Le circuit RLC

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Tests
La décharge d'un condensateur dans un circuit RLC déclenche des oscillations électriques. Ce phénomène d'oscillation des circuits contenant un condensateur et une bobine est de première importance puisqu'il permet de réaliser des émetteurs ainsi que des récepteurs radio.
1. Comment provoque-t-on des oscillations dans un circuit électrique ?
• Considérons le montage ci-dessous constitué d'un générateur, d'un condensateur et d'une bobine associés en parallèle. L'interrupteur est tout d'abord placé en position (1) : le condensateur se charge. Puis l'interrupteur est basculé en position (2) : il se produit alors dans le circuit des oscillations électriques.
• En l'absence de résistance, les oscillations sont non amorties, elles conservent une amplitude constante dans le temps (figure a).
Si on ajoute à ce circuit un conducteur ohmique, les oscillations présentent une amplitude décroissante. On observe alors des oscillations électriques amorties (figure b).
Test n°1
2. De quels paramètres dépend la période des oscillations ?
• Les oscillations électriques d'un circuit LC idéal sont non amorties (la résistance interne de la bobine est négligeable). La période propre T0, en seconde (s), des oscillations de ce circuit est donnée par la relation T_{0}=2{\pi}\sqrt{LC}, dans laquelle L représente l'inductance de la bobine, exprimée en henry (H) et C, la capacité du condensateur exprimée en farad (F).
• Les oscillations d'un circuit RLC sont amorties : leur amplitude diminue. On utilisera le terme « pseudo-période » pour qualifier la durée d'une oscillation amortie. On conservera l'expression de «  période propre » pour calculer la pseudo-période.
Test n°2Test n°3Test n°4
3. Comment déterminer analytiquement les oscillations non amorties d'un circuit ?
• Déterminons l'équation différentielle de la charge q du condensateur.
Avec les conventions du schéma ci-dessus, nous pouvons écrire : u=-\left(ri+L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\right)=\frac{q}{C}.
De plus, i=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=\dot{q} ; donc : -(r\dot{q}+L{\ddot{q}})=\frac{q}{C}.
Pour une bobine idéale, r = 0 ; d'où : -L\ddot{q}=\frac{q}{C}.
On obtient l'équation différentielle : \ddot{q}+\frac{1}{LC}q=0.
La solution de cette équation différentielle est de la forme :
q(t)=q_{\max}\,\cos(\omega_{0}\cdot{t}+\varphi) dans laquelle q_{\max},\,{\omega_{0}}\,\mathrm{et}\,\varphi sont des constantes propres à l'expérience (\omega_{0}^{2}=\frac{1}{LC}).
• Les expressions de la tension et de l'intensité se déduisent de la solution précédente à partir des relations u=\frac{q}{C}\,\mathrm{et}\,i=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.
Test n°5Test n°6
4. Que devient l'énergie initiale du condensateur au cours des oscillations ?
• L'énergie ET du circuit RLC est égale à la somme de l'énergie électrique Ee du condensateur et de l'énergie magnétique Em de la bobine : E_{\mathrm{T}}=E_{\mathrm{e}}+E_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2}C.u^{2}+\frac{1}{2}L.i^{2}.
Au cours d'oscillations périodiques non amorties, il y a transformation d'énergie électrique en énergie magnétique et inversement. L'énergie totale du circuit est conservée.
• Au cours d'oscillations électriques amorties, il y a des pertes d'énergie dans le circuit car le conducteur ohmique dégage de la chaleur, c'est l'effet Joule. Dans le cas d'oscillations entretenues, un dispositif fournit au circuit une quantité d'énergie égale à l'énergie dissipée par effet Joule.
Test n°7Test n°8Test n°9
À retenir
• L'association, dans un circuit, d'un condensateur chargé et d'une bobine donne naissance à des oscillations électriques.
• Les oscillations sont faiblement amorties si la résistance du circuit est quasiment nulle, ou amorties si la résistance du circuit est importante.
• La période des oscillations amorties, faiblement amorties ou entretenues, vérifie la relation : T=2{\pi}\sqrt{LC}.
• Au cours des oscillations, des échanges d'énergie ont lieu entre la bobine et le condensateur. Si un conducteur ohmique est présent, il se produit des pertes d'énergie par effet Joule.
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