Chute verticale des corps

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Tests
Une boule de plomb et une balle de tennis, lâchées sans vitesse, atteindront-elles le sol en même temps ? La réponse à cette question dépend des conditions expérimentales. Quelles sont ces conditions ? Quelle modélisation mathématique peut-on proposer pour décrire un mouvement de chute verticale ?
1. Qu'est-ce que le champ de pesanteur terrestre ?
• Tout corps de masse m situé au voisinage de la surface de la Terre est soumis à la force de gravitation qui peut être assimilée à la force de pesanteur \vec{P} (encore appelée poids).
• L'intensité g du champ de pesanteur, en newton par kilogramme (N.kg−1), représente l'intensité de la force de pesanteur par unité de masse, en un point de l'espace situé au voisinage de la surface de la Terre. Le vecteur champ de pesanteur est défini par la relation \vec{g}=\frac{\vec{P}}{m} dans laquelle \vec{P}, en newton (N), représente le poids de l'objet et m, en kilogramme (kg), sa masse.
• De cette définition, il découle que le vecteur champ de pesanteur a la même direction et le même sens que le vecteur représentant le poids ;  il est vertical et dirigé vers le bas.
• Au voisinage de la surface de la Terre, le champ de gravitation est considéré comme uniforme. On le représente par un vecteur identique en tout point de l'espace (même intensité, même direction et même sens).
À la surface de la Terre, on prend généralement g = 9,81 N.kg−1.
Test n°1
2. Comment modélise-t-on un mouvement de chute libre ?
• Un objet est en mouvement de « chute libre » s'il n'est soumis qu'à l'action de la force de pesanteur.
Par exemple, une pomme qui tombe d'un arbre suit un mouvement de chute libre car il est possible de négliger les forces de frottement de l'air au cours de son mouvement.
• Pour modéliser le mouvement de chute libre d'un objet lâché sans vitesse initiale à la date t = 0 s, il faut appliquer le théorème du centre d'inertie dans le référentiel terrestre et identifier le vecteur accélération.
D'après le théorème du centre d'inertie : \sum{\vec{F}=m.{\vec{a}}}, donc pour un objet en chute libre : \vec{P}=m.{\vec{a}} En remplaçant le poids par son expression, on obtient : m.\vec{a}=m.{\vec{g}} ; d'où \vec{a}=\vec{g}.
• Par définition, les coordonnées des vecteurs vitesse et accélération selon l'axe \mathrm{O}_{z} sont v_{z}=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\dot{z}\,\mathrm{et}\,a_{z}=\frac{\mathrm{d}v_{z}}{\mathrm{d}t}=\dot{v}_{z}, donc a_{z}=\frac{\mathrm{d}^{2}z}{\mathrm{d}t^{2}}=\ddot{z}. L'équation différentielle d'un mouvement de chute libre s'écrit \ddot{z}=g.
• Ensuite, on établit les expressions des équations horaires de la vitesse et de la position, en s'appuyant sur les relations mathématiques reliant ces grandeurs et sur les conditions initiales.
Comme a_{z}=\frac{\mathrm{d}v_{z}}{\mathrm{d}t}, avec initialement vz = v0, on a la primitive : \dot{z}=g.t+v_{0}\,(ou\,v_{z}=g.t+v_{0}).
Comme v_{z}=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\dot{z}, avec initialement z = z0, on a la primitive : z=\frac{1}{2}g.t^{2}+v_{0}.t+z_{0}.
Test n°2
3. Pourquoi le mouvement de chute libre est-il rectiligne uniformément accéléré?
• Un objet est animé d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré si sa trajectoire décrit une droite et si son accélération reste constante.
Si la représentation graphique de l'évolution de la vitesse en fonction du temps de chute est une droite, alors l'accélération est constante, donc le mouvement est uniformément accéléré.
L'accélération d'un objet en mouvement de chute libre est \vec{a}=\vec{g}. Tout objet lâché sans vitesse initiale à la surface de la Terre tombe verticalement avec une accélération constante. Son mouvement est rectiligne uniformément accéléré.
Remarque
Il ne faut pas confondre un mouvement uniformément accéléré avec un mouvement uniforme. Un mouvement est uniforme si la vitesse est constante, alors qu'un mouvement est uniformément accéléré si l'accélération est constante.
Test n°3
4. Comment modélise-t-on un mouvement de chute verticale avec frottement ?
L'étude de la chute verticale avec frottement suit le même principe que l'étude de la chute libre. Deux forces supplémentaires interviennent alors : la force de frottement \vec{f} et la poussée d'Archimède \vec{P}_{\mathrm{a}} (dans le cas des chutes dans un fluide).
• La force de frottement s'oppose au mouvement. Elle a donc la même direction que le vecteur vitesse mais est de sens opposé. Sa valeur dépendra de la vitesse de l'objet, de la nature du fluide, des dimensions, de la forme et de l'état de surface de l'objet. Compte tenu de ces nombreux paramètres, son expression sera toujours donnée dans l'énoncé.
• La poussée d'Archimède est une force exercée par un fluide sur un objet immergé. Sa direction est verticale, son sens orienté vers le haut et son intensité égale au poids du fluide déplacé par l'objet. Elle est donnée par la relation \vec{P}_{\mathrm{a}}=-m_{f}.\vec{g}, dans laquelle mf  (en kg) représente la masse de fluide déplacée et g (en N.kg−1), l'intensité du champ de pesanteur.
La masse mf (en kg) de fluide déplacée se calcule à partir de la relation mf  = \rho. V, dans laquelle \rho (en kg.m−3) représente la masse volumique du fluide et V (en m3), le volume de fluide déplacé par l'objet.
• Notons M, la masse de fluide déplacée et m, la masse de l'objet. En présence de la force de frottement définie par \vec{f}=-\lambda.{\vec{v}}, l'équation différentielle du mouvement de chute verticale dans un fluide s'établit de la façon suivante :
Bilan des forces :
– pesanteur \vec{P}
–  force de frottement \vec{f}
–  poussée d'Archimède \vec{P}_{\mathrm{a}}

D'après le théorème du centre d'inertie : \sum{\vec{F}=m.\vec{a}}  ; ce qui donne pour un objet en chute libre : \vec{P}+\vec{P}_{\mathrm{a}}+\vec{f}=m.\vec{a}.
Si on remplace chaque force par son expression, on obtient : m.g-M.g-\lambda.v_{z}=m.a_{z}, d'où l'équation différentielle : (m-M).g-\lambda.v_{z}=m.\dot{v}_{z}.
Test n°4Test n°5Test n°6
5. Comment caractérise-t-on un mouvement de chute verticale avec frottement ?
• L'étude de l'évolution de la vitesse d'un objet en mouvement de chute verticale avec frottement dans un fluide fait apparaître deux phases :
–  dans la première phase, nommée « régime initial », la vitesse augmente progressivement jusqu'à atteindre une vitesse limite  ; 
–  dans la seconde phase, nommée « régime asymptotique », la vitesse limite est atteinte et reste constante. Dans cette phase, le principe d'inertie est vérifié.
Le mouvement de chute verticale avec frottement est caractérisé par la constante de temps t c qui correspond au temps nécessaire pour que l'objet atteigne 63 % de sa vitesse limite. Ce temps peut être déterminé graphiquement en trouvant le point d'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote horizontale.
Test n°7
6. Comment calculer la vitesse limite d'un objet en chute verticale avec frottement ?
Nous avons déterminé précédemment l'équation différentielle de la chute verticale dans un fluide avec frottement : (m-M).g-\lambda.v_{z}=m.\dot{v}_{z}.
La vitesse limite v_{\lim} est atteinte quand l'accélération devient nulle, soit pour : (m-M).g-\lambda.v_{z}=0.
D'où : v_{z}=\frac{(m-M).g}{\lambda}
et v_{\lim}=| v_{z}| =\left| \frac{(m-M).g}{\lambda}\right| =\frac{| m-M| .g}{\lambda}.
Test n°8Test n°9
À retenir
• Le champ de pesanteur terrestre \vec{g} est lié à la force de pesanteur \vec{P} par la relation : \vec{g}=\frac{\vec{P}}{m}.
• Un objet est en mouvement de « chute libre » s'il n'est soumis qu'à l'action de la force de pesanteur. L'équation différentielle du mouvement de chute libre s'écrit : \ddot{z}=g.
• Un objet est animé d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré si sa trajectoire décrit une droite et si son accélération reste constante.
• La poussée d'Archimède est donnée par la relation :
\vec{P}_{\mathrm{a}}=-\rho.V.\vec{g}.
• L'équation différentielle de la chute verticale dans un fluide avec frottement s'écrit : \dot{v}_{z}+\frac{\lambda}{m}\cdot{v_{z}}=\frac{(m-M)\cdot{g}}{m}.
• Pour un mouvement de chute verticale avec frottement, la courbe de vitesse en fonction du temps comprend un régime initial et un régime asymptotique. La vitesse limite est atteinte quand l'accélération devient nulle.
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