Systèmes oscillants

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Tests
Les propriétés de systèmes aussi simples qu'un pendule ont été exploitées dans maints domaines et ce, depuis fort longtemps. La découverte de l'isochronisme des petites oscillations par Galilée au xvie  siècle a ainsi révolutionné les appareils de mesure du temps. En 1851, c'est le pendule de Foucault qui a mis en évidence la rotation de la Terre. Quelles sont donc les propriétés des oscillateurs mécaniques simples ?
1. Quelles sont les propriétés d'un pendule simple ?
Un pendule simple est constitué d'un objet ponctuel attaché au bout d'un fil inextensible de masse négligeable.
Un pendule simple est soumis à deux forces qui sont la force de pesanteur \vec{P} et la tension du fil\vec{T}. À l'équilibre, un pendule simple vérifie le principe d'inertie : \vec{P}+\vec{T}=\vec{0}. Comme le poids est vertical et que les forces se compensent, la tension du fil est nécessairement verticale ; la position d'équilibre d'un pendule simple est donc verticale.
• La période propre d'un pendule simple est la durée d'une oscillation (d'un aller et retour) du pendule. On montre expérimentalement que la période propre T0, en seconde (s), des oscillations d'un pendule simple est donnée par la relation T_{0}=2\pi.\sqrt{\frac{L}{g}}, dans laquelle L, en mètre (m), représente la longueur du fil et g, en newton par kilogramme (\mathrm{N.kg}^{-1}), l'intensité du champ de pesanteur.
Pour des oscillations de faible amplitude (θ < 20°), la période propre des oscillations est indépendante de leur amplitude. Cette propriété des pendules simples est appelée « loi d'isochronisme des petites oscillations ».
Test n°1
2. Comment vérifier l'homogénéité de l'expression de la période propre d'un pendule simple ?
L'expression de la période propre d'un pendule simple est T_{0}=2\pi.\sqrt{\frac{L}{g}}.
Pour vérifier son homogénéité, on procède à une analyse dimensionnelle, en remplaçant chaque variable dans l'équation par son unité.
La période propre T0 des oscillations s'exprime en seconde (s), la longueur L du fil, en mètre (m) et l'intensité du champ de gravitation, en newton par kilogramme (N.kg−1).
D'après le théorème du centre d'inertie, \sum\,\vec{F}=m.\vec{a}.
On peut écrire : \mathrm{N=kg.m.s}^{2}.
Il en résulte que 2\pi.\sqrt{\frac{L}{g}} s'exprime en :
\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{N.kg}^{-1}}\right)^{1/2}=\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{kg.m.s^{-2}}.\mathrm{kg}^{-1}}\right)^{1/2} = s.
L'expression est donc homogène à un temps.
Test n°2
3. Quelles sont les caractéristiques du système solide-ressort ?
• Un ressort peut travailler en compression ou en extension selon la déformation qu'on lui impose par rapport à sa position d'équilibre O :
La tension du ressort \vec{T}, en newton (N), s'oppose à la déformation : c'est une force de rappel d'expression vectorielle \vec{T}=-k.x.\vec{i}. Dans cette expression, k, en newton par mètre  (N.m−1), représente la constante de raideur du ressort et x, en mètre (m), représente la valeur algébrique de son allongement. Notons que x < 0 en compression et que x > 0 en extension.
• Le système solide-ressort est constitué d'un solide fixé à un ressort dont l'autre extrémité est attachée à un point fixe.
Sa période propre T0, en seconde (s), est donnée par la relation :
T_{0}=2\pi.\sqrt{\frac{m}{k}}, avec m, la masse du solide, en kg et k en N.m−1.
Test n°3Test n°4
4. Comment modéliser les oscillations d'un système solide-ressort idéal ?
• Dans le cas idéal, on négligera les frottements. Les forces en présence sont la force de pesanteur \vec{P}, la réaction du support \vec{R} et la tension du ressort \vec{T}.
D'après le théorème du centre d'inertie, \sum\,\vec{F}=m.\vec{a}, ce qui donne pour le mobile : \vec{P}+\vec{R}+\vec{T}=m.\vec{a}.
Comme \vec{P}+\vec{R}=\vec{0}, on obtient : -k.x=m.\ddot{x} 
d'où l'équation différentielle : \ddot{x}+\frac{k}{m}.x=0.
• La solution de cette équation différentielle est de la forme :
x=x_{m}\,\cos\,\left(\frac{2\pi}{T_{0}}.t+\phi_{0}\right) avec x_{\mathrm{m}} exprimé en mètre (m), l'amplitude des oscillations, T0, en seconde (s), la période propre et \phi_{0}, en radian (rad), la phase, à l'origine des dates. L'amplitude x_{\mathrm{m}} représente la valeur maximale de l'allongement du ressort.
Test n°5
5. Quels sont les différents régimes d'oscillations ?
• L'oscillateur non amorti évolue à énergie constante : le système est conservatif.
• L'oscillateur amorti dissipe de l'énergie vers l'extérieur : le système est dissipatif. On note que, si la période des oscillations reste constante, leur amplitude décroît. On utilisera l'appellation « pseudo-période » pour les oscillations amorties. La pseudo-période T des oscillations est proche de la période propre T 0 d'un même oscillateur non amorti.
Si l'énergie dissipée à chaque oscillation devient trop importante, l'oscillateur aura perdu toute son énergie avant même d'avoir effectué une oscillation ; le régime est alors apériodique.
• L'oscillateur entretenu dissipe de l'énergie vers l'extérieur, mais ses pertes d'énergie sont compensées par un dispositif d'entretien. On obtient à nouveau des oscillations périodiques non amorties.
Test n°6Test n°7
6. Qu'est-ce que la résonance  ?
Le phénomène de résonance est observé dans le cas d'oscillations forcées. Un dispositif d'entraînement, nommé excitateur, impose la fréquence des oscillations au système oscillant.
Par exemple, les oscillations de la membrane d'un haut-parleur suivent la fréquence du générateur basse-fréquence auquel il est relié.
Il y a résonance mécanique lorsque la période de l'excitateur est voisine de la période propre du résonateur. L'amplitude des oscillations est alors maximale.
Test n°8
À retenir
• La période propre d'un pendule simple de longueur L est donnée par la relation : T_{0}=2\pi.\sqrt{\frac{L}{g}}.
• On considère un solide de masse m couplé à un ressort de constante de raideur k. La période propre du système solide-ressort est donnée par la relation : T_{0}=2\pi.\sqrt{\frac{m}{k}}.
• L'expression vectorielle de la tension d'un ressort est :
\vec{T}=-k.x.\vec{i}.
• L'équation différentielle traduisant les oscillations d'un système solide-ressort est de la forme \ddot{x}+\frac{k}{m}.x=0.
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