La mécanique de Newton

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Isaac Newton (1642-1727) est certainement le découvreur le plus fécond de toute l'histoire des sciences. Son principal ouvrage, Principes mathématiques de la philosophie naturelle, est un véritable trésor scientifique où sont exposées notamment les trois lois fondamentales qui régissent la physique macroscopique. Mais quelles sont ces lois qui dirigent les corps qui nous entourent ?
1. Quels sont les différents choix à faire avant d'étudier un mouvement ?
Avant d'entamer une étude de mouvement, il faut commencer par définir le système sur lequel porte l'étude, le repère d'espace ainsi que le repère de temps.
• Un système est un objet ou un ensemble d'objets sur lequel porte l'étude des forces.
Par exemple, dans l'étude de la chute d'une bille, le système est la bille.
Un système est caractérisé par un point particulier G, nommé centre d'inertie, dont le mouvement est plus simple à décrire que n'importe quel autre point du système.
Par exemple, si je fais rouler une boule de pétanque sur un sol lisse et plat, son centre d'inertie (le centre de la sphère) aura un mouvement rectiligne dans le référentiel terrestre, alors que les autres points auront des mouvements plus complexes.
• Le repère d'espace est constitué d'une origine, liée à un corps de référence, et d'un système d'axes.
Par exemple, le référentiel géocentrique est représenté par un repère centré sur la Terre et dont les axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines.
• Le repère de temps est associé à une horloge que l'on déclenche à la date t = 0 s.
Par exemple, pour l'étude de la chute d'une bille, on déclenchera le chronomètre au lâcher de la bille.
Test n°1
2. Comment faire l'inventaire des forces appliquées à un système ?
• Nous connaissons depuis la classe de seconde plusieurs forces de référence : la force de pesanteur \vec{P}, la force de tension d'un fil ou d'un ressort \vec{T}, la force de gravitation universelle \vec{F}, la force de réaction \vec{R} et la force de frottement \vec{f}.
• Certaines forces sont extérieures, elles sont exercées par un objet n'appartenant pas au système. D'autres forces sont intérieures et s'exercent au sein même du système. Nous nous limiterons à l'étude des forces extérieures au système, cette étude sera appelée « bilan des forces ».
Par exemple, le bilan des forces exercées sur un mobile autoporteur posé sur une table met en évidence deux forces : la pesanteur \vec{P} et la réaction du support \vec{R}.
3. Qu'est-ce qu'une accélération moyenne ? Qu'est-ce qu'une accélération instantanée ?
• L'accélération moyenne, aG, du centre d'inertie G est égale à la variation de la vitesse par unité de temps : a_{\mathrm{G}}=\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}. Elle s'exprime en m.s−2.
Par exemple, si je passe avec mon scooter de 0 à 50,0 km.h−1 (13,9 m.s−1) en 4,0 secondes, mon accélération moyenne est : a_{\mathrm{G}}=\frac{13,9}{4,0}=3,5\,\mathrm{m.s}^{-2}.
• L'accélération instantanée, aG, du centre d'inertie G d'un mobile est égale à la variation de vitesse par unité de temps au voisinage de cette date t\,:\,a_{\mathrm{G}}=\mathop{\lim}\limits_{\Delta{t} \to{0}}\left(\frac{\Delta{v}_{\mathrm{G}}}{\Delta{t}}\right)=\frac{\mathrm{d}v_{\mathrm{G}}}{\mathrm{d}t}.
On détermine l'accélération instantanée en traçant la tangente à la courbe v = f(t), en dérivant l'équation horaire donnant v en fonction de t ou en appliquant la méthode graphique décrite dans le paragraphe suivant.
Test n°3Test n°4
4. Comment tracer un vecteur accélération ?
• On souhaite déterminer le vecteur accélération au point M2 obtenu lors de l'enregistrement expérimental du mouvement d'un mobile autoporteur. Voici les différentes étapes de la construction du vecteur \vec{a}  :
–  on trace la corde \mathrm{M}_{0}\mathrm{M}_{2} pour obtenir grossièrement la direction du vecteur vitesse (tangent à la courbe en \mathrm{M}_{1}) ;
–  on mesure la distance parcourue \mathrm{M}_{0}\mathrm{M}_{2} en tenant compte de l'échelle du document ;
–  on utilise l'approximation v(t_{1})\simeq{\frac{\mathrm{M}_{0}\mathrm{M}_{2}}{t_{2}-t_{0}}}=\frac{\mathrm{M}_{0}\mathrm{M}_{2}}{2\tau} pour calculer cette vitesse ;
–  on trace le vecteur dans le sens du mouvement, à l'échelle ;
–  on détermine graphiquement le vecteur \vec{v}_{3}-\vec{v}_{1} comme indiqué ;
–  on calcule l'accélération en prenant la norme du vecteur \vec{a}(t)=\frac{\Delta{\vec{v}}(t)}{\Delta{t}}=\frac{\vec{v}_{3}-\vec{v}_{1}}{\Delta{t}}  ;
–  on représente le vecteur accélération, suivant la direction et le sens de \vec{v}_{3}-\vec{v}_{1}, en utilisant une échelle de représentation.
Test n°5
5. Quelles sont les lois de la dynamique découvertes par Newton ?
• La première loi de Newton est appelée principe d'inertie : « Dans un référentiel galiléen, si le vecteur vitesse \vec{v}_{\mathrm{G}} d'un solide est constant, la somme des forces qui s'exercent sur le solide est égale au vecteur nul \sum{\vec{F}=\vec{0}} et réciproquement. »
• La seconde loi de Newton est appelée théorème du centre d'inertie  : « Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d'inertie : \sum{\vec{F}}=m\vec{a}. »
• La troisième loi de Newton est appelée loi des actions réciproques  : « Si un corps A exerce une force sur un corps B, simultanément le corps B exerce une action opposée sur le corps A, de même intensité, de même direction mais de sens contraire : \vec{F}_{\mathrm{B\rightarrow{A}}}=-\vec{F}_{\mathrm{A\rightarrow{B}}}.  »
Test n°6Test n°7Test n°8
À retenir
• Le vecteur accélération, à une date t, est égal à la variation du vecteur vitesse par unité de temps, au voisinage de cette date t\,:\,\vec{a_{\mathrm{G}}}=\mathop{\lim}\limits_{\Delta{t} \to{0}}\left(\frac{\Delta{\vec{v}}_{\mathrm{G}}}{\Delta{t}}\right)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{\mathrm{G}}}{\mathrm{d}t}.
• La première loi de Newton est le principe d'inertie  : « Dans un référentiel galiléen, si le vecteur vitesse \vec{v}_{\mathrm{G}} d'un solide est constant, la somme des forces qui s'exercent sur le solide est égale au vecteur nul \sum{\vec{F}=\vec{0}} et réciproquement. »
• La seconde loi de Newton est le théorème du centre d'inertie  : «  Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d'inertie : \sum{\vec{F}}=m\vec{a}. »
• La troisième loi des actions réciproques : « Si un corps A exerce une force sur un corps B, simultanément le corps B exerce une action opposée sur le corps A de même intensité, de même direction mais de sens contraire. »
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