Le dipôle RC

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Tests
Après avoir étudié en classe de première quelques montages électriques simples fonctionnant en courant continu, nous nous intéressons à présent aux phénomènes électriques associés aux courants variables. Il s'agit plus particulièrement de déterminer les paramètres qui permettent de contrôler l'évolution temporelle du courant électrique dans un condensateur.
1. Comment représenter et orienter un circuit comprenant un condensateur ?
Un condensateur plan est constitué de deux armatures conductrices séparées par un isolant. On représente conventionnellement un condensateur par le schéma ci-dessous :
Dans cette convention, nommée convention récepteur, i représente l'intensité du courant électrique, q désigne la charge du condensateur et u la tension à ses bornes.
Test n°1Test n°2Test n°3
2. Quelles relations existe-t-il entre la charge du condensateur et l'intensité du circuit ?
• En utilisant la convention récepteur du schéma précédent, les relations algébriques entre charge et intensité sont :
–  à courant I constant : q=I.\Delta{t}  ;
–  à courant i variable : i=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.
Dans ces relations :
q, en coulomb (C), représente la charge de l'armature où arrive le courant ;
I et i, en ampère (A), représentent l'intensité du courant ;
t, en seconde (s), représente le temps de charge.
Attention aux notations ! Il faut noter U et I, les tensions et intensités constantes mais u et i – ou plus précisément u(t) et i(t) – les tensions et intensités variables.
Test n°4
3. Quelle relation existe-t-il entre l'intensité et la tension du condensateur ?
• Avec la convention récepteur, la charge q, en coulomb (C), d'un condensateur est liée à la tension u, en volt (V), à ses bornes par la relation : q = C.u, où C représente la capacité du condensateur exprimée en farad (F).
En combinant les relations i=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} et q = C.u, on obtient l'expression de l'intensité : i=C.\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}.
Test n°5
4. Comment calculer l'énergie emmagasinée dans un condensateur ?
• L'énergie électrique Ee stockée dans un condensateur vérifie la relation : E_{\mathrm{e}}=\frac{1}{2}C.u^{2}, où C (en F) représente la capacité du condensateur et u, la tension à ses bornes (en V). L'énergie Ee s'exprime en joule (J).
• Dans un condensateur, le stockage et le déstockage de l'énergie ne peuvent jamais s'effectuer instantanément ;  il y aura toujours une continuité dans les variations de la tension.
5. Quelle est la réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension ?
• Le dipôle RC est constitué d'un condensateur associé en série avec un conducteur ohmique ; on parle de « dipôle » car le circuit électrique qui en résulte comporte deux bornes à connecter.
• Un générateur délivrant un échelon de tension donne une tension périodique, avec uG = E, sur la première demi-période, etuG = 0sur la seconde.
Pour étudier la réponse d'un dipôle RC à cet échelon de tension, on réalise le circuit représenté ci-dessous :
• La charge du condensateur n'est pas instantanée et passe par une phase transitoire pendant laquelle la tension u augmente. Dans le même temps, l'intensité i du circuit décroît pour devenir nulle.
6. Comment déterminer l'expression de la tension aux bornes du condensateur ?
• En appliquant la loi d'additivité des tensions, on établit l'équation différentielle de la charge : E=RC.\dot{u}(t)+u(t), dans laquelle \dot{u} représente la dérivée par rapport au temps de la tension aux bornes du condensateur.
La solution de cette équation différentielle est de la forme :
u(t)=E\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{R.C}}\right).
• Lors de la décharge du condensateur, on a E = 0. Par conséquent, la décharge peut être modélisée par l'équation différentielle : 0=RC.\dot{u}(t)+u(t).
La solution de cette équation différentielle est de la forme :
u(t)=E.\mathrm{e}^{-\frac{t}{R.C}}.
• On détermine l'expression de l'intensité à partir de la relation :
i=C.\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}.
Test n°6Test n°7Test n°8
7. Comment déterminer une constante de temps ?
• La constante de temps τ , en seconde (s), représente le temps nécessaire pour que le condensateur atteigne 63 % de sa charge maximale.
• On la détermine graphiquement à partir de la courbe u(t).
• On peut aussi déterminer cette constante en utilisant la relation τ = R.C, dans laquelle R représente la résistance du conducteur ohmique, exprimée en ohm (Ω), et C, la capacité du condensateur, en farad (F).
• On retiendra que le temps de charge augmente avec la résistance R du conducteur ohmique et avec la capacité C du condensateur.
Test n°9Test n°10Test n°11Test n°12
À retenir
• La charge q d'un condensateur de capacité C est la charge de l'armature sur laquelle arrive l'intensité lors de la charge. Cette charge est liée à la tension u aux bornes du condensateur par la relation q = C.u.
• En convention récepteur, la relation entre la charge et l'intensité est :
i=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.
• La constante de temps de la charge ou de la décharge d'un condensateur de capacité C est donnée par la relation τ = R.C.
• L'énergie électrique stockée dans un condensateur est :
E_{\mathrm{e}}=\frac{1}{2}C.u^{2}.
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