QCM et exercices rédactionnels (école IFMK, Berck-sur-Mer)

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Énoncé

Questionnaire à choix multiples (10 points)
On prendra pour la valeur du champ de pesanteur à la surface terrestre : g = 9,81 m . s−2.
1. On analyse tous les ans une source radioactive de césium 137.
On détermine à l'instant t de l'analyse l'activité A(t) de la source.
On constate que : \frac{A(t)}{A(t + 1)}\,=\,1,023 (avec t en années)
Calculer le temps de demi-vie (en années) du césium 137.
a. 10.
b. 20.
c. 30.
d. 40.
e. 50.
f. aucune réponse exacte.
2. Une perturbation transversale se propage le long d'une corde tendue horizontalement.
La déformation commence à l'instant t = 0 en un point S. On considère un point P situé à la distance x = 3,6 du point S.
Le mouvement de P est un mouvement rectiligne vertical selon un axe des y. On note yp(t) la représentation de la position de P en fonction du temps.
Calculer la célérité (en m . s−l) de la perturbation le long de la corde.
a. 7,2.
b. 12.
c. 18
d. 24.
e. 30.
f. aucune réponse exacte.
3. Les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène ont pour valeur : >E^{n}\,=\,\frac{13,6}{n^{2}} est mesurée en électronvolts (eV)
n est un entier positif
Données :
constante de Planck : h\,=\,6,63\,.\,10^{-34}J\,.\,s
1 eV\,=\,1,60\,.\,10^{-19}\,J
célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00 . 108 m . s−1
Parmi les affirmations suivantes, combien y en a-t-il d'exactes ?
  • Le spectre d'émission de l'atome d'hydrogène est continu. (A)
  • L'énergie minimale d'un électron capable de provoquer l'excitation d'un atome d'hydrogène à partir de son niveau fondamental vaut 10,2 eV. (B)
  • L'atome d'hydrogène peut émettre la radiation de longueur d'onde dans le vide λ = 122 nm en passant du niveau d'énergie n = 2 au niveau n = 1. (C)
  • Le niveau d'énergie 0 eV correspond à l'atome d'hydrogène dans son niveau fondamental. (D)
  • La valeur de l'énergie de l'atome d'hydrogène au niveau n = 4 est de −1,36 . 10−19 J. (E)
a. 1.
b. 2.
c. 3.
d. 4.
e. 5.
f. aucune affirmation exacte.
4. Une lentille convergente de distance focale f' = 25 cm donne d'un objet réel A, situé sur l'axe optique à 105 cm devant le foyer principal objet, une image A'.
Calculer la distance (en cm) qui sépare l'image A' du foyer principal image.
a. 6,0.
b. 8,0.
c. 12.
d. 16.
e. 18.
f. aucune réponse exacte.
5. On place une aiguille aimantée en un point O, à l'intérieur d'un solénoïde de longueur L = 50 cm et comportant N = 200 spires.
En l'absence de courant, l'aiguille aimantée prend la direction de la composante horizontale \vec{B}H du champ magnétique terrestre. Cette direction forme un angle α = 45° avec l'axe du solénoïde.
Lorsque l'on fait circuler un courant d'intensité I, on constate que l'aiguille aimantée tourne et forme alors un angle droit avec l'axe du solénoïde.
Données :
  • perméabilité magnétique du vide : μ0 = 4π . 10−7 SI ;
  • valeur de la composante horizontale du champ magnétique terrestre : BH = 20 μT.
Calculer l'intensité du courant (en mA) qui circule dans le solénoïde.
a. 28.
b. 56.
c. 122.
d. 188.
e. 250.
f. aucune réponse exacte.
6. La planète Mars est assimilée à une sphère homogène de rayon R et à répartition sphérique de masse.
On a pu mesurer la force d'attraction gravitationnelle exercée par Mars sur une sonde spatiale de masse m à deux altitudes différentes :
  • pour h1 = 4,82 . 104 km : F1 = 40,2 N ;
  • pour h2 = 7,76 . 104 km : F2 = 16,3 N.
Calculer la valeur du rayon (en km) de la planète Mars.
a. 2,9 . 103.
b. 3,1 . 103.
c. 3,3 . 103.
d. 3,5 . 103
e. 3,7 . 103.
f. aucune réponse exacte.
7. Un oscillateur est constitué par un solide S de masse m, attaché à l'extrémité d'un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de constante de raideur k = 8 N . m−1. Le solide S oscille sans frottement selon un axe horizontal (O,\,\vec{i}).
On repère la position, à l'instant t, du centre d'inertie G de S par l'abscisse x(t).
L'origine O du repère correspond à la position du centre d'inertie G de S à l'équilibre.
Le centre d'inertie G du solide oscille sans frottement selon l'axe horizontal (O, \vec{i}) autour de sa position d'équilibre. L'équation horaire du mouvement s'écrit avec les unités du système international :
x(t) = 8,00 . 10-2 . cos(10,8 . t + 0,723).
Parmi les affirmations suivantes, combien y en a-t-il d'exactes ?
  • À l'instant t = 0, le solide a été lâché sans vitesse initiale. (A)
  • L'énergie mécanique de l'oscillateur est de 7,2 mJ. (B)
  • La vitesse maximale du solide est de 0,86 m . s−1. (C)
  • La masse du solide est de 52 g. (D)
  • L'accélération maximale du solide est de 9,3 m . s−2. (E)
a. 1.
b. 2.
c. 3.
d. 4.
e. 5.
f. aucune affirmation exacte.
8. On lance un projectile considéré comme ponctuel, à partir d'un point A avec une vitesse initiale \vec{V_{0}} faisant un angle α avec l'horizontale.
S désigne le sommet de la trajectoire et P le point de contact avec le sol.
Le mouvement est étudié dans le repère orthonormé (O, \vec{i}, vec{j} ).
Le point A est situé à la hauteur h au-dessus du point O.
On néglige l'action de l'air sur le projectile.
Données :
h = 2,0 m ; ys = 3,4 m ; xp = 8,2 m.
Calculer la valeur de l'angle α (en °).
a. 12.
b. 27.
c. 32.
d. 41.
e. 59.
f. aucune réponse exacte.
9. (Suite de la question précédente)
En déduire la valeur (en m . s−l) de la vitesse \vec{V_{0}}.
a. 4,0.
b. 8.0.
c. 16.
d. 24.
e. 32.
f. aucune réponse exacte.
10. On considère l'association suivante de conducteurs ohmiques identiques de résistance R. Cette association est reliée à un générateur de tension continue.
Donnée : UAD = 7,5 V
Déterminer la valeur de la tension UBC (en V).
a. l,0.
b. 2,5.
c. 3,5.
d. 4.
e. 7,5.
f. aucune réponse exacte.
Exercices (10 points)
Répondez aux questions en expliquant brièvement votre démarche.
Exercice 1
Les bouddhistes tibétains utilisent dans leur rituel un moulin à prières.
Ce moulin, appelé « mani korlo », est composé d'un cylindre dans lequel on introduit des feuilles de papier imprimées de prières : les « mantras ».
Selon les croyances des fidèles, la mise en rotation de ce moulin permet de répandre les prières dans les airs comme si elles étaient prononcées.
Le schéma ci-dessus représente une modélisation d'un moulin à prières.
Le cylindre de rayon r est animé d'un mouvement de rotation uniforme autour de l'axe Δ.
Un solide M de masse m considéré comme ponctuel est suspendu par un fil inextensible de longueur L en un point A de la circonférence du cylindre.
Le fil forme un angle α avec la verticale lorsque le cylindre tourne à la vitesse angulaire constance ω, autour de l'axe Δ. On négligera l'action de l'air sur le dispositif.
Données : r = 7,5 cm ; L = 10 cm ; m = 50 g ; α = 20°.
1. Recopier le schéma sur la copie.
Représenter les forces qui s'exercent sur le solide M et le vecteur accélération \vec{a}.
2. Calculer la valeur de la tension F (en N) exercée par le fil sur le solide M.
3. Établir l'expression de l'accélération a du solide M en fonction de r, L, ω et α.
4. Calculer la valeur de la vitesse angulaire ω (en tours/s).
5. Déterminer la période de rotation T (en s) du solide M autour de l'axe Δ.
Exercice 2
L'interrupteur K est en position 1 :
Un condensateur de capacité C, initialement déchargé, est associé en série avec un conducteur ohmique de résistance R.
L'ensemble ainsi constitué est alimenté par un générateur de courant délivrant une intensité constante I0.
Le condensateur est chargé pendant une durée Δt.
Un voltmètre branché aux bornes du condensateur indique au bout de la durée Δt une tension U1.
On bascule l'interrupteur  K en position 2 :
Le condensateur se décharge alors dans un circuit comprenant un moteur. L'axe du moteur est solidaire d'une poulie à laquelle est accroché un fil. On constate que le moteur se met à tourner pendant un certain temps provoquant la montée du solide de masse m. Lorsque l'intensité du courant devient trop faible, le moteur s'arrête et le voltmètre indique à cet instant une valeur U2. Le solide est alors monté d'une hauteur h.
Le rendement η de l'opération est égal au rapport du travail fourni par le moteur, à l'énergie électrique fournie par le condensateur.
Données :
Δt = 35,0 s ; U1 = 12,0 V ; U2 = 3,10 V ; h = 30,9 cm ; m = 523 g ; η = 47,2 %.
1. Calculer l'énergie électrique Ef (en mJ) fournie par le condensateur au moteur.
2. En déduire la capacité C (en mF) du condensateur.
3. Calculer l'intensité I0 (en mA) du courant délivré par le générateur.
La tension maximale que l'on peut appliquer aux bornes du condensateur sans l'endommager vaut : UM = 25,0 V.
On recommence l'expérience : l'interrupteur est en position 1 et le condensateur initialement déchargé.
4. Déterminer la durée Δt' (en s) de la charge nécessaire pour atteindre cette tension UM.
On bascule alors l'interrupteur en position 2 et le moteur s'arrête lorsque le voltmètre indique de nouveau la tension U2 = 3,10 V. Le rendement de l'opération garde la même valeur η.
5. Calculer la hauteur h' (en cm) dont le solide s'est élevé.

Corrigé

Questionnaire à choix multiples
1. Bonne réponse : c.
Commentaires
Si A(t) = 1,023A(t + 1), alors après n années A(t) = (1,023)n × A(t + n).
Le temps de demi-vie est le temps nécessaire pour diviser par deux le nombre de noyaux radioactifs. On prendra la valeur de n pour laquelle (1,023)n = 2.
2. Bonne réponse : b.
Commentaires
Il faut 0,3 s à la perturbation pour atteindre le point P.
V = \frac{3,6}{0,3} = 12 m . s-1
3. Réponse : c (3 affirmations exactes).
Commentaires
a) Faux.
Le spectre d'émission de l'atome d'hydrogène est discontinu. L'énergie prend des valeurs discrètes.
b) Juste.
E1 = 13,6 eV ; E2 = \frac{13,6}{4} = 3,4 eV
Il faut minimum 13,6 − 3,4 = 10,2 eV pour exciter l'atome d'hydrogène à partir de son niveau fondamental.
c) Juste.
h{\times}\frac{c}{\lambda}\,=\,E_{2}\,-\,E_{1}
\lambda\,=\,\frac{h\times{c}}{E_{2}\,-\,E_{1}}\,=\,\frac{6,63\times{10}^{-34}\times{3,00}\times{10}^{8}}{(-3,4\,+\,13,6)\times{1,60}\times{10}^{-19}}\,=\,122\,nm
d) Faux.
L'état fondamental correspond à n = 1 soit −13,6 eV.
e) Juste.
E_{4}\,=\,-\,\frac{13,6}{4^{2}}\times{1,6}\times{10}^{-19}\,=\,-\,1,36\times{10}^{-19}\,J
4. Bonne réponse : b.
Commentaires
Utilisons la formule de conjugaison :
\frac{1}{OA'}\,=\,\frac{1}{f'}\,+\,\frac{1}{OA}\,=\,\frac{1}{0,25}\,+\,\frac{1}{-1,05}\,=\,3,05\,m
OA'\,\approx\,33\,cm
F'A'\,>=\,OA'\,-\,OF'\,=\,33\,-\,25\,=\,8\,cm
5. Bonne réponse : a.
Commentaires
Le champ magnétique de la bobine et le champ magnétique terrestre s'ajoutent vectoriellement.
Pour obtenir un champ magnétique total perpendiculaire à l'axe de la bobine, il faut que le champ magnétique de la bobine remplisse la condition :
B = BH × cosα.
\mu_{0}{\times}\frac{N}{L}\times{I}\,=\,B_{H}\times{\cos}\alpha
I\,=\,\frac{B_{H}\times{\cos}\alpha}{\mu_{0}{\times}\frac{N}{L}}\,=\,\frac{20\times{10}^{-6}\times{\cos}45}{4\pi\times{10}^{-7}{\times}\frac{200}{0,50}}\,=\,28\,mA
6. Bonne réponse : c.
Commentaires
La loi de la gravitation donne :
F_{1}\,=\,G{\times}\frac{m\times{M}}{(R\,+\,h_{1})^{2}}\,et\,F_{2}\,=\,G{\times}\frac{m\times{M}}{(R\,+\,h_{2})^{2}}
Soit :
\frac{F_{1}}{F_{2}}\,=\,\frac{(R\,+\,h_{2})^{2}}{(R\,+\,h_{1})^{2}}
D'où :
R\,=\,\frac{h_{2}\,-\,\sqrt{\frac{F_{1}}{F_{2}}}\times{h_{1}}}{\sqrt{\frac{F_{1}}{F_{2}}}\,-\,1}\,=\,\frac{7,76\times{10}^{7}\,-\,\sqrt{\frac{40,2}{16,3}}\times{4,82}\times{10}^{7}}{\sqrt{\frac{40,2}{16,3}}\,-\,1}
R\,=\,3,3\times{10}^{3}\,km
7. Réponse : b (2 affirmations exactes).
Commentaires
a) Faux.
La vitesse est donnée par la dérivée de la position x(t).
v(t) = −10,8 × 8,00 × 10−2 sin(10,8 t + 0,723) À t = 0, v est nulle.
v(0) = vmax×sin(0,723)
b) Faux.
E\,=\,\frac{1}{2}kx^{2}_{max}\,=\,0,5\times{8}\times(8,00\times{10}^{-2})^{2}\,=\,25,6\,mJ
c) Juste.
v(t) = vmax×sin(10,8 t + 0,273)
d) Faux.
E\,=\,\frac{1}{2}mv_{max}^{2}
m\,=\,\frac{2E}{v^{2}_{max}}\,=\,69\,g
e) Juste.
L'accélération est donnée par la dérivée de la vitesse :
a(t)=−0,86 × 10,8 × cos(10,8 t + 0,723) = −9,3cos(10,8 t + 0,723)
8. Bonne réponse : d.
Commentaire
L'objet est en chute libre, il n'est soumis qu'à son poids. En appliquant la deuxième loi de Newton, on obtient les équations horaires ci-dessous.
Pour la vitesse :
Vx(t) = V0cosα (1)
Vy(t) = −gt + V0sinα (2)
Pour la position :
x(t) = V0 cosα t (3)
y(t) = −0,5gt2 + V0 sinα t + h (4)
Au point S, on a Vy = 0, ce qui donne, en utilisant la relation (2)
t\,=\,\frac{V_{0}{\sin}\alpha}{g}.
En remplaçant dans (4), on obtient :
y_{s}\,=\,-\,\frac{g}{2}\left(\frac{V_{0}.{\sin}\alpha}{g}\right)^{2}+V_{0}.\sin{\alpha}\left(\frac{V_{0}.\sin{\alpha}}{g}\right)+h
En remplaçant par les données :
3,4 = 5,1×10−2(V0.sinα)2 + 2
V0sinα = 5,24 (5)
Au point P, on a y = 0, ce qui donne, en utilisant la relation (3) et (4) :
0\,=\,-\,\frac{g}{2(V_{0}.\cos{\alpha})^{2}}x^{2}_{P}\,+\,\tan{\alpha}.x_{P}\,+\,h
On remplace V0 par 5,24/sin α (relation (5)) :
0\,=\,-\,\frac{g}{2(\frac{5,24}{\sin{\alpha}}{\cdot}\cos{\alpha})^{2}}x^{2}_{P}\,+\,\tan{\alpha}.x_{P}\,+\,h
On simplifie et on remplace par les données :
0 = −12(tanα)2 + 8,2tanα + 2,0
La résolution du trinôme donne tanα = 0,875, soit α = 41°.
9. Bonne réponse : b.
Commentaire
On en déduit la vitesse V_{0}\,=\,\frac{5,24}{\sin{41}}\,=\,8\,m.s^{-1}.
10. Bonne réponse : f.
Commentaires
Soit i l'intensité du circuit.
Dans chaque branche entre A et B et entre C et D, nous avons i'\,=\,\frac{i}{3}.
En appliquant la loi d'Ohm, on obtient :
UAB = Ri' ;UBC = Ri ; UCD = Ri'
Soit :
U_{AD}\,=\,U_{AB}\,+\,U_{BC}+U_{CD}\,=\,\left(\frac{R}{3}\,+\,R\,+\,\frac{R}{3}\right)\times{i}\,=\,\frac{5}{3}Ri
U_{BC}\,=\,R\times\,i\,=\,R\,\times\,\frac{U_{AD}}{\frac{5}{3}R}\,=\,\frac{3}{5}\times{7,5}\,=\,4,5\,V
Exercice 1
1. Représentons la tension du fil et le poids qui s'appliquent au système.
2. En l'absence de mouvement vertical, la projection de la tension sur l'axe Mz se compense avec le poids Fcosα = mg
F\,=\,0,050\,\times\,\frac{9,8}{cos 20}\,=\,0,52\,N
3. Pour un mouvement circulaire uniforme, nous avons a = (r + Lsinα)ω2 dans laquelle r + Lsinα représente le rayon de la trajectoire.
4. Appliquons la seconde loi de Newton :
{\Sigma}\vec{F}\,=\,\vec{P}\,+\,\vec{F}\,=\,m\vec{a}
Il faut tenir compte des forces verticales qui se compensent :
Fsin{\alpha}\vec{n}\,=\,m\vec{a}, soit \vec{a}\,=\,\frac{F\sin{\alpha}}{m}\vec{n}
En comparant avec l'expression du 3.
(r\,+\,L\sin{\alpha})\omega^{2}\,=\,\frac{F\sin{\alpha}}{m}
\omega\,=\,\sqrt{\frac{F\sin{\alpha}}{m(r+L\sin{\alpha}}}\,=\,\sqrt{\frac{0,52\times{\sin{20}}}{0,050(0,075+0,10\sin{20})}}\,=\,5,7\,rad.s^{-1}
\omega\,=\,\frac{5,7}{2\pi}\,=\,0,91\,tours.s^{-1}
5. T\,=\,\frac{2\pi}{\omega}\,=\,\frac{2\pi}{5,7}\,=\,1,1\,s
Exercice 2
1. L'énergie utile est utilisée pour élever le poids :
\eta.E_{f}\,=\,W(\vec{P})
E_{f}\,=\,\frac{m.g.h}{\eta}\,=\,\frac{0,523\times{9,81}\times0,309}{0,472}\,=\,3,36\,J
2. L'énergie fournie est égale à la variation d'énergie électrique
E_{f}\,=\,\frac{1}{2}C.U_{1}^{2}\,-\,\frac{1}{2}C.U_{2}^{2}
Soit :
C\,=\,\frac{2E_{f}}{U_{1}^{2}\,-\,U^{2}_{2}}\,=\,\frac{2\times{3,36}}{12,0^{2}\,-\,3,10^{2}}\,=\,50\,mF
3. La charge du condensateur suit les relations Q = C.U1 et Q = I0t.
D'où I_{0}\,=\,\frac{C.U_{1}}\Delta_{t}=\frac{50\times{10}^{-3}\times{12,0}}{35,0}\,=\,17,1\,mA
4. \Delta{t}\,=\,\frac{C.U_{M}}{I_{0}}\,=\,\frac{50\times{10}^{-3}\times{25,0}}{0,0171}\,=\,73\,s
5. On reprend les démarches précédentes en prenant en compte que la variation d'énergie du condensateur est partiellement utilisée pour élever le poids :
{\eta}\left(\frac{1}{2}C.U^{2}_{M}\,-\,\frac{1}{2}C.U^{2}_{2}\right)\,=\,m.g.h'
Ce qui donne après transformation :
h'\,=\,\eta\frac{\left(\frac{1}{2}C.U^{2}_{M}\,-\,\frac{1}{2}C.U_{2}^{2}\right)}{m.g}\,=\,\frac{1}{2}\times{50}\times{10}^{-3}{\times}\frac{(25^{2}\,-\,3,1^{2})}{0,523\times{9,81}}
h'\,\,=\,1,41\,m
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