Travail et puissance

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Tests
Le mot travail vient du latin tripalium, nom d'un instrument de torture… Pour un élève, travailler c'est fournir un effort en vue d'un résultat positif. Mais que représente le travail d'une force ?
1. Présentation
Le travail (mécanique) est une grandeur qui mesure la capacité d'une force à provoquer le déplacement de son point d'application. Il est noté W (anglais Work) et s'exprime en joules (J) dans le Système international.
Nous avons déjà constaté que des objets soumis à une force dont le point d'application se déplace peuvent :
  • être mis en mouvement (wagon tiré par une locomotive) ;
  • changer d'altitude (objet hissé par une corde) ;
  • voir leur température s'élever (pneumatiques de voiture) ;
  • se déformer temporairement ou définitivement (élastique soumis à une traction).
Dans tous ces cas on dira que la force fournit un travail qui est transféré au système.
Test n°1
2. Travail d'une force constante
• Pour une force constante {\vec F}, dont le point d'application se déplace d'un point A à un point B, le travail de la force sur ce trajet est défini par le produit scalaire de la force par le déplacement :
{W_{{\rm{AB}}} \left( {\vec F} \right) = \vec F \cdot }\overrightarrow {{\rm{AB}}}
• Le travail est une grandeur algébrique, son signe dépend de la valeur de l'angle {\alpha = \left( {\vec F,\overrightarrow {{\rm{AB}}} } \right)}
  • si 0 inférieur ou égal α < 90° (la force est « dans le sens » du déplacement), alors W > 0 : on parle de travail moteur ;
  • si 90 < α inférieur ou égal 180° (la force est « de sens opposé » au déplacement), alors W < 0 : on parle de travail résistant ;
  • si α = 90° (la force est perpendiculaire au déplacement), alors W = 0 : une force dont la direction est perpendiculaire à la trajectoire (force normale) ne travaille pas.
• Le travail d'une force constante ne dépend pas du chemin suivi.
Pour calculer le produit scalaire on utilisera une de ces trois relations :
{\vec F \cdot \overrightarrow {{\rm{AB}}} = F \cdot {\rm{AB}} \cdot {\rm{cos}}\alpha }, où F est donnée en N et AB en m ;
{\vec F \cdot \overrightarrow {{\rm{AB}}} = \pm F_{\rm{H}} \cdot {\rm{AB}}}, où FH est le projeté orthogonal de {\vec F} sur \overrightarrow {{\rm{AB}}}; le signe sera + ou − selon l'angle α ;
{\vec F \cdot \overrightarrow {{\rm{AB}}} = F_x \cdot \left( {x_{\rm{B}} - x_{\rm{A}} } \right) + F_y \cdot \left( {y_{\rm{B}} - y_{\rm{A}} } \right) + F_z \cdot \left( {z_{\rm{B}} - z_{\rm{A}} } \right)} dans un repère orthonormé {\left( {{\rm{O}}\,;\;\vec i,\;\vec j,\;\vec k} \right)}.
• Pour un solide en translation, tous les points du solide ont même vecteur déplacement, donc la somme des travaux des forces est égale au travail de la résultante des forces : {\sum {W_{{\rm{AB}}} } \left( {\vec F} \right) = W_{{\rm{AB}}} \left( {\sum {\vec F} } \right)}.
Cette relation est particulièrement intéressante lorsque la résultante de forces est nulle.
Test n°2Test n°3Test n°4
3. Travail du poids d'un objet
Pour un déplacement limité au voisinage de la surface de la Terre, on peut considérer le poids comme une force constante de valeur P = m.g.
Dans un repère orthonormé {\left( {{\rm{O}}\,;\;\vec i,\vec j,\vec k} \right)} où l'axe (Oz) est vertical ascendant, le travail du poids {\vec P} lors d'un déplacement du centre de gravité G d'un point A à un point B est donné par les relations :
{W_{{\rm{AB}}} \left( {\vec P} \right) = \vec P \cdot \overrightarrow {{\rm{AB}}} }
{W_{{\rm{AB}}} \left( {\vec P} \right) = m \cdot g \cdot \left( {z_{\rm{A}} - z_{\rm{B}} } \right)}
{W_{{\rm{AB}}} \left( {\vec P} \right) = \pm m \cdot g \cdot h}
avec {h = \left( {z_{\rm{A}} - z_{\rm{B}} } \right)} ; le signe sera + pour une descente (travail moteur) et − pour une montée (travail résistant).
Test n°5
4. Puissance d'une force
La puissance (mécanique) d'une force est une grandeur qui relie le travail fourni et la durée correspondante. Elle est notée \mathcal{P} et se mesure en watts (W) dans le Système international.
La puissance moyenne développée par la force {\vec F} ayant fourni un travail {W\left( {\vec F} \right)} en une durée Δt (en s) est :
{\mathcal{P}_{\rm{m}} \left( {\vec F} \right) = \frac{{W\left( {\vec F} \right)}}{{\Delta t}}}.
Test n°6Test n°7
À retenir
• Pour une force constante {\vec F}, dont le point d'application se déplace d'un point A à un point B, le travail de la force sur ce trajet est {W_{{\rm{AB}}} \left( {\vec F} \right) = \vec F \cdot \overrightarrow {{\rm{AB}}} = F \cdot {\rm{AB}} \cdot \cos \alpha } avec {\alpha = \left( {\vec F,\;\overrightarrow {{\rm{AB}}} } \right)} (unités : F en N, AB en m, W en J).
• Le travail d'une force constante ne dépend pas du chemin suivi.
• On parle de travail moteur s'il est positif, de travail résistant s'il est négatif. Le travail d'une force normale est toujours nul.
• Dans un repère orthonormé {\left( {{\rm{O}}\,;\;\vec i,\vec j,\vec k} \right)} où l'axe (Oz) est vertical ascendant, le travail du poids {\vec P} lors d'un déplacement du centre de gravité G d'un point A à un point B est {W_{{\rm{AB}}} \left( {\vec P} \right) = \vec P \cdot \overrightarrow {{\rm{AB}}} = m \cdot g \cdot \left( {z_{\rm{A}} - z_{\rm{B}} } \right) = \pm m \cdot g \cdot h} avec {h = \left( {z_{\rm{A}} - z_{\rm{B}} } \right)} (unités : m en kg, h en m).
• La puissance moyenne développée par la force {\vec F} ayant fourni un travail {W\left( {\vec F} \right)} en une durée Δt est \mathcal{P}_{\rm{m}} {\left( {\vec F} \right) = \frac{{W\left( {\vec F} \right)}}{{\Delta t}}} (unités : \mathcal{P} en W, W en J, Δt en s).
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