Étude prévisionnelle d'un circuit électrique

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Tests
Après avoir étudié les générateurs et les récepteurs, voyons comment étudier un montage complet pour prévoir son point de fonctionnement, et en particulier l'intensité qui circulera dans ce circuit et l'énergie électrique qui y sera transférée.
1. Bilan énergétique dans un circuit en série
Considérons ce circuit en série comportant un générateur et 3 récepteurs.
Dans ce circuit, l'énergie fournie par le générateur est égale à la somme des énergies reçues par les récepteurs, c'est-à-dire :
{W_{{\rm{e}}\left( {{\rm{fournie}}} \right)} = W_{1\left( {{\rm{recue}}} \right)} + W_{2\left( {{\rm{recue}}} \right)} + W_{3\left( {{\rm{recue}}} \right)} }
{U_{{\rm{PN}}} \cdot I \cdot \Delta t = U_{{\rm{PA}}} \cdot I \cdot \Delta t + U_{{\rm{AB}}} \cdot I \cdot \Delta t + U_{{\rm{BN}}} \cdot I \cdot \Delta t}
car l'intensité I est la même en tout point d'un circuit en série.
Finalement {U_{{\rm{PN}}} = U_{{\rm{PA}}} + U_{{\rm{AB}}} + U_{{\rm{BN}}} }.
On retrouve ainsi la loi d'additivité des tensions.
On peut aussi l'écrire sous la forme {U_{{\rm{PA}}} + U_{{\rm{AB}}} + U_{{\rm{BN}}} + U_{{\rm{NP}}} = 0}.
On l'appelle alors loi des mailles.
Elle est valable pour tout circuit (en série ou avec dérivation) tant que l'on parcourt une maille.
Test n°1
2. Bilan énergétique dans un circuit en dérivation
Considérons ce circuit comportant un générateur et 3 récepteurs en dérivation.
Dans ce circuit, l'énergie fournie par le générateur est égale à la somme des énergies reçues par les récepteurs, c'est-à-dire :
{W_{{\rm{e}}\left( {{\rm{fournie}}} \right)} = W_{1\left( {{\rm{recue}}} \right)} + W_{2\left( {{\rm{recue}}} \right)} + W_{3\left( {{\rm{recue}}} \right)} }
{U_{{\rm{PN}}} \cdot I \cdot \Delta t = U_{{\rm{AB}}} \cdot I_1 \cdot \Delta t + U_{{\rm{CD}}} \cdot I_2 \cdot \Delta t + U_{{\rm{EF}}} \cdot I_3 \cdot \Delta t}
comme {U_{{\rm{PN}}} = U_{{\rm{AB}}} = U_{{\rm{CD}}} = U_{{\rm{EF}}} }
alors finalement {I = I_1 + I_2 + I_3 }.
On retrouve ainsi la loi d'additivité des intensités ou loi des nœuds : la somme des intensités des courants qui arrivent à un nœud est égale à la somme des intensités des courants qui en repartent.
Remarque : ce circuit en dérivation correspond au schéma d'une installation électrique domestique : toutes les prises, points d'éclairage, etc. sont branchés en dérivation avec une tension (efficace) à leurs bornes de 230 V.
Test n°2
3. Association de conducteurs ohmiques
Toujours en établissant le bilan énergétique (ou le bilan de puissance), on démontre que :
• Une association en série de conducteurs ohmiques de résistances R1, R2, … est équivalente à un unique conducteur ohmique de résistance Réq telle que {R_{{\rm{\acute{e}q}}} = \sum {R_i } } ; la résistance équivalente est supérieure à la plus grande des résistances Ri.
• Une association en parallèle (dite aussi en dérivation) de conducteurs ohmiques de résistances R1, R2, … est équivalente à un unique conducteur ohmique de résistance Réq telle que {\frac{1}{{R_{{\rm{\acute{e}q}}} }} = \sum {\frac{1}{{R_i }}} } c'est-à-dire {G_{{\rm{\acute{e}q}}} = \sum {G_i } } ; la résistance équivalente est inférieure à la plus petite des résistances Ri.
Test n°3Test n°4
4. Étude d'un circuit
Dans le circuit ci-dessus, on a remplacé tous les dipôles par leur schéma équivalent, pour étudier le circuit le plus simple : un générateur linéaire (E, r) alimentant un récepteur linéaire (E', Réq).
Pour ce circuit {U_{{\rm{PN}}} = E-r \cdot I = E' + R_{{\rm{\acute{e}q}}} \cdot I}, donc {I = \frac{{E - E'}}{{R_{{\rm{\acute{e}q}}} + r}}}.
La puissance transférée par le générateur au circuit vaut alors
{\mathcal{P} = \frac{{R_{{\rm{\acute{e}q}}} \cdot \left( {E - E'} \right)^2 }}{{\left( {R_{{\rm{\acute{e}q}}} + r} \right)^2 }}}.
La puissance transférée est maximale lorsque Réq = r.
Pour un générateur idéal de tension (r = 0) et un circuit purement résistif (E' = 0), ces expressions deviennent {I = \frac{E}{{R_{{\rm{\acute{e}q}}} }}} et {\mathcal{P} = \frac{{E^2 }}{{R_{{\rm{\acute{e}q}}} }}}.
On constate ainsi que l'intensité et la puissance transférée sont inversement proportionnelles à Réq :
  • lorsqu'on associe des conducteurs ohmiques en série, Réq augmente donc I et \mathcal{P} diminuent ;
  • lorsqu'on associe des conducteurs ohmiques en parallèle, Réq diminue donc I et \mathcal{P} augmentent.
On retrouve ainsi un autre avantage de l'association en dérivation pour l'installation domestique : la puissance transférée par le générateur aux récepteurs est plus importantes lorsque les dipôles sont en dérivation.
Test n°5Test n°6
À retenir
Loi des mailles : le long d'une maille ABCDA d'un circuit, la somme des tensions successives est nulle : {U_{{\rm{AB}}} + U_{{\rm{BC}}} + U_{{\rm{CD}}} + U_{{\rm{DA}}} = 0}.
Loi des nœuds : la somme des intensités des courants qui arrive à un nœud est égale à la somme des intensités des courants qui en repartent : {I = I_1 + I_2 + I_3 }.
• Une association en série de conducteurs ohmiques de résistances R1, R2, … est équivalente à un unique conducteur ohmique de résistance Réq telle que {R_{{\rm{\acute{e}q}}} = \sum {R_i } } ; la résistance équivalente est supérieure à la plus grande des résistances Ri.
• Une association en parallèle de conducteurs ohmiques de résistances R1, R2, … est équivalente à un unique conducteur ohmique de résistance Réq telle que {\frac{1}{{R_{{\rm{\acute{e}q}}} }} = \sum {\frac{1}{{R_i }}} }, c'est-à-dire {G_{{\rm{\acute{e}q}}} = \sum {G_i } } ; la résistance équivalente est inférieure à la plus petite des résistances Ri.
• Lorsqu'un générateur idéal de tension de f.e.m. E alimente un circuit purement résistif de résistance équivalente Réq, alors {I = \frac{E}{{R_{{\rm{\acute{e}q}}} }}} et {\mathcal{P} = \frac{{E^2 }}{{R_{{\rm{\acute{e}q}}} }}}.
La puissance transférée par le générateur aux récepteurs est plus importante lorsque les dipôles sont associés en dérivation que lorsqu'ils sont associés en série.
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