Mouvements de projectiles et de planètes

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« La Terre est le centre du monde et les autres planètes tournent autour ». C'est ce qu'ont démontré les plus illustres intellectuels de l'Antiquité comme Pythagore, Aristote et Ptolémée. Ce n'est qu'à partir du xvi^e siècle qu'apparut la notion de système héliocentrique avec les découvertes de Nicolas Copernic, complétées par les lois de Johannes Kepler. Quelles sont les lois qui régissent les mouvements des planètes ? Comment en déduit-on leurs masses ?

1. Quelles sont les différentes relations à connaître pour étudier un mouvement plan ?

• La position d'un point M (x ; y ; z) est définie, dans le repère orthonormé ( $O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ ), par le vecteur position : $\overrightarrow{\mathrm{OM}}\left( \begin{matrix} x\tabularnewline y\tabularnewline z \end{matrix} \right)$ , avec $\overrightarrow{\mathrm{OM}}=x.\vec{i}+y.\vec{j}+z.\vec{k}.$

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Lorsqu'un objet (assimilé au point M) se déplace, sa position évolue avec le temps. On dit que chacune de ses coordonnées est une fonction du temps et le vecteur position est alors noté : $\overrightarrow{\mathrm{OM}}(t)\left( \begin{matrix} x(t)\tabularnewline y(t)\tabularnewline z(t) \end{matrix} \right).$

• Le vecteur vitesse est obtenu en dérivant le vecteur position du mobile : $\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{\mathrm{OM}}}(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{d\left(x.\vec{i}+y.\vec{j}+z.\vec{k}\right)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}\vec{i}+\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}\vec{j}+\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}\vec{k}.$
En remplaçant l'écriture de la dérivée $\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}$ par l'écriture $\dot{x}(t)$ , on obtient les coordonnées du vecteur vitesse $\vec{v}(t)\left( \begin{matrix} v_{x}(t)=\dot{x}(t)\tabularnewline v_{y}(t)=\dot{y}(t)\tabularnewline v_{z}(t)=\dot{z}(t) \end{matrix} \right)$ que l'on simplifie en écrivant $v(t)\left( \begin{matrix} v_{x}=\frac{dx}{dt}\tabularnewline v_{y}=\frac{dy}{dt}\tabularnewline v_{z}=\frac{dz}{dt} \end{matrix} \right).$

• Le vecteur accélération est obtenu en dérivant le vecteur vitesse : $\vec{a}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{d\left(v_{x}.\vec{i}+v_{y}.\vec{j}+v_{z}.\vec{k}\right)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v_{x}(t)}{\mathrm{d}t}.\vec{i}+\frac{\mathrm{d}v_{y}(t)}{\mathrm{d}t}.\vec{j}+\frac{\mathrm{d}v_{z}(t)}{\mathrm{d}t}.\vec{k}.$
En remplaçant l'écriture de la dérivée $\frac{\mathrm{d}v_{x}(t)}{\mathrm{d}t}$ par l'écriture $\dot{v}_{x}(t)$ , on obtient les coordonnées du vecteur accélération $\vec{a}(t)\left( \begin{matrix} a_{x}=\frac{{d}{v_x}}{dt}\tabularnewline a_{y}=\frac{{d}{v_y}}{dt}\tabularnewline a_{z}=\frac{{d}{v_z}}{dt}\end{matrix} \right)$ que l'on simplifie en écrivant $\vec{a}(t)\left( \begin{matrix} a_{x}(t)=\dot{v}_{x}(t)\tabularnewline a_{y}(t)=\dot{v}_{y}(t)\tabularnewline a_{z}(t)=\dot{v}_{z}(t) \end{matrix} \right).$

2. Comment déterminer les coordonnées du vecteur accélération d'un projectile ?

• Un objet sera animé d'un mouvement plan si l'étude du mouvement montre qu'il évolue dans deux dimensions.
Ainsi, si l'équation horaire du vecteur position d'un objet est $\,\overrightarrow {\mathrm{OM}}\, \left(\begin{array}{l}x=10.t \\ y=0 \\ z=-5.t^{2}+15.t+8\end{array}\right)$ , son mouvement a lieu dans le plan $(x\mathrm{O}z).$

• Considérons le mouvement plan d'un projectile lancé avec une vitesse initiale $\vec{v}_{0}$ dans le champ de pesanteur.

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Si l'on néglige les frottements de l'air, l'objet n'est soumis qu'à la force de pesanteur . Il est animé d'un mouvement de chute libre, son vecteur accélération est $\vec{a}=\vec{g}.$
Dans le repère ( $O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ ), les coordonnées du vecteur accélération sont $\vec{a}\,\left(\begin{array}{l}a_{x}=0 \\ a_{y}=0 \\ a_{z}=-g\end{array}\right)$
Test n°1

3. Comment obtenir les équations horaires et l'équation de la trajectoire du projectile ?

• Poursuivons l'exemple précédent. Connaissant les coordonnées du vecteur accélération, il est possible de déterminer les coordonnées du vecteur vitesse $\vec{v}.$
En effet, on sait que $\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}$ et qu'initialement $\vec{v}\,\left(\begin{array}{l}v_{0}.\cos\,\alpha \\ 0 \\ v_{0}.\sin\,\alpha\end{array}\right)$
La primitive de $\vec{a}$ est $\vec{v}\,\left(\begin{array}{l}v_{x}=v_{0}.\cos\,\alpha \\ v_{y}=0 \\ v_{z}=-g.t+v_{0}.\sin\,\alpha\end{array}\right)$
Par ailleurs, $\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{OM}}}{\mathrm{d}t}$ et, à l'instant initial, $\overrightarrow{\mathrm{OM}}\left(\begin{matrix}0\tabularnewline 0\tabularnewline 0 \end{matrix}\right).$
La primitive de $\vec{v}$ est $\overrightarrow{\mathrm{OM}}\left(\begin{array}{l}x=v_{0}.\cos\,\alpha.t \\ y=0 \\ z=-\frac{1}{2}g.t^{2}+v_{0}.\sin\,\alpha.t\end{array}\right).$
Ces équations qui permettent de calculer la position de l'objet à une date quelconque sont nommées « équations horaires paramétriques ».

En remplaçant t par $\frac{x}{v_{0}.\cos\,\alpha}$ dans l'équation horaire de z, on obtient l'équation de la trajectoire parabolique : $z=-\frac{g}{2.(v_{0}.\cos\,\alpha)^{2}}.x^{2}+\tan\,\alpha.x.$
Test n°2 Test n°3

4. Comment déterminer l'accélération d'un satellite autour d'une planète ?

• Pour étudier le mouvement circulaire d'un satellite autour de la Terre, on utilise un repère particulier nommé repère de Frenet. Ce repère $(M;\,\vec{t},\vec{n})$ , centré sur le satellite, possède un axe tangent T à la trajectoire et un axe N dirigé vers le centre de la trajectoire.

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• Le satellite est soumis à la force de gravitation universelle dont l'expression vectorielle est $\vec{F}=\frac{\mathrm{G}.m.M}{R^{2}}.\vec{n}.$ Dans cette expression, m et M sont respectivement les masses (en kg) du satellite et de la Terre, G est la constante de gravitation et R est le rayon de la trajectoire (en m).
D'après la seconde loi de Newton : $\vec{F}=m.\vec{a}.$
Par conséquent, $\frac{\mathrm{G}.m.M}{R^{2}}.\vec{n}=m.\vec{a}$ , d'où le vecteur accélération $\vec{a}=\frac{\mathrm{G}.M}{R^{2}}.\vec{n}.$
Test n°4

5. Comment démontrer qu'un mouvement est circulaire uniforme ?

Dans le repère de Frenet, le vecteur accélération s'écrit :
$\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}.\vec{t}+\frac{v^{2}}{R}.\vec{n}.$
L'accélération étant radiale, $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=0$ : la vitesse reste constante, le mouvement est uniforme.
Test n°5

6. Quelle relation lie la période et le rayon de la trajectoire ?

Nous savons que, pour un satellite en mouvement circulaire, l'accélération est $\vec{a}=\frac{\mathrm{G}.M}{R^{2}}.\vec{n}$ avec $\vec{a}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}.\vec{t}+\frac{v^{2}}{R}.\vec{n}$ dans le repère de Frenet.
En comparant ces deux relations, on obtient $\frac{\mathrm{G}.M}{R^{2}}=\frac{v^{2}}{R}$ soit une vitesse $v=\sqrt{\frac{\mathrm{G}.M}{R}}$ et une période de révolution $T=\frac{2\pi.R}{v}=2{\pi}\sqrt{\frac{R^{3}}{\mathrm{G}M}}.$

7. Quelles sont les lois de Kepler ?

• Première loi de Kepler : dans un référentiel héliocentrique , les centres des planètes décrivent des orbites elliptiques dont le centre du Soleil est l'un des foyers.

• Deuxième loi de Kepler : les aires balayées par le rayon vecteur reliant le centre du Soleil au centre d'une planète sont égales pendant des durées égales.

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• Troisième loi de Kepler : le carré de la période T de révolution est proportionnel au cube du demi-grand axe a de l'orbite.
Test n°6 Test n°7

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À retenir

• Dans le repère de Frenet, la force de gravitation universelle exercée par un objet A de masse m_A

sur un objet B de masse m_B

a pour expression : $\vec{F}=\frac{\mathrm{G}.m_{A}.m_{B}}{R^{2}}.\vec{n}.$

• On utilise le repère de Frenet pour étudier le mouvement circulaire d'un satellite autour d'une planète de masse M. Dans ce repère, l'accélération d'un satellite est : $\vec{a}=\frac{\mathrm{G}.M}{R^{2}}.\vec{n}.$

• D'après la troisième loi de Kepler, le carré de la période de révolution est proportionnel au cube du demi-grand axe de l'orbite.

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