>QCM et exercices rédactionnels (école AP-HP, Paris)

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Énoncé

Premier exercice
Cet exercice comporte quatre questions. Pour chaque question, il est donné quatre propositions.
Pour chacune des propositions, préciser si elle est vraie ou fausse en le justifiant.
Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Recopier sur la copie le numéro de la question ainsi que le numéro de la proposition.
Il est attendu 4×4 = 16 réponses.
I. Les données de cet exercice sont :
Z = 6 ; m = 12 u pour un atome de carbone.
La masse de l'électron est me = 0,0005 u, celle du proton est mp = 1,0070 u.
La masse du neutron est mn = 1,0087 u.
L'énergie de liaison moyenne par nucléon du noyau d'hélium 4He est 7 MeV/nucléon.
On admet que l'énergie de liaison associée à 1 u est de l'ordre de 1 000 MeV.
On admet que la fusion de 3 noyaux d'hélium en un noyau de carbone expliquerait l'abondance du nucléide 12C.
1. La masse du noyau de carbone exprimée en unité de masse atomique est quasiment égale à la masse de l'atome de carbone.
2. Le défaut de masse du noyau de carbone est Δm = 0,0942 u.
3. L'énergie de liaison du noyau de carbone est de 150 MeV.
4. L'énergie libérée au cours de cette fusion est de l'ordre de 13 MeV.
II. Le nucléide {}_{\,82}^{206}Pb résulte d'un certain nombre de désintégrations radioactives du nucléide {}_{\,92}^{238}U. Le bilan de cette réaction est {}_{\,92}^{238}U\,\rightarrow\,{}_{\,82}^{206}Pb\,+\,x{\alpha}\,+\,y\beta^{-}
1. Le nombre de particules β est y = 2.
2. Le nombre de particules α est x = 8.
3. La loi de décroissance du nombre de noyaux N(t) de noyaux radioactifs d'un échantillon de cet uranium est N(t)\,=\,N_{0}e^{\alpha.t} où α représente la constante radioactive et N0 le nombre de noyaux présents à l'instant t = 0.
4. La demi-vie de cet échantillon est la durée au bout de laquelle son activité est divisée par deux.
III. À la surface d'un lac, on dépose deux bouchons A et B distants de 1 m, puis on lance une pierre qui tombe verticalement au voisinage de A : des rides se propagent à la surface de l'eau. On déclenche le chronomètre quand la première ride atteint le bouchon A, puis on arrête le chronomètre quand cette ride arrive en B. Le chronomètre indique un temps de 2,0 s.
1. L'onde qui se propage à la surface de l'eau est une onde longitudinale.
2. La célérité de l'onde a pour valeur 2 m . s−1.
3. Le bouchon possède de l'énergie mécanique.
4. Le bouchon A se rapprochera du bouchon B.
IV. Une lampe à vapeur de sodium émet un rayonnement de fréquence ν = 5,099 × 1014 Hz.
Dans l'air, la couleur de ce rayonnement est jaune.
La célérité de la lumière dans le vide est 3 × 108 m . s−1.
On donne : 5,099 × 589 = 3 000 et \frac{589}{1,33} = 443.
1. La longueur d'onde de ce rayonnement est 589 nm.
2. Le rayonnement pénètre dans l'eau, d'indice de réfraction 1,33, donc la longueur d'onde du rayonnement dans ce milieu est 443 nm.
3. Dans l'eau, la longueur d'onde du rayonnement est voisine de celle de l'ultraviolet.
4. Si une telle lumière traverse une fente fine de diamètre a = 0,3 mm, la lumière est diffractée. Sur un écran situé à D = 3 m, la largeur de la tache est d = 0,443 mm.
Deuxième exercice
L'objectif de ce problème est de réaliser la simulation, à l'aide d'un circuit électrique, de l'équation horaire suivie par une bille lors de sa chute en présence de frottements.
I. Étude de la chute d'une balle soumise à une force de frottement
On considère une balle de masse m ; cette balle est abandonnée dans l'air à l'instant t = 0, sans vitesse initiale, d'un point situé à une hauteur h au-dessus du sol.
On assimile les frottements à une seule force \vec{f}\,=\,-\,{k}.\vec{v}.
1. Dresser le bilan des forces subies par la balle en faisant un schéma (on négligera la poussée d'Archimède).
2. Établir l'équation différentielle vérifiée par la vitesse v de la balle et la mettre sous la forme \frac{dv}{dt}\,+\,\alpha_{1}\,.\,v\,=\,C où C et α1 sont des constantes que l'on exprimera en fonction des grandeurs physiques caractéristiques. (On négligera la poussée d'Archimède.)
3. On admet que la solution peut s'écrire v(t)\,=\,v_{t}\,1^{-e^{\frac{-t}{\tau_{1}}}}).
Trouver l'expression de τ1 et vt.
Quelles grandeurs physiques ces lettres représentent-elles ?
II. Étude du circuit électrique permettant la modélisation
On considère le circuit suivant, constitué d'une bobine d'inductance L et de résistance r en série avec une résistance R0 et un interrupteur K, alimenté par un générateur idéal de force électromotrice E.
À l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur K.
1. Étude du circuit
a. Reproduire le schéma sur la copie, et indiquer sur celui-ci les branchements d'un oscilloscope permettant de visualiser les variations de :
  • la tension totale uT aux bornes du dipôle (L, r, R0) sur la voie Y1,
  • l'intensité i(t) du courant dans le circuit sur la voie Y2.
b. Établir l'équation différentielle régissant l'évolution de l'intensité i(t) du courant. On posera R = R0 + r.
c. Établir l'expression de I0 intensité du courant en régime permanent.
2. La solution de cette équation différentielle est du type i(t)\,=\,A\,+\,B\,.\,e^{-\alpha_{2}.t}.
a. Déterminer les expressions de A, B et α2 en fonction de E, R et L en utilisant les conditions initiales.
On n'oubliera pas de donner l'expression finale de i(t) à retenir.
b. À partir de l'expression trouvée précédemment pour α2 et par analyse dimensionnelle, retrouver la dimension de α2.
c. Déterminer l'expression de la tension uL = uL(t) aux bornes de la bobine.
Que devient cette expression en régime permanent ?
d. Qu'aurait-on observé sur l'écran de l'oscilloscope si le circuit avait été purement résistif ?
Quel est le rôle de la bobine dans le circuit ?
e. Donner l'expression de l'énergie emmagasinée dans la bobine.
3. Les données de l'oscilloscope sont envoyées sur un logiciel de traitement de données. Après traitement, on obtient à l'ordinateur la courbe de la page suivante.
a. Montrer que la tangente à l'origine de la courbe i(t) obtenue coupe la droite d'équation i = I0 pour une valeur particulière t = τ2.
b. Que représente cette valeur τ2 ? Quelle est son expression ?
III. Principe de la simulation
On peut simuler la chute sans vitesse initiale d'une balle de masse m = 100 g dans le champ de pesanteur g = 10 m . s−2. Au bout d'une durée Δt, la vitesse limite est atteinte et prend la valeur de 0,25 m . s−1.
1. Attribution des grandeurs
À l'aide d'analogies d'expressions littérales et d'interprétations du rôle des différentes grandeurs physiques en mécanique et en électricité, donner les grandeurs électriques permettant de simuler :
a. la vitesse v de la balle ;
b. la masse m de la balle ;
c. le coefficient de frottement k.
2. Choix des valeurs
a. Déterminer la valeur qu'il faut donner à la résistance R pour simuler le mouvement de la balle étudiée.
b. Déterminer la valeur de L à utiliser pour la simulation.
c. En déduire la valeur de τ pour le circuit électrique.
d. Quelle valeur faut-il donner à la force électromotrice E du générateur pour avoir la valeur de I0 en mA donnée par le même nombre que la valeur de vl en mm . s−1 ?
e. Quelle est la valeur de la durée du régime transitoire Δt ?
3. Énergie
On s'intéresse à l'association des formes d'énergie électrique de la simulation et des formes d'énergie mécanique.
On donnera les noms et les expressions mathématiques.
a. Quelle est l'énergie électrique que l'on peut associer à l'énergie cinétique de la balle ?
b. Donner l'expression de la puissance de la force de frottement.
À quelle puissance électrique peut-on l'associer ?
c. Donner l'expression de la puissance du poids.
À quelle puissance électrique peut-on l'associer ?
d. Dans le circuit électrique simulant la chute de la balle, les pertes d'énergie par effet Joule durant la phase transitoire de durée Δt sont estimées à 87,5 % de l'énergie consommée.
Calculer la distance parcourue par la balle au cours du régime transitoire.

Corrigé

Premier exercice
I. 1. Vrai.
La masse des électrons est négligeable par rapport à la masse des protons et des neutrons.
2. Vrai.
Le noyau de carbone 12 est constitué de 6 protons.
Donc 12 − 6 = 6 neutrons.
Δm = (6mn + 6 mp)− m = (6 × 1,0087 + 6 × 1,0070) − 12 = 0,0942 u
3. Faux.
L'énergie associée à 1 u est de 1 000 MeV.
E1 = 0,0942 × 1 000 = 94,2 MeV
4. Faux.
Le noyau d'hélium 4 comporte 4 nucléons. Son énergie de liaison est :
E1 = 4 × 7 = 28 MeV
3 noyaux d'hélium donnent 1 noyau de carbone.
ΔE = E1−3 E'1 = 94,2 − 3×28 = 10,2 MeV
II. 1. Faux.
2. Vrai.
{}_{\,92}^{238}U{}_{\,82}^{206}Pb\,+\,x_{2}^{4}He\,+\,y{}_{-1}^{\,0}e
On applique la conservation des charges et la conservation des nucléons.
238 = 206 + 4x → x = 8
92 = 82 + 2x −y → y = 6
3. Faux.
N(t)\,=\,N_{0}.e^{-\alpha t}
Le nombre de noyaux radioactifs diminue avec le temps.
4. Vrai.
À la demi-vie, le nombre de noyaux radioactifs est divisé par deux.
L'activité suit la relation A(t)\,=\,-\frac{dN}{dt}\,=\,\alpha\,.\,N_{0.}e^{-\alpha\,.t}
Elle est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs et se trouve ici divisée par deux.
III. 1. Faux.
L'onde est transversale car elle se propage horizontalement. En revanche, la perturbation à la surface de l'eau est verticale.
2. Faux.
Nous avons d \approx{AB}.
v\,=\,\frac{AB}{t}\,=\,\frac{1}{2}\,=\,0,50\,m.s^{-1}
3. Vrai.
L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.
E\,=\,E_{c}\,+\,E_{p}\,=\,\frac{1}{2}m.v^{2}\,+\,mgz
En prenant z au niveau de l'eau, le bouchon au repos n'a pas d'énergie potentielle. Il en acquiert en se déplaçant vers le haut.
En prenant de la vitesse, le bouchon voit son énergie cinétique augmenter.
Cette énergie est transportée par l'onde.
4. Faux.
L'onde est transversale et la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation. Le bouchon va se déplacer verticalement.
IV. 1. Vrai.
En considérant que la célérité de l'onde dans l'air est la même que dans le vide, la fréquence et la longueur d'onde sont liées par la relation :
\lambda\,=\,\frac{c}{\nu}\,=\,\frac{3\,\times\,10^{8}}{5,099\,\times\,10^{14}}\,=\,589\,nm
2. Vrai.
La fréquence reste identique lors du changement de milieu, mais la célérité diminue.
v(eau)\,=\,\frac{c}{n}
Ce qui donne :
\lambda\,=\,\frac{c/n}{\nu}\,=\,\frac{c}{n.\nu}\,=\,\frac{3,0\times{10}^{8}}{1,33\times{5,099}\times{10}^{14}}\,=\,443\,nm
3. Vrai.
Les ultraviolets sont les rayonnements de longueur d'onde inférieure à 400 nm.
4. Faux.
Nous savons que l'écart angulaire vérifie deux relations :
\theta\,=\,\frac{\lambda}{a} et \theta\,=\,\frac{d}{D}
Ce qui donne :
d\,=\,\frac{\lambda}{a}\times{D}\,=\,\frac{443\times{10}^{-9}}{0,3\times{10}^{-3}}\times{3}\,=\,4,43\,mm
Deuxième exercice
I. 1. Bilan des forces :
  • poids \vec{P} ;
  • frottements \vec{f}.
2. Appliquons la deuxième loi de Newton :
\Sigma\,\vec{F}ext\,=\,m.\vec{a}
\vec{P}\,+\,\vec{f}\,=\,m.\vec{a}\,avec\,{a}\,=\,\frac{dv}{dt}
m.g\,-\,k.v\,=\,m\frac{dv}{dt}
En divisant par m, on obtient :
g\,-\,\frac{k}{m}v\,=\,\frac{dv}{dt}, soit l'équation différentielle \frac{dv}{dt}\,+\,\frac{k}{m}v\,=\,g (1)
On en déduit :
{\alpha}_{1}\,=\,\frac{k}{m} et C = g.
3. v(t)\,=\,v_{l}\left(1\,-\,e^{\frac{-t}{\tau_{1}}}\right)
Sa dérivée est :
v(t)\,=\,\frac{v_{l}}{\tau_{1}}.e^{\frac{-t}{\tau_{1}}}
On remplace dans l'équation différentielle (1) :
\frac{v_{l}}{\tau_{1}}.e^{\frac{-t}{\tau_{1}}}\,+\,\frac{k}{m}.v_{l}\left(1\,-\,e^{\frac{-t}{\tau_{1}}}\right)\,=\,g
On factorise la fonction exponentielle :
v_{l}\left(\frac{1}{\tau_{1}}\,-\,\frac{k}{m}\right).e^{\frac{-t}{\tau_{1}}}\,+\,\frac{k}{m}.v_{l}\,-\,g\,=\,0
Ce qui implique deux conditions :
\frac{1}{\tau_{1}}\,-\,\frac{k}{m}\,=\,0\,soit\,\tau_{1}\,=\,\frac{m}{k}
et v_{l}\,=\,\frac{g.m}{k}.
Le premier terme représente la constante de temps et le second la vitesse limite.
II. 1. a. 
b. La loi d'additivité des tensions donne :
uT = uL\,+\,uRo
Soit :
E\,=\,L.\frac{di}{dt}\,+\,r.i\,+\,R_{0}.i
E\,=\,L.\frac{di}{dt}\,+\,(r\,+\,R_{0}).i\,=\,L.\frac{di}{dt}\,+\,R.i (1)
c. En régime permanent \frac{di}{dt} est nulle.
On obtient E\,=\,R.I_{0}\,soit\,I_{0}\,=\,\frac{E}{R}.
2. a. i(t)\,=\,\frac{E}{R}(1\,-\,e^{-\alpha_{2}.t}).
Soit en dérivant :
\frac{di}{dt}\,=\,\frac{E}{R}.\alpha_{2}.e^{-\alpha_{2}.t}
On remplace dans l'équation différentielle (1) :
E\,=\,L.\frac{E}{R}.\alpha_{2}.e^{-\alpha_{2}.t}\,+\,R.\frac{E}{R}(1\,-\,e^{-\alpha_{2}.t})
E\,=\,E\,+\,E\left(\frac{L}{R}.\alpha_{2}\,-\,1\right)e^{-\alpha_{2}.t}
Ce qui donne \alpha_{2}\,=\,\frac{R}{L}
L'expression de l'intensité devient alors i(t)\,=\,\frac{E}{R}(1\,-\,e^{-\frac{R}{L}t}).
b. R s'exprime en Ω = V.A−1 (car U = R .I).
L s'exprime en H = V.A-1.s (car L\,=\,\frac{U}{di/dt}).
\frac{R}{L}\,s'exprime\,en\,\frac{V.A^{-1}}{V.A^{-1.s}}\,=\,s^{-1}
c. Nous avons u_{L}\,=\,L.\frac{di}{dt}\,+\,r.i.
En régime permanent : \frac{di}{dt}\,=\,0.
Donc uL = r.IO.
d. La bobine s'oppose à l'installation du courant, ce qui se traduit par l'existence d'un régime transitoire sur la courbe. Dans un circuit purement résistif, le courant s'installerait instantanément. L'intensité serait immédiatement égale à l'intensité maximale I0. On observait une droite horizontale sur l'écran de l'oscilloscope.
e. E_{m}\,=\,\frac{1}{2}L.i^{2}
3. a et b. Nous avons montré que i(t)\,=\,\frac{E}{R}(1\,-\,e^{-\alpha_{2}.t}) et
\frac{di}{dt}\,=\,\frac{E}{R}.\alpha_{2}.e^{-\alpha_{2}.t}.
Ce qui donne à t = 0 s :
\frac{di}{dt}\,=\,\frac{E}{R}.\alpha_{2}\,=\,\frac{E}{R}\times\frac{R}{L}\,=\,\frac{E}{L}
Cette droite passant par l'origine a pour équation :
i(t)\,=\,\frac{E.L}.t
À la date particulière τ2, nous avons i(\tau_{2})\,=\,I_{0}\,=\,\frac{E}{R} et I_{O}\,=\,\frac{E}{L}\,.\tau_{2} donc \frac {E} {R}\,=\,\frac{E}{L}\,.\tau_{2} et \tau_{2}\,=\frac{L}{R}
\tau_{2} représente le temps nécessaire pour que 63 % du courant soit installé (constante de temps du circuit LR).
III. 1. a. Comme l'intensité, la vitesse de la balle augmente jusqu'à atteindre une valeur limite.
b et c. Les équations différentielles de la chute et du circuit sont :
\frac{di}{dt}\,+\,\frac{R}{L}.i\,=\,\frac{E}{L}
\frac{dv}{dt}\,-\,\frac{k}{m}v\,=\,g
En comparant les deux expressions, on constate que R simule k et L simule m.
2. a. Nous avions établi que v_{l}\,=\,\frac{g.m}{k}.
D'où k\,=\,\frac{g.m}{v^{l}}\,=\,\frac{10\times{0,100}}{0,25}\,=\,4\,kg.s^{-1}.
La résistance doit prendre la même valeur, soit 4 Ω.
b. m = 0,100 kg. Donc L doit prendre la même valeur, soit 100 mH.
c. \tau\,=\,\frac{L}{R}\,=\,\frac{0,100}{4}\,=\,25\,ms\,
d. On a v_{l}\,=\,250\,mm.s^{-1}.
On souhaite obtenir la même valeur pour l'intensité I0.
Or I_{0}\,=\,1\,000\times\frac{E}{R}.
Donc E\,=\,\frac{250R}{1\,000}\,=\,\frac{250\times{4}}{1\,000}\,=\,1,0\,V.
e. Δt = 5τ = 5×25 = 125 ms.
3. a. Si l'intensité s'associe à la vitesse, l'énergie magnétique E_{m}\,=\,\frac{1}{2}Li^{2} correspond à l'énergie cinétique.
b. La puissance de la force de frottement est P = f.v = k.v2 (car f = k.v).
En utilisant les correspondances entre k et R et v et i, nous obtenons en électricité P =  R.i2, qui correspond à la puissance dissipée par effet Joule.
c. La puissance du poids est P' = m.g.v.
En utilisant les équivalences, nous obtenons en électricité :
P'\,=\,L.\frac{E}{L}.i\,=\,E.i
Il s'agit de la puissance électrique utile.
d. La distance parcourue pendant la durée Δt est donnée par l'aire située sous la courbe v(t) en t = 0 et t = Δt.
d\,=\,\int^{\delta{t}}_{0}v.dt\,=\,\int^{\delta{t}}_{0}v^{l}(1\,-\,e^{-t/\tau}).dt\,=\,v_{l}\times[t\,+\,\tau.e^{-t/\tau}]^{\Delta{t}}_{0}
d\,=\,v_{l}(\Delta{t}\,+\,\tau.{e}^{-\Delta{t}/\tau})\,=\,0,250\,\times\,(0,125\,+\,0,025e^{-5})\,=\,3,1\,cm.
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