face rouge et p(4) celle d'obtenir 4.
p(E) = p(R) × p(4) = \frac{1}{4}\times\frac{1}{6}\frac{1}{24}.
La probabilité d'obtenir la couleur rouge et le numéro 4 est \mathbf{\frac{1}{24}}.
2. 
Probabilité d'obtenir jaune sur le dé tétraédrique et un nombre impair sur l'autre dé
Soit E' l'événement « obtenir une face jaune, puis un nombre impair ». Notons p(J) la probabilité d'obtenir une face jaune et p(I) celle d'obtenir un nombre impair.
p(E') = p(J) × p(I) = \frac{2}{4}\times\frac{3}{6}\frac{1}{4}.
La probabilité d'obtenir la couleur jaune et un nombre impair est \mathbf{\frac{1}{4}}.
Troisième partie
Situation 1
1. 
Opération mathématique en jeu
L'enjeu de ce problème est la division euclidienne.
2. 
Procédure utilisée par chacun des quatre élèves
Élève A a calculé mentalement le nombre total de participants (157 + 20 = 177), puis a représenté les bus par des rectangles, dans lesquels il a dessiné 42 bâtons (un par passager) jusqu'à avoir représenté les 177 passagers. Il vérifie son résultat par retraits successifs de 42 en partant de 177 en posant les soustractions correspondantes.
Remarque
On ne sait pas s'il effectue à chaque fois une soustraction après avoir représenté un bus et ses passagers pour calculer le nombre de passagers restant à placer ou s'il effectue tous les calculs à la fin, en guise de vérification.
Élève B a posé l'addition correspondant au calcul du nombre total de passagers, puis a calculé des multiples successifs de 42 (3 fois, 4 fois, puis 5 fois 42) en posant les multiplications. Il s'arrête dès qu'il obtient un résultat strictement supérieur à 177 et conclut.
Élève C a posé l'addition correspondant au calcul du nombre total de passagers, puis la division de ce nombre (177) par 42. Il conclut correctement en ajoutant 1 au quotient, puisque le reste est non nul.
Élève D a représenté les bus par des rectangles au-dessus desquels il a écrit 42 (nombre de passagers par bus) et entre lesquels il effectue des additions itérées de 42 jusqu'à obtenir 168, dont il calcule mentalement le complément à 177, à savoir 9, ce qu'il matérialise par un nouveau rectangle (bus) surmonté du nombre 9. Il conclut correctement en comptant le nombre de bus matérialisés par des rectangles.
3. 
Question à laquelle répond le calcul 157 divisé par 20
Ce calcul pourrait répondre à la question suivante : « Les 20 adultes veulent se répartir les élèves pour constituer des groupes dont ils auront la charge. Combien chaque adulte aura-t-il d'élèves dans son groupe ? ».
Remarque
Cela dit, le partage équitable n'étant pas possible ici (reste non nul), les élèves auraient sûrement du mal à interpréter le reste… et à fournir une réponse, la solution n'étant pas unique.
4. 
Deux sens de la division illustrés par le problème de départ et la situation de la question 3.
• La situation du problème de départ illustre le sens « division-quotition » de la division : on connaît la valeur d'une part (42 personnes) et on cherche le nombre de parts (nombre de bus à prévoir).
• La situation du problème de la question 3. illustre le sens « division-partition » de la division : on connaît le nombre de parts (20 groupes) et on cherche la valeur d'une part (nombre d'enfants par groupe).
Situation 2
1. 
Opération permettant de répondre à la question
L'opération permettant de répondre à cette question est la division à quotient décimal.
2. 
Procédure utilisée par chacun des trois élèves
Élève E convertit 1 L en 1 000 mL, résultat dont il ne se sert pas. Il représente 28 unités (L) en graduant un segment de 0 à 28, puis dessine 8 groupes de 3 unités en les numérotant. Ce regroupement s'appuie sûrement sur une recherche du meilleur multiple de 8. Il subdivise ensuite les quatre segments-unité restants et « envoie » à l'aide d'une flèche chaque demi-unité sur un groupement, ce qu'il représente par l'addition « + ½ » ajoutée au-dessus des groupements d'unités. Il conclut correctement.
Élève F a dessiné un tableau à 8 colonnes (qui représentent les bidons) dans lesquelles il écrit des « 1 » représentant une distribution d'essence, litre par litre. Cette distribution semble être accompagnée d'un comptage car elle cesse à un total de 24, pour être remplacée par une distribution demi-litre par demi-litre, matérialisée par l'écriture de « ½ » dans les colonnes. La recherche du complément de 24 à 28 et le partage de ce dernier en 8 semblent avoir été gérés mentalement. Il conclut correctement.
Élève G pose la division avec quotient décimal et conclut.
Situation 3
1. 
Notion(s) mathématique(s) mobilisée(s)
Cet exercice relève principalement de la proportionnalité.
2. 
Deux méthodes de résolution possibles en CM2 et raisonnements sous-jacents
• 1re résolution possible : l'élève pose la division de 28 par 8 pour calculer la contenance d'un bidon, soit 3,5 L puis il observe que 7 est le double de 3,5 et conclut.
• 2e résolution possible : l'élève observe que 7 est le quart de 28 et que l'on peut donc remplir quatre fois moins de bidons avec 7 L qu'avec 28 L. Il calcule le quart de 8 et conclut.
Situation 4
1. 
Sens de la division illustré par l'exercice
L'exercice illustre le sens « division-partition » : on calcule la valeur d'une part (la longueur d'un morceau de ruban).
2. 
Procédure permettant de se ramener à un calcul sur les entiers
Pour ramener ce problème à une opération sur les entiers, il suffit d'exprimer la longueur du ruban en millimètres, soit 1 376 mm. On effectue alors la division de 1 376 par 8 pour obtenir le résultat, à savoir 172 mm.
3. 
Procédure de calcul possible au CM2, sans se ramener à un calcul sur les entiers
La division d'un nombre décimal par un entier est au programme de cycle 3, on peut donc s'attendre à ce qu'un élève de CM2 sache effectuer le calcul 137,6 ÷ 8, le quotient étant décimal.
4. 
Nature du quotient d'un nombre décimal par 8
Un nombre est décimal si et seulement si une de ses écritures fractionnaires est de la forme \frac{a}{2^{n}\times5^{m}} avec a, n et m entiers naturels.
Considérons un nombre décimal d. Il existe donc a, n et m entiers naturels, tels que :
d\frac{a}{2^{n}\times5^{m}}. Divisons d par 8 :
\frac{d}{8}=d\times\frac{1}{8}=\frac{a}{2^{n}\times5^{m}}\times\frac{1}{2^{3}}=\frac{a}{2^{n+3}\times5^{m}}qui est de la forme \frac{a\prime}{2^{n\prime}\times5^{m\prime}} avec : a' = a, n' = n + 3 et m' = m.
Le quotient d'un nombre décimal par 8 est donc toujours un nombre décimal.
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